mẹo hay

Bài toán tương giao điểm và tiếp tuyến

1. TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 8.1 LÝ THUYẾT 8.1.1 Bài toán 1. Tìm giao điểm của [C1]: y = f[x] và [C2]: y = g[x]. * Phương pháp: + Xét phương trình hoành độ giao điểm f[x] = g[x], giải được nghiệm xo + Thế vào một trong hai phương trình ta được tọa độ giao điểm [xo, f[xo]] + Số giao điểm bằng số nghiệm phân biệt của phương trình hoành độ giao điểm. Câu 1 [Đề minh họa THPTQG 2017]. Biết rằng đường thẳng y = −2x + 2 cắt đồ thị hàm số y = x3 + x + 2 tại điểm duy nhất, kí hiệu [xo, yo] là tọa độ của điểm đó. Tìm yo: A. yo = 4. B. yo = 0. C. yo = 2. D. yo = −1. Lời giải. Chọn đáp án C Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = −2x + 2 và đường cong y = x3 + x + 2 là: −2x + 2 = x3 + x + 2 ⇔ x3 + 3x = 0 ⇔ x = 0 Thay vào phương trình đường thẳng ta được yo = 2. Câu 2. Số giao điểm của đường thẳng y = x và đường cong y = 5x − 2 x + 2 là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Chọn đáp án C Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x và đường cong y = 5x − 2 x + 2 là: x = 5x − 2 x + 2 ⇔ x = −2 5x − 2 = x[x + 2] ⇔ x = 1 x = 2 Vậy đường thẳng y = x cắt đường cong y = 5x − 2 x + 2 tại hai điểm phân biệt. 8.1.2 Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để hai hàm số [thường trong đó là 1 đường thẳng] cắt nhau thỏa mãn một số tính chất nhất định. * Phương pháp: Ta đưa về xét phương trình hoành độ giao điểm fm[x] = gm[x] trong đó nghiệm của nó thỏa mãn các điều kiện tương ứng từ đó tìm m Câu 3. Giá trị của m để đường thẳng y = mx + 1 cắt parabol [P] : y = x2 + 2x − 3 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho A, B nhận I[1, −1] làm trung điểm: A. m = 2. B. m = 3. C. m = 4. D. Không có giá trị nào của m thỏa mãn. 79 lovestem .edu.vn
2. đáp án D Phương trình hoành độ giao điểm là: x2 + 2x − 3 = mx + 1 ⇔ x2 + [2 − m]x − 4 = 0 [1] Giả sử 2 giao điểm đó A[x1, y1], B[x2, y2] Khi đó ta có    x1 + x2 2 = 1 y1 + y2 2 = −1 Theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = m − 2 ⇒ m − 2 = 2 ⇒ m = 4 Thử lại: Ta có y1 + y2 2 = mx1 + 1 + mx2 + 1 2 = m + 1 = 5 [Không thỏa mãn]. Vậy không tồn tại giá trị tham số m thỏa mãn bài toán Nhận xét. Học sinh thường thiếu bước thử lại, dẫn đến sai kết quả. Trong ví dụ trên, nếu không thử lại, học sinh rất có thể sẽ chọn đáp án m = 4, đây là đáp án sai Nếu còn giả thiết trong đề bài chưa sử dụng hết thì phải làm phép thử lại để dẫn đến kết quả cuối cùng Câu 4. Cho hàm số y = x3 −[2m+1]x2 −9x. Biết đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ làm thành cấp số cộng, khi đó giá trị m thỏa mãn điều kiện nào sau đây: A. −1 < m < 0. B. 0 < m < 1. C. 1 < m < 2. D. 2 < m < 3. Lời giải. Chọn đáp án A Ta có: y = 3x2 − 2[2m + 1]x − 9 y = 6x − 2[2m + 1] Khi đó y = 0 ⇔ x = 2m + 1 3 là hoành độ của điểm uốn Ta lại có, đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng ⇒ Điểm uốn có tung độ bằng 0 Khi đó y 2m + 1 3 = 0 ⇔ 2m + 1 3 3 − [2m + 1]3 9 − 9. 2m + 1 3 = 0 ⇔ m = −1 2 Thử lại: Với m = −1 2 thì y = x3 − 9x = x[x2 − 9] y = 0 ⇔   x = 0 x = 3 x = −3 [Thỏa mãn] Vậy m = − 1 2 thì đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm làm thành cấp số cộng. Nhận xét. Ở đây ta thấy điều kiện: "Điểm uốn có tung độ bằng 0" chỉ là điều kiện cần chứ chưa phải điều kiện đủ, nên ta phải thử lại để kiểm tra giá trị của tham số m đã thỏa mãn hay chưa. Học sinh bỏ qua phép thử lại, rất có thể dẫn đến sai lầm, ví dụ như trong TH sau: Câu 5. Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3[m2 + 1]x. Giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. A. m = −1. B. m = 0. C. m = 1. D. Không có giá trị nào của m thỏa mãn. Lời giải. Chọn đáp án D Ta có: 80 lovestem .edu.vn
