Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes là là một trong những công thức quan trọng trong học tập cũng như được ứng dụng nhiều trong đời sống. Sau đây TTnguyen xin gửi tới bạn một số bài tập công thức xác suất đầy đủ trong môn Xác suất thống kê.
1.1 Hệ đầy đủ các biến cố
Nhóm các biến cố A1, A2, … An của một phép thử được gọi là một nhóm đầy đủ nếu:
1.2 Ví dụ một nhóm đầy đủ
Ví dụ: Một tiểu đoàn có 3 đại đội cùng trồng một loại bí xanh. Chọn ngẫu nhiên một quả bí xanh và gọi {A1,A2,A3} lần lượt là sự kiện quả bí xanh được chọn do đại đội 1, đại đội 2 và đại đội 3 trồng. Khi đó hệ {A1,A2,A3} là đầy đủ.
1.3 Công thức xác suất đầy đủ
Với H1, H2, H3 nhóm đầy đủ biến cố, công thức xác suất đầy đủ là: P[A]=P[H1]P[A|H1]+P[H2]P[A|H2]+P[H3]P[A|H3]
Xem thêm: Sơ Đồ Venn trong xác suất thông kê – Bài tập có lời giải chi tiết
1.4 Bài tập công thức xác suất đầy đủ
Bài 1: Một hộp có 4 viên bi, mỗi viên bi có thể gồm hai màu đen và trắng. Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi. Tính xác suất để lấy được 2 bi trắng Hướng dẫn giải
H4 4 bi trắng P[A|H4]=4C2/4C2=1 H3 3 trắng, 1 đen P[A|H3]=3C2/4C2=1/2 H2 2 trắng, 2 đen P[A|H2]=1/6 H1 1 trắng, 3 đen P[A|H1]=0 H0 0 trắng, 4 đen P[A|H0]=0
Gọi A là biến cố lấy được 2 bi trắng \=> P[A]= P[H4]P[A|H4]+P[H3]P[A|H3] +P[H2]P[A|H2]+P[H1]P[A|H1]+P[H0]P[A|H0] \=0,2.1+0,2.1/2+0,2.1/6+0+0=1/3
Bài 6:[Giải bài tập giáo trình xác suất thống kê chương 1 bài 19]: Có hai hộp đựng phiều thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Sinh viên A đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai.
- Thầy giáo rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một phiếu thi, sau đó cho sinh viên A rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ 2 phiếu mà thầy giáo đã rút. Tính xác suất để sinh viên A trả lời được câu hỏi trong phiếu .
- Thầy giáo rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó cho sinh viên A rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ hai. Tính xác suất để sinh viên trả lời được câu hỏi trong phiếu.
- Thầy giáo rút ngẫu nhiên ra 2 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó cho sinh viên A rút ngẫu nhiên ra 2 phiếu từ hộp thứ hai Hướng dẫn giải a.Gọi E1 là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 1 E2 là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 2 E1,E2 tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ Gọi B là biến cố rút ra 1 câu thuộc B=[E1∩B]∪[E2∩B] \=> P[B]=P[E1]P[B|E1]+P[E2]P[B|E2] \[P[E1]=\frac{C_{1}{1}}{C_{2}{1}}=\frac{1}{2}\] \[P[E2]=\frac{C_{1}{1}}{C_{2}{1}}=\frac{1}{2}\] \[P[B|E1]=\frac{C_{10}{1}}{C_{15}{1}}=\frac{2}{3}\] \[P[B|E2]=\frac{C_{8}{1}}{C_{9}{1}}=\frac{8}{9}\] \=> P[B]=\[\frac{7}{9}\] b.Gọi E1 là biến cố thầy giáo rút 1 câu thuộc từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 Khi đó hộp 2 có 9 câu thuộc và 1 câu không thuộc Gọi E2 là biến cố thầy giáo rút 1 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 Khi đó hộp 2 có 8 câu thuộc và 2 câu không thuộc E1,E2 tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ B xảy ra với 1 trong 2 biến cố B=[E1∩B]∪[E2∩B] \=> P[B]=P[E1]P[B|E1]+P[E2]P[B|E2] \[P[E1]=\frac{C_{10}{1}}{C_{15}{1}}=\frac{2}{3}\] \[P[E2]=\frac{C_{5}{1}}{C_{15}{1}}=\frac{1}{3}\] \[P[B|E1]=\frac{C_{9}{1}}{C_{10}{1}}=\frac{9}{10}\] \[P[B|E2]=\frac{C_{8}{1}}{C_{10}{1}}=\frac{4}{5}\] P[B]=0,942 c.Gọi E1 là biến cố thầy giáo rút 2 câu thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2 Gọi E2 là biến cố thầy giáo rút 1 câu thuộc và 1 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2 Gọi E3 là biến cố thầy giáo rút 2 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2 Gọi C là biến cố sinh viên rút ra 2 câu thuộc từ hộp 2 P[C]=P[E1]P[C|E1]+P[E2]P[C|E2]+P[E3]P[C|E3] \[P[E1]=\frac{C_{10}{2}}{C_{15}{2}}=\frac{3}{7}\] \[P[E2]=\frac{C_{10}{1}.C_{5}{1}}{C_{15}{2}}=\frac{10}{21}\] \[P[E3]=\frac{C_{5}{2}}{C_{15}{2}}=\frac{2}{21}\] \[P[C|E1]=\frac{C_{10}{2}}{C_{11}{2}}=\frac{9}{11}\] \[P[C|E2]=\frac{C_{9}{2}}{C_{11}{2}}=\frac{12}{35}\] \[P[C|E3]=\frac{C_{8}{2}}{C_{11}^{2}}=\frac{3}{55}\]
2. Công thức xác suất Bayes
Công thức Bayes, mang tên của linh mục và nhà toán học người Anh Thomas Bayes [1702-1761], là công thức ngược, cho phép tính xác suất có điều kiện P[B|A] khi biết xác suất có điều kiện P[A|B] và một số thông tin khác. Dạng đơn giản nhất của công thức này là: Nếu A,B là hai sự kiện bất kì với xác suất khác 0 thì từ quy tắc nhân xác suất:
Công thức Bayes:
\[P[Hi|A]=\frac{P[Hi].P[A|Hi]}{\sum_{i=0}^{n}P[Hi].P[A|Hi]}\]
2.1 Bài tập ví dụ về công thức Bayes
Bài 2: Hộp I: 5 bi trắng và 5 bi đen. Hộp II: 6 bi trắng và 4 bi đen. Bỏ hai viên bi từ hộp I sang hộp II. Sau đó lấy ra 1 viên bi.
- Tính xác suất để lấy được bi trắng
- Giả sử lấy được bị trắng, tính xác suất để lấy được bi trắng của hộp I Giải
- Cách 1: P[A]= P[H0].P[A|H0]+ P[H1].P[A|H1]+ P[H2].P[A|H2]=7/12 Cách 2: Gọi K1 là biến cố lấy bi ra từ hộp II của hộp I Gọi K2 là biến cố lấy bi ra từ hộp II của hộp II \[P[K1]=\frac{C_{2}{1}}{C_{12}{1}}\] \[P[K2]=\frac{C_{10}{1}}{C_{12}{1}}\] \[P[A|K1]=\frac{C_{5}{1}}{C_{10}{1}}\] \[P[A|K2]=\frac{C_{6}{1}}{C_{10}{1}}\] P[A]=P[K1]P[A|K1]+P[K2]P[A|K2]=7/12
- \[P[K1|A]=\frac{P[K1]P[A|K1]}{P[A]}=\frac{1}{7}\]
2.2 Bài tập xác suất áp dụng công thức bayes có lời giải
Bài 7:Tan giờ học buổi chiều một sinh viên có 60% về nhà ngay, nhưng do giờ cao điểm nên có 30% ngày bị tắc đường nên bị về nhà muộn [từ 30 phút trở lên] còn 20% số ngày sinh viên đó vào quán Internet cạnh trường để chơi Games, những ngày này xác suất về nhà muộn là 80%. Còn lại những ngày khác sinh viên đó đi chơi với bạn bè có xác suất về muộn là 90%.
- Tính xác suất để trong một ngày nào đó sinh viên không về muộn.
- Hôm nay sinh viên đó về muộn. Tính xác suất để để sinh viên đó đi chơi với bạn bè. Giải a.Gọi B là biến cố sinh viên đó đi học về muộn \[\overline{B}\] là biến cố sinh viên đó đi học không về muộn E1 là biến cố tan học về nhà ngay => P[E1]=0,6, P[B|E1]=0,3 E2 là biến cố tan học đi chơi game => P[E2]=0,2, P[B|E2]=0,8 E3 là biến cố tan học về đi chơi với bạn => P[E3]=0,2 , P[B|E3]=0,9 B có thể xảy ra một trong 3 biến cố P[B]=P[E1].P[B|E1]+P[E2].P[B|E2]+P[E3].P[B|E3] \=> P[B]=0,52 \=> P[\[\overline{B}\]]=0,48
- Xác suất để sinh viên đó đi chơi với bạn là: \[P[E3|B]=\frac{P[E3].P[B|E3]}{P[B]}=0,375\]
Bài 8: Một loại linh kiện do 3 nhà máy số I, số II, số III cùng sản xuất. Tỷ lệ phế phẩm của các nhà máy lần lượt là : I ; 0,04; II: 0,03 và III: 0,05 .Trong 1 lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I, 120 của nhà máy số II và 100 của nhà máy số III..
- Một khách hàng lấy ngẫu nhiên 1 linh kiện từ lô hàng đó. Tính XS để được linh kiện tốt.
- Khách hàng lấy phải một linh kiện loại phế phẩm từ lô hàng đó. Khả năng linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao nhất?
