Bài tập chứng minh đẳng thức lượng giác năm 2024
DẠNG TOÁN 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC – CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC $X$ – ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC. 1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI + Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản. + Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác. + Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. 2. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1 : Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa).
Ví dụ 2 : Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng: $\frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}}$ $ + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}}$ $ – \frac{{\cos (A + C)}}{{\sin B}}.\tan B = 2.$ Vì $A + B + C = {180^0}$ nên: $VT = \frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \left( {\frac{{{{180}^0} – B}}{2}} \right)}}$ $ + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \left( {\frac{{{{180}^0} – B}}{2}} \right)}}$ $ – \frac{{\cos \left( {{{180}^0} – B} \right)}}{{\sin B}}.\tan B.$ $ = \frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}$ $ – \frac{{ – \cos B}}{{\sin B}}.\tan B$ $ = {\sin ^2}\frac{B}{2} + {\cos ^2}\frac{B}{2} + 1$ $ = 2 = VP.$ Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 3 : Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
Ví dụ 4 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $x.$ $P = \sqrt {{{\sin }^4}x + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} $ $ + \sqrt {{{\cos }^4}x + 6{{\sin }^2}x + 3{{\sin }^4}x} .$ $P = \sqrt {{{\left( {1 – {{\cos }^2}x} \right)}^2} + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} $ $ + \sqrt {{{\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right)}^2} + 6{{\sin }^2}x + 3{{\sin }^4}x} .$ $ = \sqrt {4{{\cos }^4}x + 4{{\cos }^2}x + 1} $ $ + \sqrt {4{{\sin }^4}x + 4{{\sin }^2}x + 1} .$ $ = 2{\cos ^2}x + 1 + 2{\sin ^2}x + 1.$ $ = 3.$ Vậy $P$ không phụ thuộc vào $x.$ 3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1 : Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
Bài 2 : Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
Bài 3 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $\alpha $ (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
Reader Interactions |