3. 6mx + 3[m2 + 1] y = 6x − 6m Khi đó y = 0 ⇔ x = m là hoành độ của điểm uốn Ta lại có, đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng ⇒ Điểm uốn có tung độ bằng 0 ⇔ y[m] = 0 ⇔ m3 − 2m3 + 3m3 + 3m = 0 ⇔ m = 0 Thử lại: Với m = 0, ta có hàm số y = x3 + 3x Phương trình hoành độ giao điểm là x3 + 3x = 0 chỉ có nghiệm duy nhất x = 0 [Không thỏa mãn đề bài] Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 6. [Bài toán với hàm chứa tham số ở mẫu] Điều kiện nào của m là đúng nhất để đồ thị hàm số y = x + 2 x + m cắt đường thẳng d : y = x + 1 tại 2 điểm phân biệt: A. m > 1. B. m < 0. C. m = 2. D. Đúng với mọi m. Lời giải. Chọn đáp án C PT hoành độ giao điểm là x + 2 x + m = x + 1 [1] ⇔ x + 2 = [x + 1][x + m] x = −m ⇔ x2 + x + mx + m − x − 2 = 0 x = −m ⇔ x2 + mx + m − 2 = 0 [2] x = −m Để [C] cắt d tại 2 điểm phân biệt thì PT [1] phải có 2 nghiệm phân biệt ⇔ PT [2] có 2 nghiệm phân biệt khác −m ⇔ ∆ = m2 − 4[m − 2] > 0 [−m]2 − m2 + m − 2 = 0 ⇔ m2 − 4m + 8 > 0 m − 2 = 0 ⇔ [m − 2]2 + 4 > 0 [Đúng với mọi m] m = 2 Vậy m = 2 thỏa mãn đề bài. Nhận xét. Với những hàm chứa tham số ở mẫu, ta phải chú ý tìm giá trị của tham số để hàm đó xác định. Nếu không kiểm tra điều kiện của m để hàm số xác định thì rất có thể học sinh sẽ chọn đáp án D. Đúng với mọi m Câu 7. Điều kiện nào của k là đúng nhất để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 2 cắt đường thẳng d : y = kx − k tại 3 điểm phân biệt: A. k > 0. B. k > −1. C. k > −2. D. k > −3. Lời giải. Chọn đáp án D PT hoành độ giao điểm: x3 − 3x2 + 2 = kx − k [1] ⇔ [x − 1][x2 − 2x − 2] = k[x − 1] ⇔ [x − 1][x2 − 2x − 2 − k] = 0 ⇔ x = 1 x2 − 2x − 2 − k = 0 [2] Để d cắt đường thẳng đã cho tại 3 điểm phân biệt thì PT [1] phải có 3 nghiệm phân biệt ⇔ PT [2] có 2 nghiệm phân biệt khác 1 81 lovestem .edu.vn
4. + 12 > 0 12 − 2.1 − 2 − k = 0 ⇔ k > −3 k = −3 ⇔ k > −3 Vậy k > −3 thỏa mãn đề bài Nhận xét. Trong VD trên, ta gặp PT bậc 3, tuy nhiên ta có thể nhẩm nghiệm của PT này rồi đưa về PT bậc 2 để đơn giản bài toán. Câu 8. [Chuyển về bài toán tương giao mới] [Cm] : y = f[x] = x3 − x2 + 18mx − 2m Biết đồ thị hàm số của [Cm] cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn: x1 < 0 < x2 < x3 Mệnh đề nào sau đây là đúng: A. m2 − 3m + 2 < 0. B. √ m + 1 > 2. C. |m| + m > −1. D. m > 0. Lời giải. Chọn đáp án C PT hoành độ giao điểm: x3 − x2 + 18mx − 2m = 0 ⇔ 2m[9x − 1] = −x3 + x2 ⇔ 2m = −x3 + x2 9x − 1 [Do x = 1 9 không là nghiệm của PT] Đặt g[x] = −x3 + x2 9x − 1 ⇒ g [x] = −2x[3x − 1]2 [9x − 1]2 Khi đó g [x] = 0 ⇔ x = 0 x = 1 3 Ta có bảng biến thiên: x g [x] g[x] −∞ 0 1 9 1 3 +∞ + 0 − − 0 − −∞−∞ 00 −∞ +∞ −∞−∞ Nghiệm của phương trình f[x] = 0 chính là nghiệm của phương trình g[x] = 2m. Vậy [Cm] cắt Ox tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình f[x] = 0 có 3 nghiệm phân biệt hay phương trình g[x] = 2m có 3 nghiệm phân biệt. ⇒ đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số g[x] tại 3 điểm phân biệt. Từ bảng biến thiên suy ra: 2m < 0 ⇔ m < 0 Vậy m < 0 thỏa mãn đề bài. Ta thấy |m| + m = 0 > −1 nên ta chọn đáp án C