Suy ra: \[{{DB} \over {BC}} = {{15} \over {35}}\] \[ \Rightarrow DB = {{15} \over {35}}.BC = {{15} \over {35}}.25 = {{75} \over 7}\] [cm]
- Kẻ AH ⊥ BC
Ta có: \[{S_{ABD}} = {1 \over 2}AH.BD;{S_{ADC}} = {1 \over 2}AH.DC\]
Suy ra: \[{{{S_{ABD}}} \over {{S_{ADC}}}} = {{{1 \over 2}AH.BD} \over {{1 \over 2}AH.DC}} = {{BD} \over {DC}}\]
Suy ra: \[{{DB} \over {BC}} = {{15} \over {35}}\] \[ \Rightarrow DB = {{15} \over {35}}.BC = {{15} \over {35}}.25 = {{75} \over 7}\] [cm]
- Kẻ AH ⊥ BC
Ta có: \[{S_{ABD}} = {1 \over 2}AH.BD;{S_{ADC}} = {1 \over 2}AH.DC\]
Suy ra: \[{{{S_{ABD}}} \over {{S_{ADC}}}} = {{{1 \over 2}AH.BD} \over {{1 \over 2}AH.DC}} = {{BD} \over {DC}}\]
Mà \[{{DB} \over {DC}} = {{15} \over {20}} = {3 \over 4}\] [chứng minh trên ]
Vậy: \[{{{S_{ABD}}} \over {{S_{ADC}}}} = {3 \over 4}\]
Câu 18 trang 87 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE và CF
Chứng minh rằng:
\[{{DB} \over {DC}}.{{EC} \over {EA}}.{{FA} \over {FB}} = 1\]
Giải:
Trong tam giác ABC, ta có: AD là đường phân giác của \[\widehat {BAC}\]
Suy ra: \[{{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\] [tính chất đường phân giác ] [1]
BE là đường phân giác \[\widehat {ABC}\]
Suy ra: \[{{EC} \over {EA}} = {{BC} \over {AB}}\] [tính chất đường phân giác ] [2]
CF là đường phân giác của \[\widehat {ACB}\]
Suy ra: \[{{FA} \over {FB}} = {{CA} \over {CB}}\] [tính chất đường phân giác ] [3]
Nhân từng vế [1], [2] và [3], ta có:
\[{{DB} \over {DC}}.{{EC} \over {EA}}.{{FA} \over {FB}} = {{AB} \over {AC}}.{{BC} \over {AB}}.{{CA} \over {CB}} = 1\]
Câu 19 trang 87 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Tam giác cân BAC có BA = BC = a, AC = b. Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác góc C cắt BA tại N
- Chứng minh rằng: MN // AC.
- Tính MN theo a, b
Giải:
- Trong tam giác BAC, ta có: AM là đường phân giác của \[\widehat {BAC}\]
Suy ra: \[{{MC} \over {MB}} = {{AC} \over {AB}}\] [tính chất đường phân giác ] [1]
CN là đường phân giác \[\widehat {BAC}\]
Suy ra: \[{{NA} \over {NB}} = {{AC} \over {AB}}\] [tính chất đường phân giác ] [2]
Lại có: AB = CB = a [gt]
Từ [1], [2] và [gt] suy ra: \[{{MC} \over {MB}} = {{NA} \over {NB}}\]
Trong tam giác BAC, ta có: \[{{NA} \over {NB}} = {{MC} \over {MB}}\]
Suy ra: MN // AC [theo định lí đảo của định lí Ta-lét]
- Ta có: \[{{MC} \over {MB}} = {{AC} \over {AB}}\] [chứng minh trên ]
Suy ra: \[{{MC + MB} \over {MB}} = {{AC + AB} \over {AB}} \Rightarrow {{CB} \over {MB}} = {{AC + AB} \over {AB}}\]
Hay \[{a \over {MC}} = {{b + a} \over a} \Rightarrow MC = {{{a^2}} \over {a + b}}\]
Trong tam giác ABC, ta có:
MN // AC [chứng minh trên ]
Và \[{{MN} \over {AC}} = {{MB} \over {BC}}\]
Vậy \[MN = {{AC.MB} \over {BC}} = {{b.{{{a^2}} \over {a + b}}} \over a} = {{ab} \over {a + b}}\]
Câu 20 trang 87 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D. Qua D kẻ DE // AB [E thuộc AC]
- Tính độ dài đoạn thẳng BD, DC và DE
- Cho biết diện tích tam giác ABC là S, tính diện tích các tam giác ABD, ADE và DCE.
Giải:
- Trong tam giác ABC, ta có:
AD là đường phân giác của \[\widehat {BAC}\]
Suy ra: \[{{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\] [tính chất tia phân giác]
Suy ra: \[{{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\]
Suy ra: \[{{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\]
Suy ra: \[DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{28.12} \over {12 + 20}} = {{21} \over 2} = 10,5\] [cm]
Vậy DC = BC – DB = 28 – 10,5 = 17,5 [cm]
Trong tam giác ABC, ta có: DE // AB
Suy ra: \[{{DC} \over {DB}} = {{DE} \over {AB}}\] [Hệ quả định lí Ta-lét ]
Vậy: \[DE = {{DC.AB} \over {BC}} = {{17,5.12} \over {28}} = 7,5\] [cm0
- Vì ∆ABD và ∆ABC có chung đường cao kẻ từ đỉnh A nên:
\[{{{S_{ABD}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{DB} \over {BC}} = {{{{21} \over 2}} \over {28}} = {{21} \over {56}} = {3 \over 8}\]
Vậy : \[{S_{ABD}} = {3 \over 8}S\]
\[{S_{ADC}} = {S_{ABC}} - {S_{ABD}} = S - {3 \over 8}S = {8 \over 8}S - {3 \over 8}S = {5 \over 8}S\]
Vì DE // AB và AD là đường phân giác góc A nên AE = DE.
Ta có: \[{{{S_{ADE}}} \over {{S_{ADC}}}} = {{AE} \over {AC}} = {{DE} \over {AC}} = {{7,5} \over {20}}\]
Vậy: \[{S_{ADE}} = {{7,5} \over {20}}.{S_{ADC}} = {{7,5} \over {20}}.{5 \over 8}S = {{7,5} \over {32}}S\]
Ta có: \[{S_{DCE}} = {S_{ADC}} - {S_{ADE}} = {5 \over 8}S - {{7,5} \over {32}}S = {{12,5} \over {32}}S\].