Cách tìm tập nghiệm của bất phương trình logarit

1. Bất phương trình mũ cơ bản

ax > b [ hoặc ax < b; ax b; ax b], trong đó a,b là hai số đã cho, a> 0, a\[\ne\]1.

Ta thường giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Lôgarit hóa bất phương trình [mà cả hai vế đều dương] theo cơ số lớn hơn 1[ nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình] ta được bất phương trình tương đương [trường hợp một vế âm, một vế dương ta có thể kết luận ngay về tập nghiêm]:

- Nếu b > 0 và a > 1 thì

ax> b\[\log_{a}a^{x}\]>logab x >logab;

ax b x logab

ax< b x < logab;

ax b x logab

- Nếu b>0 và \[0 < a b\[\log_{a}a^{x}\]< logab x < logab;

ax b x logab

ax< b x > logab;

axb x logab

- Nếu b 0 thì các bất phương trình ax> b, ax bđều đúng với mọi x [tập nghiện là \[\mathbb R\]]

-Nếu b 0 thì các bất phương trìnhax< b, axbđều vô nghiệm

2. Bất phương trình lôgarit cơ bản dạnglogax > b [hoặc logax < b; logax b; logax b]

trong đó a,b là hai số đã cho,a>0, a\[\ne\]1

Ta giải bất phương trình loogarit cơ bản bằng cách mũ hóa sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Mũ hóa bất phương trình theo cơ số lớn hơn 1 [nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình] ta được bất phương trình tương đương.

- Nếu a > 1 thì

logax > b\[a^{\log_{a}x}\]>ab x > ab ;

logax bx ab

logax < b 0 < x < ab;

logax b 0 < x ab

- Nếu 0 < a < 1 thì

logax > b\[a^{\log_{a}x}\]< ab 0 < x < ab;

logax b 0 < x ab

logax < b x > ab;

logax b x ab

3. Chú ý: Các bất phương trình mũ, lôgarit cơ bản nêu trên trong trường hợp b =aα[ đối với bất phương trình mũ cơ bản] và b =logaα [ trường hợp bất phương trình lôgarit cơ bản] thì có thể sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải, không cần lôgarit hóa hay mũ hóa. Chẳng hạn:

Nếu a > 1 thì ax> aα x >α;

Nếu 0 < a < 1 thìlogax>logaα 0 < x