Nhận xét. Ta thấy phương trình hoành độ giao điểm là một phương trình bậc 3, nhưng ta không thể nhẩm ra nghiệm của phương trình này nên không thể áp dụng cách giải của câu trước. Mặt khác lại thấy, tham số m trong phương trình chỉ là bậc nhất, nên ta có thể biểu diễn m bằng một hàm số khác và xét sự tương giao của đường thằng y = m với đồ thị hàm số đó. Câu 9. Biết đồ thị hàm số f[x] = x3 − 3mx2 + 3[m2 − 1]x − [m2 − 1] cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương, miền giá trị S của m thỏa mãn điều kiện nào sau đây: A. S ⊂ [−3, −1]. B. S ⊂ [−1, 1]. C. S ⊂ [1, 3]. D. S ⊂ [3, 5]. 82 lovestem .edu.vn
5. đáp án C Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi đồ thị hàm số đã cho có dạng: x1 x2 x3α1 α2 f Từ đồ thi ta suy ra: f [x] = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt 0 < α1 < α2 fα1 .fα2 < 0 • Ta xét f [x] = 3[x2 − 2mx + m2 − 1] Khi đó f [x] = 0 ⇔ x2 − 2mx + m2 − 1 = 0 ⇔ [x − m − 1][x − m + 1] = 0 ⇔ x = m − 1 = α1 x = m + 1 = α2 α1 > 0 ⇔ m > 1 [1] • Chia f[x] cho f [x] 3 , ta có: f[x] = f [x] 3 [x − m] − 2x + [m2 − 1][m − 1] Do f [α1] = f [α2] = 0 nên f[α1] = [m − 1][m2 − 3] f[α2] = [m + 1][m2 − 2m − 1] Lại có: f[α1].f[α2] < 0 ⇔ [m2 − 1][m2 − 3][m2 − 2m − 1] < 0 Ta có trục xét dấu: 1−1 √ 3− √ 3 1 + √ 21 − √ 2 − + −+− ++ Bpt ⇔   − √ 3 < m < −1 1 − √ 2 < m < 1√ 3 < m < 1 + √ 2 [2] Từ [1] và [2] suy ra: √ 3 < m < 1 + √ 2 [ √ 3, 1 + √ 2] ⊂ [1, 3] Tổng quát: Phương pháp chung để giải bài toán tương giao của hàm số bậc 3: - Nhẩm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, rồi qua về phương trình bậc 2. 83 lovestem .edu.vn
6. trình hoành độ giao điểm có dạng f[x, m] = 0 không nhẩm được nghiệm, mà tham số m có mặt chỉ là bậc nhất, ta biểu diễn m theo một hàm số của x và đưa về bài toán tương giao của đồ thị hàm số đó và đường thẳng y = m. - Những trường hợp khác, ta phải dựa vào các tính chất về cực trị của hàm số kết hợp giả thiết của bài toán để tìm giá trị của m. Đối với hàm số bậc cao hơn, ta có ví dụ sau: Câu 10. Cho hàm số y = x4 − [m2 + 3]x2 + 1. Giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt. A. m > 1. B. 1 < m < 2. C. 2 < m < 3. D. Kết quả khác. Lời giải. Chọn đáp án D Phương trình hoành độ giao điểm là: x4 − [m2 + 3]x2 + 1 = 0 [1] Đặt t = x2 [t ≥ 0] ta có phương trình: t2 − [m2 + 3]t + 1 = 0 [2] Đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ pt [1] có 4 nghiệm phân biệt ⇔ pt [2] có 2 nghiệm phân biệt dương ⇔    ∆ = [m2 + 3]2 − 4 > 0 t1 + t2 = m2 + 3 > 0 [Đúng với mọi m] t1.t2 = 1 > 0 [Đúng với mọi m] ⇔ [m2 + 1][m2 + 5] > 0 [Đúng với mọi m] Vậy bài toán đúng với mọi giá trị của m 8.1.3 Bài toán 3. Biện luận số nghiệm của phương trình: F[x, m] = 0. [1] Với m là tham số. * Phương pháp: Ta biến đổi [1] ⇔ f[x] = g[m] Trong đó: + f[x] là hàm số có đồ thị [C]. + g[m] là hàm không chứa x, có đồ thị là đường thẳng d song song hoặc trùng với Ox. Khi đó số nghiệm của phương trình [1] chính là số giao điểm của [C] và d. Câu 11. Với giá trị nào của m thì phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x3 − 3x2 + 2 − m = 0. [1] A. −2 < m < 2. B. m > 2. C. m < 2. D. m = 2 hoặc m = −2. Lời giải. Chọn đáp án A [1] ⇔ x3 − 3x2 + 2 = m Ta có: f[x] = x3 − 3x2 + 2 có đồ thị là [C]. g[m] = m có đồ thị là đường thẳng d song song hoặc trùng với Ox. Đồ thị [C]: 84 lovestem .edu.vn
