Đạo hàm của hàm số lượng giác
LÝ THUYẾT
1. Giới hạn sinxx
Định lý 1.
limx→0sinxx=1.
Ví dụ 1. Tính limx→1sinx−1x2−1
Lời giải
Đặt x – 1 = t.
Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.
limt→0sinttt+2=limt→0sintt.1t+2=limt→0sintt.limt→01t+2=1.12=12.
2. Đạo hàm của hàm số y = sinx
Định lý 2.
Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi x∈ℝ và [sinx]’ = cosx.
Chú ý:
Nếu y = sinu và u = u[x] thì: [sinu]’ = u’.cosu
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y=sin2x+32
Lời giải
y'=2sin2x+3'.sin2x+3=2cos2x+3.2x+3'.sin2x+3y'=4cos2x+3.sin2x+3
3. Đạo hàm của hàm số y = cosx
Định lý 3.
Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi x∈ℝ và [cosx]’ = - sinx.
Chú ý:
Nếu y = cosu và u = u[x] thì: [cosu]’ = - u’.sinu
Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y=cosπ2−x tại x=π3.
Lời giải
Đặt u=π2−x
⇒y'=cosu'=−u'.sinu=−π2−x'sinπ2−x=sinπ2−x.
Thay x=π3 vào y’ ta được:
y'π3=sinπ2−π3=sinπ6=12.
Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại x=π3 là 12
4. Đạo hàm của hàm số y = tanx
Định lý 4.
Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi x≠π2+kπ,k∈ℤ và [tanx]’ = 1cos2x.
Chú ý:
Nếu y = u và u = u[x] thì: [tanu]’ = u'cos2u.
Ví dụ 4. Tính đạo hàm y=2+tanx
Lời giải
Đặt u = 2 + tanx
y'=u'2u=2+tanx'22+tanx=1cos2x22+tanx=12.cos2x2+tanx
5. Đạo hàm của hàm số y = cotx
Định lý 5.
Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi x≠kπ,k∈ℤ và [cotx]’ = −1sin2x.
Chú ý:
Nếu y = u và u = u[x] thì: [cotu]’ = −u'sin2u.
Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x2.
Lời giải
y’ = [cot x2]’ = [x2]’.-1sinx22=−2xsinx22.
6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:
Bài 1. Tính các đạo hàm sau:
- y=3tan2x+cot2x
- y=−cosx3sin3x+43cotx
- y=cos2sin3x
- y=xsinx
Lời giải
y'=3tan2x+cot2x'23tan2x+cot2x=6tanx.1cos2x−2sin22x23tan2x+cot2x=6sinxcos3x−12.sin2x.cos2x23tan2x+cot2x
y'=−cosx3sin3x+43cotx'=sinx.3sin3x+cosx.9.sin2x.cosx3sin3x2−43sin2x=sin2x+3cos2x3sin4x−43sin2x=3cos2x−3sin2x3sin4x=cos2x−sin2xsin4x
y'=cos2sin3x'=2.cossin3x.cossin3x'=2.cossin3x.cossin3x'=2.cossin3x.−sinsin3xsin3x'=−2.cossin3x.sinsin3x3sin2x.cosx=−6.cossin3x.sinsin3xsin2x.cosx
y'=x'.sinx−x.sinx'sinx2=sinx−x.cosxsinx2
Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc x.
- y=sin6x+cos6x+3sin2xcos2x
- y=cos2π3−x+cos2π3+x+cos22π3−x+cos22π3+x−2sin2x
Lời giải
a]
y'=sin6x+cos6x+3sin2xcos2x'=6sin5xcosx−6cos5x.sinx+6sinxcos3x−6sin3xcosx=6sinxcosxsin4x−cos4x+6sinxcosxcos2x−sin2x=6sinxcosxsin2x−cos2xsin2x+cos2x+6sinxcosxcos2x−sin2x=6sinxcosxsin2x−cos2x+6sinxcosxcos2x−sin2x=−6sinxcosxcos2x−sin2x+6sinxcosxcos2x−sin2x=0
b]
y'= 2cosπ3−xsinπ3−x−2cosπ3+xsinπ3+x+2cos2π3−xsin2π3−x−2cos2π3+xsin2π3+x−4sinxcosx= sin2π3−2x−sin2π3+2x+sin4π3−2x−sin4π3+2x−2sin2x= −2cos2π3sin2x−2cos4π3sin2x−2sin2x= sin2x+sin2x−2sin2x=0
Bài 3. Tìm f’[2] biết f[x] = x2.sin[x – 2].
Lời giải
Ta có : f’[x] = 2x.sin[x – 2] + x2cos[x – 2]
Khi đó: f’[2] = 2.2.sin[2 – 2] + 22.cos[2 – 2]
\= 4.0 + 4.1
\= 0 + 4
\= 4.