Giải
Gọi E1 là biến cố phế phẩm máy số I=> P[E1]=0,04, \[P[\overline{E1}]=0,96\] E2 là biến cố phế phẩm máy số II=> P[E2]=0,03, \[P[\overline{E2}]=0,97\] E3 là biến cố phế phẩm máy số III=> P[E3]=0,05, \[P[\overline{E3}]=0,95\] Gọi B là biến cố khách hàng lấy được 1 linh kiện tốt
- Xác suất để khách hàng lấy được linh kiện tốt là \[P[B]= \frac{C_{80}{1}}{C_{300}{1}}.0,96+\frac{C_{120}{1}}{C_{300}{1}}.0,97+\frac{C_{120}{1}}{C_{300}{1}}.0,95\] \[=0,96\]
- Gọi \[\overline{B}\] là biến cố khách hàng lấy 1 linh kiện loại không tốt \[P[\overline{B}]\]=1-P[B]=0,04 \[P[E1|\overline{B}]=\frac{P[E1].P[\overline{B}|E1]}{P[\overline{B}]}=\frac{C_{80}{1}.0,04}{0,04}=0,26\] \[P[E2|\overline{B}]=\frac{P[E2].P[\overline{B}|E2]}{P[\overline{B}]}=\frac{C_{120}{1}.0,03}{0,04}=0,3\] \[P[E3|\overline{B}]=\frac{P[E3].P[\overline{B}|E3]}{P[\overline{B}]}=\frac{C_{100}^{1}.0,05}{0,04}=0,41\] Vậy linh kiện đó do máy III là cao nhất
Xem thêm: Phân phối Poisson và phân phối nhị thức xác suất thống kê
3. Bài tập công thức xác suất đầy đủ và bayes
Bài 3: Một hệ thống kỹ thuật có 5 bộ phận được kết nối theo 2 phương thức và xác suất làm việc tốt của mỗi bộ phận được cho như sau:
Hãy kết luận xem phương thức nào có độ tin cậy [xác suất làm việc tốt] cao hơn cho hệ thống kỹ thuật? Tại sao?
Giải
Gọi A là hệ thống kỹ thuật được thiết kế theo phương pháp 1 Gọi B là hệ thống kỹ thuật được thiết kế theo phương pháp 2 Gọi A1 là cụm linh kiện 1 [gồm 3 linh kiện mắc //] hoạt động tốt Gọi A2 là cụm linh kiện 2 [gồm 2 linh kiện mắc //] hoạt động tốt \=> P[A]=P[A1].P[A2] Gọi E1 là linh kiện 1 hoạt động tốt Gọi E2 là linh kiện 2 hoạt động tốt Gọi E3 là linh kiện 3 hoạt động tốt \[\overline{A1}= \overline{E1}.\overline{E2}.\overline{E3}\] \[P[\overline{A1}]= P[\overline{E1}].P[\overline{E2}].P[\overline{E3}]=0,2^3\] \[P[A1]=1-P[\overline{A1}]=1-0,2^3=0,992\] \[P[A2]=1-P[\overline{A2}]=1-0,1^3=0,999\] \=> P[A]=0,992.0,999=0,991008 Gọi F1 là cụm linh kiện 1 [gồm 3 linh kiện mắc nối tiếp] hoạt động tốt Gọi F2 là cụm linh kiện 2 [gồm 2 linh kiện mắc nối tiếp] hoạt động tốt P[B]=P[F1].P[F2]=0,8.0,9=0,72 Vậy phương thức 1 mắc song song có xác suất làm việc tốt hơn
4. Phân biệt lấy CÓ/KHÔNG HOÀN LẠI, CÙNG LÚC/LẦN LƯỢT
Bài 9: Trong 10 sản phẩm có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để cả 2 sản phẩm đều là phế phẩm trong trường hợp lấy hoàn lại và không lấy hoàn lại Giải Trường hợp có hoàn lại: Gọi A là biến cố lấy được 2 phế phẩm \[P[A]=\frac{C_{2}{1}}{C_{10}{1}}.\frac{C_{2}{1}}{C_{10}{1}}\] Trường hợp không hoàn lại \[P[A]=\frac{C_{2}{1}}{C_{10}{1}}.\frac{C_{1}{1}}{C_{9}{1}}\] Bài 10: Trong hộp có 3 bi trắng và 2 bi đen:
- Lấy ngẫu nhiên đồng thời ra 2 viên bi. Tính xác suất lấy được 1 trắng 1 đen.
- Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 2 viên bi. Tính xác suất lấy được 1 trắng Giải
- Lấy đồng thời ra 2 viên bị Th1: 2 đen Th2: 1 đen 1 trắng Th3: 2 trắng Gọi A là biến cố lấy ra đồng thời 1 bi trắng và 1 bi đen \=>\[P[A]=\frac{C_{3}^1.C_{2}^1}{C_{5}^2}=0.6\]
- Lấy lần lượt B là biến cố lấy lần lượt ra 1 bi trắng \=>\[P[B]=\frac{C_{3}^1.C_{2}^1+C_{2}^1.C_{3}^1}{A_{20}^2}=0.6\]
Ok xong, vừa rồi TTnguyen đã gợi ý cách giải bài tập công thức xác suất đầy đủ và bayes qua một số bài toán cơ bản. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tài liệu trên ttnguyen.net