7. nghiệm phân biệt ⇔ [C] cắt d tại 3 điểm phân biệt. ⇔ −2 < m < 2 ⇒ Đáp án A. Câu 12. Tìm m để phương trình: x4 − 2x2 + 3 = m có 4 nghiệm phân biệt. A. m ≤ 2. B. m ≥ 3. C. m = 2 hoặc m = 3. D. 2 < m < 3. Lời giải. Chọn đáp án D f[x] = x4 − 2x2 + 3 có đồ thị [C]. g[m] = m có đồ thị là đường thẳng d song song hoặc trùng với Ox. Ta có bảng biến thiên của hàm số f[x]: x f [x] f[x] −∞ −1 0 1 +∞ − 0 + 0 − 0 + +∞+∞ 22 33 22 +∞+∞ Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt ⇔ [C] cắt d tại 4 điểm phân biệt ⇔ 2 < m < 3 ⇒ Đáp án D Câu 13. Cho hàm số f[x] có bảng biến thiên như hình vẽ. x f [x] f[x] −∞ 0 3 +∞ − + 0 − +2+2 −∞ −∞ 00 −∞−∞ Với giá trị nào của m thì phương trình f[x] = m vô nghiệm? A. m > 2. B. m ≥ 2. C. 0 < m < 2. D. m = 0 hoặc m = 2. Lời giải. Chọn đáp án B Ta có g[m] = m có đồ thị là đường thẳng d song song hoặc trùng với trục Ox. 85 lovestem .edu.vn
8. có: Phương trình đã cho vô nghiệm ⇔ d không cắt đồ thị hàm số ⇔ m ≥ 2. ⇒ Đáp án là B. Nhận xét. Khi nhìn vào BBT, học sinh hay gặp nhầm lẫn khi so sánh đường thẳng d với các giá trị trên BBT. Ví dụ với câu hỏi trên, chỉ nhìn vào BBT, học sinh rất dễ nhầm lẫn đường thẳng y = 2 cũng cắt đồ thị hàm số. Điều này là hoàn toàn sai. Khi vẽ đồ thị của hàm số, việc biện luận số giao điểm của đường thẳng d và [C] sẽ trực quan và dễ nhìn nhận hơn: 8.2 BÀI TẬP 8.2.1 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2x và đường cong y = x2 − 1 là: A. 2x = x2 − 1. B. 2x + x2 − 1 = 0 . C. 2x = −x2 − 1. D. −2x = x2 − 1. Câu 2. Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2x − 2 và trục hoành là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 3. Tọa độ giao điểm của đường cong y = x2 − 2x + 1 và trục hoành là: A. [1; 0]. B. [1; −1]. C. [0; 1]. D. [0; 0]. Câu 4. Cho hàm số y = x2 −3x+2 có đồ thị [C]. Tìm số giao điểm của [C] và trục hoành A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Câu 5 [Đề minh họa THPTQG 2017]. Cho hàm số y = x3 − 3x có đồ thị [C]. Tìm số giao điểm của [C] và trục hoành A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Câu 6. Cho hàm số f[x] = x3 − 2x + 1 có đồ thị [C] và đường thẳng [d]: y = 1 như hình vẽ bên. Phương trình x3 − 2x + 1 = 1 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 3. C. 2. D. 1. 86 lovestem .edu.vn
9. đồ thị hàm số y = f[x] = ax3 + bx2 + cx + d [a > 0]. Nếu phương trình y = 0 có nghiệm kép thì đồ thị hàm số trên có hình dáng như biểu diễn như thế nào? A. . B. . C. . D. . Câu 8. Cho đồ thị hàm số y = f[x] = ax3 + bx2 + cx + d [a = 0] được biểu diễn bởi hình vẽ sau. Khi đó phương trình f [x] = 0 thỏa mãn điều kiện nào sau đây? A. Có hai nghiệm âm phân biệt. B. Có 1 nghiệm kép. C. Có hai nghiệm phân biệt trái dấu. D. Vô nghiệm. Câu 9. Cho [C] là đồ thị hàm số có phương trình: y = x2 +2x+5 và đường thẳng d : y = x+1. Số giao điểm của [C] và d là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 87 lovestem .edu.vn
10. hàm số y = x3 3 −x2 +1 có đồ thị [C] như hình vẽ. Phương trình x3 3 −x2 +1 = m có 3 nghiệm phân biệt khi: A. m = 1 hoặc m = −1 3 . B. m > 1. C. m < −1 3 . D. −1 3 < m < 1. Câu 11. Cho hàm số y = x4 − 5x2 + 9 có đồ thị [C] như hình vẽ. Phương trình x4 − 5x2 + 9 = m + 1 vô nghiệm khi: A. m < 7 4 . B. m < 11 4 . C. m > 9. D. m > 8. Câu 12. Cho hàm số y = f[x] có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f[x] = m vô nghiệm khi: A. m = 1. B. m < 1. C. m > 1. D. m = 1. Câu 13. Cho hàm số y = f[x] có bảng biến thiên như hình vẽ. 88 lovestem .edu.vn