Vậy f’[2] = 4.
Bài 4: Đạo hàm của hàm số:
bằng bao nhiêu?
Lời giải
Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số y = cos2x + cos4x + sin5x
Lời giải
Ta có: y' = -2sin2x - 4sin4x + 5cos5x
Bài 6: Đạo hàm của hàm số y = √cosx bằng biểu thức nào?
Lời giải
Bài 7: Đạo hàm của hàm số y = tan[2x+1] - xcos2x bằng biểu thức nào?
Lời giải
Bài 8: Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức nào?
Lời giải
Bài 9: Đạo hàm của hàm số y = 6[sin4x + cos4x] - 4[sin6x + cos6x] bằng biểu thức nào?
Lời giải
y' = 6[sin2x + cos2x]2 - 12sin2xcos2x - 4[sin2x + cos2x]2 + 12sin2xcos2x[sin2x + cos2x] = 2
Bài 10: Tính đạo hàm của hàm số: y = sinx.cosx
Lời giải
BÀI TẬP TỰ LUYỆN [CÓ ĐÁP ÁN]
Bài 1: bằng:
- 1 B. 0 C. 2/3 D. 3/2
Lời giải:
Đáp án: C
Đáp án C
Bài 2: Đạo hàm của hàm số:
bằng biểu thức nào sau đây?
Lời giải:
Đáp án: B
Đáp án B
Bài 3: Đạo hàm của hàm số:
bằng biểu thức nào sau đây?
Lời giải:
Đáp án: D
Đáp án D
Bài 4: Đạo hàm cuả hàm số:
bằng biểu thức nào sau đây?
Lời giải:
Đáp án: B
Chọn đáp án B
Bài 5: Đạo hàm của hàm số:
bằng biểu thức nào sau đây?
Lời giải:
Đáp án: C
Chọn đáp án C
Bài 6: Đạo hàm của hàm số:
bằng biểu thức nào sau đây?
Lời giải:
Đáp án: A
Chọn đáp án A
Bài 7: Đạo hàm của hàm số y = 6[sin4x + cos4x] - 4[sin6x + cos6x] bằng biểu thức nào sau đây?
- 24[sin3x + cos3x] - 24[sin5x + cos5x]
- 24[sin3x - cos3x] - 24[sin5x + cos5x]
- 2
- 0
Lời giải:
Đáp án: D
y'= 6[sin2x + cos2x]2 - 12sin2xcos2x - 4[sin2x + cos2x]2 + 12sin2xcos2x[sin2x + cos2x] = 2
Chọn đáp án D
Bài 8: Đạo hàm của hàm số y = √sinx bằng biểu thức nào sau đây:
Lời giải:
Đáp án: C
Chọn đáp án C
Bài 9: Cho hàm số f[x] = cos2x. Giá trị của f'[π/6] bằng:
Lời giải:
Đáp án: D
Chọn đáp án D
Bài 10: Đạo hàm của hàm số y = tan[2x+1] - xcos2x bằng biểu thức nào sau đây:
Lời giải:
Đáp án: A
Chọn đáp án A
Bài 11: Đạo hàm của hàm số y = cot2x2 bằng biểu thức nào sau đây:
Lời giải:
Đáp án: D
Chọn đáp án D
Bài 12: Cho hàm số f[x] = sin4x + cos4x - 2sin2x cos2x. Giá trị của f'[π/24] bằng:
- -1
- 1
- 1/2
- [-1]/2
Lời giải:
Đáp án: A
Chọn đáp án A
Bài 13: Cho hàm số f[x] = sinx.sin2x.sin3x. Giá trị của f'[π/12]bằng:
Lời giải:
Đáp án: B
Chọn đáp án B
Bài 14: Đạo hàm của hàm số f[x] = cot2x bằng biểu thức nào sau đây?
Lời giải:
Đáp án: C
Chọn đáp án C
Bài 15: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos2x bằng biểu thức nào sau đây?
- -2sin2x
- -4cos2x
- -4sin2x
- 4cos2x
Lời giải:
Đáp án: C
y’ = [cos2x]’= -4sin2x
Chọn đáp án C
Xem thêm các dạng bài tập toán hay khác:
60 Bài tập về ứng dụng hình học của tích phân [có đáp án năm 2023]
60 Bài tập về Nguyên hàm [ có đáp án năm 2023 ]
60 Bài tập về số phức [có đáp án năm 2023]
60 Bài tập về Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit [2024] có đáp án
60 Bài tập về Hàm số mũ, Hàm số logarit [2024] có đáp án