- LG a
- LG b
Cho dãy số [un] xác định bởi
\[{u_1} = 10\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over 5} + 3\] với mọi \[n 1\]
LG a
Chứng minh rằng dãy số [vn] xác định bởi \[{v_n} = {u_n} - {{15} \over 4}\] là một cấp số nhân.
Phương pháp giải:
Dãy số \[[v_n]\] là cấp số nhân nếu \[v_{n+1}=q.v_n\] với q là số thực không đổi [công bội].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle {v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {{15} \over 4}\] \[\displaystyle = {{{u_n}} \over {5}} + 3 - {{15} \over 4} = {{{u_n}} \over 5} - {3 \over 4}\]
Thay \[\displaystyle {u_n} = {v_n} + {{15} \over 4}\] vào ta được:
\[\displaystyle {v_{n + 1}} = {1 \over 5}\left[ {{v_n} + {{15} \over 4}} \right] - {3 \over 4} \] \[\displaystyle = \frac{1}{5}{v_n} + \frac{3}{4} - \frac{3}{4}={1 \over 5}{v_n},\forall n\]
Vậy [vn] là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \[\displaystyle q = {1 \over 5}\]
LG b
Tìm \[\lim u_n\].
Phương pháp giải:
Tìm số hạng tổng quát \[{v_n} = {v_1}{q^{n - 1}}\] suy ra giới hạn \[\lim v_n\].
Từ đó suy ra \[\lim u_n\].
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& {v_1} = {u_1} - {{15} \over 4} = 10 - {{15} \over 4} = {{25} \over 4} \cr
& {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {{25} \over 4}.{\left[ {{1 \over 5}} \right]^{n - 1}} \cr
& \lim {\left[ {\frac{1}{5}} \right]^{n - 1}} = 0\Rightarrow \lim {v_n} = 0\cr & \Rightarrow \lim \left[ {{u_n} - \frac{{15}}{4}} \right] = 0\cr &\Rightarrow \lim {u_n} = {{15} \over 4} \cr} \]