11. 1 +∞ + 0 − 0 + −∞−∞ 33 −1−1 ∞∞ Xét phương trình f[x] = m2 + m. Với m = 2 phương trình trên có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 14. Cho hàm số y = f[x] có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f[x] = m có 3 nghiệm phân biệt khi: A. m = 0. B. m = 2. C. m = 1. D. 1 ≤ m ≤ 2. 8.2.2 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 15. Số giao điểm của đường cong y = x3 − 2x2 + 2x + 1 và đường thẳng y = 1 − x là: A. 0. B. 2. C. 3. D. 1 . Câu 16. Số giao điểm của đường cong y = x4 − 2x2 + 1 và y = 1 là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 17 [THTT số 2]. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 2 x + 1 và đường thẳng y = −2x là: A. [−2; −4]. B. − 1 2 ; 1 . C. −2; − 1 2 . D. [−2; 4], 1 2 ; −1 . Câu 18. Tung độ giao điểm của đường thẳng y = x − 2 và đường cong y = x2 − x − 1 là: A. /−1 . B. 1. C. −2. D. 0. Câu 19. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 − 4x + 4 x + 5 và trục hoành nằm trong khoảng nào trong các khoảng sau? A. [−2; 0]. B. [0; 2] . C. [1; 3]. D. [2; 3]. Câu 20. Đồ thị hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm? A. −2x + 3 x + 1 . B. 3x + 4 x − 1 . C. 4x + 1 x + 2 . D. 2x − 3 3x − 1 . Câu 21. Cho đồ thị hàm số y = f[x] = ax3 + bx2 + cx + d[a = 0]. Xét các mệnh đề sau: [1]. Nếu phương trình y = 0 có 2 nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt [2]. Nếu phương trình y = 0 có nghiệm kép thì đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 1 điểm. 89 lovestem .edu.vn
12. thị hàm số cắt trục Ox tại 1 điểm thì phương trình y = 0 hoặc có nghiệm kép hoặc vô nghiệm. [4]. Nếu ac 2. B. k < −2 hoặc k > 1. C. k < −2 hoặc k > 3. D. k < −3 hoặc k > 2. Câu 25. Gọi S là tập các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số y = mx2 + x + m x − 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Khẳng định nào sau đây SAI? A. S ⊂ [−1; 1]. B. 0 ∈ S. C. S ⊂ [−1; 0]. D. S ⊂ [−1; 1]. Câu 26. Xét phương trình x3 + 3x2 = m.Khẳng định nào sau đây là đúng: A. Với m = 5 thì phương trình có 3 nghiệm. B. Với m = −1 thì phương trình có 2 nghiệm. C. Với m = 4 thì phương trình có 3 nghiệm. D. Với m = 2 thì phương trình có 3 nghiệm. Câu 27. Tìm m để phương trình x3 + 3x2 − 5 = m có 3 nghiệm phân biệt. A. m < −5. B. m > −1. C. −5 < m < −1. D. m = −5 hoặc m = −1. Câu 28. Đường thẳng y = m không cắt đồ thị y = −2x4 + 4x2 + 2 khi: A. 0 < m < 4. B. m > 4. C. m < 0. D. m = 0 hoặc m = 4. Câu 29. Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = m + 1 cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 2 tại 3 điểm phân biệt? A. 0 < m < 4. B. m = 0 hoặc m = 4. C. −3 < m < 1. D. m = −1 hoặc m = 3. Câu 30. Tìm giá trị của m để đường thẳng y = m tiếp xúc với đồ thị hàm số có phương trình: y = x3 − 6x2 + 9x + 1. A. 1 < m < 5. B. m = 1. C. m = 1 hoặc m = 5. D. m = 5. 8.2.3 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 31. Cho hàm số y = 2x3 − 2x + 5 có đồ thị [C1], hàm số y = 2x3 − 5x + 8 có đồ thị [C2]. Hoành độ giao điểm của [C1] và [C2] là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau? A. x2 + 2x + 1 = 0. B. x3 − 1 = 0 . C. x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0. D. x2 + 3x + 2 = 0. 90 lovestem .edu.vn
