Cập nhật lúc: 12:15 30-06-2018 Mục tin: LỚP 11
I. Kiến thức cần nhớ
Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại điểm \[{x_0}\] là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị \[\left[ C \right]\] của hàm số tai điểm \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] .
Khi đó phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] tại điểm \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] là \[y = y'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + {y_0}\]
Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm \[{x_0}\]
II. Một số dạng bài tập thường gặp
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
1. Phương pháp:
I. Kiến thức cần nhớ
Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại điểm \[{x_0}\] là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị \[\left[ C \right]\] của hàm số tai điểm \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] .
Khi đó phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] tại điểm \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] là \[y = y'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + {y_0}\]
Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm \[{x_0}\]
II. Một số dạng bài tập thường gặp
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
1. Phương pháp:
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f[x] tại điểm M[x0,y0] có phương trình là: y−y0=f′[x0][x−x0]
- Điểm M[x0,y0] được gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị, y0=f[x0].
- f′[x0] là hệ số góc của tiếp tuyến.
Chú ý:
- Hai đường thẳng song song thị hai hệ số góc bằng nhau.
- Hai đường thẳng vuông góc thì tích hai hệ số góc bằng -1.
Bài 1: Cho hàm số y=x3−3x2+2 có đồ thị [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] :
- Tại điểm có hoành độ bằng [-1].
- Tại điểm có tung độ bằng 2.
- Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3.
- Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+1
- Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=−124x+2
- Biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị [C].
- Biết tiếp tuyến đi qua điểm A[−1;−2]
Bài 2: Cho đường cong [C]:y=x3−3x2+2. Viết phương trình tiếp tuyến của [C], biết:
- Tiếp điểm có hoành độ là 2.
- Tiếp tuyến có hệ số góc k = 9.
- Tiếp tuyến đi qua điểm A[0;3].
Bài 3: Cho đường cong [C]:y=x2+x+1x. Viết phương trình tiếp tuyến của [C], biết:
- Tiếp điểm có tung độ bằng –
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x – 3y + 10 = 0.
- Tiếp tuyến đi qua điểm M[2;3].
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của [C]:y=x[x−3]2 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng [d]: y = 24x – 2.
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của [C]:y=x−2x+1 biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng [d]: x + 3y – 4 = 0.
Bài 6: Cho đường cong [C]:y=x4+x2+1. Viết phương trình tiếp tuyến của [C]:
- Tại điểm có tung độ là 1.
- Biết hệ số góc của tiếp tuyến là 6.
- Biết tuyến tuyến song song với đường thẳng y + 1 = 0.
Bài 7: Cho đường cong [C]:y=14x4−x2+2. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết:
- Tiếp tuyến có hệ số góc k = 3.
- Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng [d]:x−4y+12=0.
Bài 8: Cho đường cong [C]:y=x+1x−2. Viết phương trình tiếp tuyến của [C]:
- Biết hoành độ tiếp điểm bằng 1.
- Tại giao điểm của [C] với trục hoành.
- Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x + 3y – 1 = 0.
Bài 9: Cho đường cong [C]:y=1−x2x+3. Viết phương trình tiếp tuyến của [C]:
- Tại giao điểm của [C] với trục tung.
- Biết tiếp tuyến có hệ số góc là −15.
Bài 10: Cho đường cong [C]:y=2x3−3x2+9x−4. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại giao điểm của nó với:
- Đường thẳng [d]:y=7x+4.
- Parabol [P]:y=−x2+8x−3.
- Đường cong [C′]:y=x3−4x2+6x−7.
Bài 11: Cho đường cong [C]:y=x4+x3−x2+x−2. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại giao điểm của [C] với trục hoành.
Bài 12: Cho đường cong [C]:y=x+2x−2. Viết phương trình tiếp tuyến của [C]:
- Tại giao điểm của [C] với đường thẳng [Δ]:x−y−1=0.
- Biết tiếp tuyến đi qua điểm A[-6;5].
Bài 13: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=−x+32x−1 biết tiếp tuyến đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai của mặt phẳng tọa độ Oxy.
Bài 14: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y=2x+3x+1 biết d vuông góc với đường thẳng y=x+2.
Bài 15: Cho hàm số y=13x3−m2x2+13 có đồ thị [Cm]. Gọi M là điểm thuộc [Cm] có hoành độ bằng [−1]. Tìm m để tiếp tuyến của [Cm] tại điểm M song song với đường thẳng 5x−y=0
Bài 16: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=−x+32x−1 biết tiếp tuyến đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai của mặt phẳng tọa độ Oxy.
Bài 17: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=13x3−2x+3 biết tiếp tuyến này cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho OB = 2OA.
Bài 18: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=xx−1 sao cho tiếp tuyến đó và hai tiệm cận của đồ thị hàm số cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
Bài 19: Tìm m để [Cm]: y=x3+3x2+mx+1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C[0;1], D, E sao cho các tiếp tuyến với [Cm] tại D và E vuông góc với nhau.
Bài 20: Cho hàm số [C]: y=−x+12x−1. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y=x+m luôn cắt đồ thị [C] tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với [C] tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 21: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị [C] của hàm số y=x3−3x2+2 sao cho tiếp tuyến của [C] tại A và B song song với nhau đồng thời AB=42–√
Bài 22: Tìm điểm M thuộc đồ thị [C] của hàm số y=2x+1x−1 sao cho tiếp tuyến của [C] tại điểm M cắt hai đường tiệm cận của [C] tại A và B thỏa mãn tam giác IABcó chu vi nhỏ nhất [với I là giao điểm hai đường tiệm cận].
Bài 23: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y=[x−1]2[x−4] mà qua đó ta chỉ kẻ được một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.
Bài 24: Tìm các điểm trên đường thẳng y = -2 mà từ điểm đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị hàm số.
Bài 25: Cho hàm số y=x3−3mx+2. Tìm m để đồ thị hàm số có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x+y+7=0 một góc α, biết cosα�=126√
Bài 26: Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm uốn, biết [C]:y=�−x3+6x2−10. Chứng minh tiếp tuyến này có hệ số góc lớn nhất trong các tiếp tuyến của [C].
Bài 27: Cho hàm số y=x3+3mx2+[m+1]x+1. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=�−1 đi qua điểm A[1;2].