13. hàm số y = x + 1 x − 1 có đồ thị [C]. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. [C] cắt đường thẳng y = 1 tại hai điểm. B. [C] cắt đường thẳng y = 4 tại hai điểm . C. [C] tiếp xúc với đường thẳng y = 0. D. [C] không cắt đường thẳng y = −2. Câu 33. Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y = x+1 và đường cong y = 2x + 4 x − 1 . Hoành độ trung điểm của MN là: A. 1. B. 2. C. 5 2 . D. −5 2 . Câu 34. Cho [C] là đồ thị của hàm số y = x2 − x + 1 x − 1 , đường thẳng [d]: x + 2y − 3 = 0 và bốn điểm A[0; −1], B[−1; 0], C[2; 3], D[3; 2]. Trong bốn điểm trên, hai điểm nào vừa thuộc [C] vừa đối xứng với nhau qua đường thẳng [d]? A. A và B. B. B và C . C. A và C. D. B và D. Câu 35. Gọi M, N là giao điểm của đường y = 3 − x và đường cong y = −2x + 4 x + 2 . Độ dài MN là: A. 2. B. √ 2 . C. 3. D. 3 √ 2. Câu 36. Đồ thị hàm số nào sau đây không cắt trục tung? A. x3 + 2x − 1. B. y = 3 − x4 . C. y = 2x2 − 1 x + 2 . D. y = x + 1 x . Câu 37. Đồ thị hàm số nào sau đây không cắt trục hoành? A. x3 − 2x − 1. B. y = 2 − x4 . C. x2 x + 3 . D. y = x4 − x2 + 1 . Câu 38. Cho đồ thị hàm số [C]: y = x3 − 6x2 + 9x − 6 và đường thẳng d: y = mx − 2m − 4. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d cắt [C] tại ba điểm phân biệt? A. m > −3. B. m > 1. C. m < −3. D. m < 1. Câu 39. Cho hàm số y = x3 − 3m2 x + 2m [Cm]. Gọi S là tập các giá trị của m sao cho [Cm] và trục hoành có đúng hai điểm chung phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng? A. S ⊂ [−1; 1]. B. S ⊂ [−2; 2]. C. 0 ∈ S. D. S ⊃ [−1; 0]. Câu 40. Cho đồ thị hàm số [C]: y = x3 − 3x2 + 3[1 − m]x + 3m − 1. Giá trị của m sao cho [C] cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thỏa mãn đẳng thức nào dưới đây? A. m3 − 3m + 2 = 0. B. m3 − 3m2 + 2 = 0. C. m3 − 3m = 0. D. m3 − 3m + 1 = 0. Câu 41. Đường thẳng d: y = x − k cắt đồ thị hàm số [C]: y = 4 x tại hai điểm phân biệt A, B. Biết rằng M[−1; 1] là trung điểm của AB. Giá trị của biểu thức −k3 + k2 − 1 bằng? A. 1. B. −1. C. −19. D. 11. Câu 42. Cho hàm số y = 2x + 3 x + 2 có đồ thị [C] và đường thẳng d: y = x + m. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d cắt [C] tại hai điểm phân biệt? A. m ≤ 2. B. m ≥ 6. C. 2 < m < 6. D. m < 2 hoặc m > 6. Câu 43. Cho đồ thị hàm số y = −2x + 1 x + 1 và đường thẳng d: y = −x + m. Tổng các giá trị của m làm cho d cắt [C] tại hai điểm phân biệt A, B với AB = 2 √ 2 bằng? A. 8. B. −6. C. −5. D. 7. Câu 44. Cho đồ thị hàm số y = 2x + 1 x + 1 và đường thẳng d: y = x + m. Với giá trị nào của m thì d cắt [C] tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O? A. m = 1 3 . B. m = 4 3 . C. m = 2 3 . D. m = −1 3 . 91 lovestem .edu.vn
14. đồ thị hàm số [Cm]: y = x3 − 3[m + 1]x2 + 2[m2 + 4m + 1]x − 4m[m + 1]. Với giá trị nào của m thì [Cm] cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1? A. m > 0. B. m > 1 2 và m = 1. C. m > 1 2 . D. m > 0 và m = 1 2 . Câu 46. Cho hàm số y = x4 − 3x2 + 2 có đồ thị [C]. Hãy tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d: y = m cắt [C] tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn tam giác OAB vuông tại O? A. m ∈ R. B. Không có giá trị nào của m. C. m ∈ [−∞, 2]. D. m ∈ −∞; − 1 4 ∪ − 1 4 ; 2 . Câu 47. Cho đồ thị hàm số y = x4 − [m2 + 10]x2 + 9. Để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn |x1| + |x2| + |x3| + |x4| = 10 thì tất cả các giá trị m thỏa mãn có giá trị trung bình cộng là bao nhiêu? A. 3. B. 1. C. 0. D. 2. Câu 48. Cho đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + 2 [Cm] và đường thẳng d: y = 2mx + m + 1. Để [Cm] giao d tại 3 điểm phân biệt I[−1; 1 − m], A, B đồng thời các tiếp tuyến với [Cm] tại A, B có cùng hệ số góc thì giá trị m thỏa mãn có phần nguyên bằng bao nhiêu? A. 0. B. −6. C. Không có giá trị nào. D. −3. Câu 49. Cho phương trình 4x3 − 3x = m2 − 2m. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt? A. m = 1 hoặc m = 1 ± √ 2 . B. 1 − √ 2 < m < 1. C. m < 1. D. 1 − √ 2 < m < 1 + √ 2. Câu 50. Cho hàm số y = x3 − 3x + 1 có đồ thị [C] như hình vẽ.Tìm giá trị của m để phương trình: |x3 − 3x + 1| = m có 5 nghiệm phân biệt. A. m = 3. B. m = 1. C. m = −1. D. m = 0. Lời giải. Chọn đáp án B Từ đồ thị của hàm số y = x3 −3x+1 ta có thể suy ra đồ thị [C1]của hàm số y = |x3 −3x+1|: 92 lovestem .edu.vn
15. trình có 5 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = m cắt đồ thị [C1] tại 5 điểm phân biệt ⇔ m = 1 ⇒ Đáp án B. Câu 51. Tìm m để phương trình |x|3 − 3x2 + 2 = m có 2 nghiệm phân biệt. A. m = −1. B. m = 0. C. m = 2. D. m = −2 hoặc m > 2. 8.2.4 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NÂNG CAO Câu 52 [KHTN-4]. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Hỏi phương trình ax3 + bx2 + cx + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. Phương trình không có nghiệm. B. Phương trình có đúng một nghiệm. C. Phương trình có đúng hai nghiệm. D. Phương trình có đúng ba nghiệm . Câu 53. Cho đồ thị hàm số y = x + 1 x − 2 và đường thẳng d: y = x + m. Với giá trị nào của m thì d cắt [C] tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường tròn x2 + y2 − 3y = 4? A. m = −3 hoặc m = 2 15 . B. m = −3 hoặc m = 15 2 . C. m = 2 15 hoặc m = 0. D. m = −1 hoặc m = 0. Câu 54. Cho đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + 2m[m − 4]x + 9m2 − m [Cm]. Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt sao cho hoành độ của chúng lập thành cấp số cộng thì tất cả các giá trị m thỏa mãn có giá trị trung bình cộng là bao nhiêu? A. 1 2 . B. 1. C. −1. D. − 1 2 . Câu 55. Cho hàm số y = x3 − 2x2 + [1 − m]x + m [Cm]. Tìm tất cả các giá trị của m để [Cm] cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn x2 1 + x2 2 + x2 3 < 4? A. − 1 4 , 0 ∪ [0, +∞]. B. −∞; − 1 4 ∪ − 1 4 ; 1 . C. − 1 4 ; 0 ∪ [0, 1]. D. − 1 4 ; 1 ∪ [1, +∞]. Câu 56. Cho đồ thị hàm số của y = x3 − [3m + 1]x2 + [5m + 4]x − 8 [Cm]. Để [Cm] cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt sao cho hoành độ của chúng lập thành cấp số nhân thì giá trị của m thỏa mãn nằm trong khoảng nào? A. [−1, 1]. B. [1, 3]. C. [3, 4]. D. [−2, −1]. 93 lovestem .edu.vn
16. hàm số y = 1 3 x3 − 2x2 + 3x có đồ thị [C]. d là đường thẳng qua O có hệ số góc m. Để d cắt [C] tại 3 điểm phân biệt O, A, B sao cho điểm cực tiểu của [C] nhìn AB một góc 90 ◦ thì tất cả các giá trị của m thỏa mãn có giá trị trung bình cộng là bao nhiêu? A. √ 5 2 . B. 3 2 . C. 0. D. 1 2 . Câu 58. Cho đồ thị hàm số [Cm]: y = x4 − [m + 1]x2 + m. Để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau thì tất cả các giá trị m thỏa mãn có giá trị trung bình cộng là bao nhiêu? A. 9 2 . B. 40 9 . C. 41 9 . D. 11 2 . Câu 59. Cho đồ thị hàm số y = −2x + 1 x + 1 [C] và đường thẳng dm: y = 3x + m. Để [dm] cắt [C] tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất thì giá trị m thỏa mãn có phần nguyên bằng bao nhiêu? A. −1. B. m = 0. C. m = −2. D. 1. Câu 60. Cho đồ thị hàm số [C]: y = x + 2 2x + 1 và dm: y = mx+m−1. Tìm m để dm cắt [C] tại hai điểm phân biệt sao cho 2 điểm này nằm trên cùng một nhánh của đường thẳng [C]. A. [0, 1]. B. [−1, 1]. C. [−∞, 0]. D. [−1, 0]. Câu 61. Tìm m để đồ thị hàm số [Cm]: y = x3 − 3m2 x + 4m cắt dm: y = −2m2 tại 3 điểm phân biệt sao cho trong 3 điểm đó có ít nhất 2 điểm có hoành độ dương. A. [−1; 0]. B. [−∞; −2] ∪ [2; +∞]. C. [−2; −1]. D. [−2; −1] ∪ [2; +∞]. Câu 62. Cho đồ thị hàm số y = 2x + 1 2x − m , đường thẳng d: y = 3x − 1 và các điểm A[−2; 3], C[4; 1]. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt B, D sao choABCD là hình thoi? A. m = 8 3 . B. m = 1. C. m = 2. D. m = 0 hoặc m = 1. Câu 63. Cho đồ thị hàm số y = x + 1 x − 1 và đường thẳng d: y = 2x + m. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt sao cho góc AOB nhọn? A. m < 5. B. m > 0. C. m < 0. D. m > 5. Câu 64. Cho hàm số y = −x3 + bx2 + cx + d có các hệ số b, c, d thỏa mãn b − c + d < −1 và 4b + 2c + d > 8. Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 65. Cho đồ thị hàm số y = x x + 2 [C]. Với giá trị nào của a, b thì đường thẳng d: y = ax+b cắt [C] tại hai điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ : x−2y +4 = 0? A. a = −2, b = −3. B. a = −3, b = −2. C. a = −1, b = 0. D. a = 0, b = −1. Câu 66. Cho hàm số y = 2x − m mx + 1 [m = 0] có đồ thị [C] và đường thẳng ∆: y = 2x − 2m. ∆ cắt [C] tại hai điểm phân biệt A, B. ∆ cắt trục Ox, Oy tại C, D. Biết diện tích tam giác OAB gấp 3 lần diện tích tam giác OCD. Giá trị của biểu thức 4m2 − 1 bằng? A. 3. B. 0. C. −1. D. 1. Câu 67. Cho đồ thị hàm số y = −x + 1 2x − 1 . Biết đường thẳng d: y = x + m luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại A, B. Với giá trị nào của m thì k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất? A. m = 2. B. m = 1. C. m = 0. D. m = −1. 94 lovestem .edu.vn
17. hàm số y = x + 2 x − 1 có đồ thị [C] và đường thẳng ∆ đi qua A[1; 0] có hệ số góc m. Với giá trị nào của m thì ∆ cắt [C] tại hai điểm phân biệt M và N sao cho AM = 2AN? A. m = 2 3 hoặc m = −2 27 . B. m = −2 3 hoặc m = −1 27 . C. m = 1 3 hoặc m = −4 27 . D. m = 4 3 hoặc m = −2 27 . Câu 69. Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm duy nhất: ln[mx] = 2 ln[x + 1] A. m < 0. B. m = 4 hoặc m < 0. C. m = 4. D. Không có giá trị của m thỏa mãn. Lời giải. Chọn đáp án B Ta có phương trình đã cho tương đương với: ⇔    mx = [x + 1]2 mx > 0 x + 1 > 0 có nghiệm duy nhất. ⇔    m = [x + 1]2 x mx > 0 x > −1 có nghiệm duy nhất. Khảo sát hàm g[x] = [x + 1]2 x và vẽ bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên lập luận ta có ⇔ m = 4 hoặc m < 0 ⇒ Đáp án B. Câu 70. Cho phương trình: x + 1 x − 1 = log2[m + 3]. Để phương trình trên có một nghiệm duy nhất thì tất cả các giá trị của m thỏa mãn có giá trị trung bình cộng là bao nhiêu? A. − 3 2 . B. −1. C. 1 2 . D. 0. Lời giải. Chọn đáp án A Ta có f[x] = x + 1 x − 1 có đồ thị là [C]: Phương trình đã cho có 1 nghiệm phân biệt ⇔ log2[m + 3] = 0 hoặc log2[m + 3] = 1 hay m = −2 hoặc m = −1. ⇒ Đáp án A. 95 lovestem .edu.vn
18. phương trình: |x|3 − 2|x| = 3m2−2m+1 − 3 Để phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt thì tất cả các giá trị m thỏa mãn có giá trị trung bình cộng là bao nhiêu? A. 1. B. 2. C. 1 2 . D. 3 2 . Lời giải. Chọn đáp án A Ta có f[x] = |x|3 − 2|x| có đồ thị [C]: Phương trình có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 3m2−2m+1 − 3 = 0 ⇔ m = 0 hoặc m = −2. ⇒ Đáp án A. 96 lovestem .edu.vn