Câu 8 trang 78 sgk hình học 11 nâng cao
Thuận. Gọi O là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho OA : OB = k. Từ O ta vẽ hai tia Ox và Oy sao cho Ox // Ax, Oy // By. Xét phép chiếu song song theo phương AB lên mp(Ox, Oy). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của M và N theo phép chiếu này. Khi đó, giao điểm của MN và MN chính là điểm I vì rõ ràng ta có :
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho hai tia Ax và By nằm trên hai đường thẳng chéo nhau. Một điểm M chạy trên Ax và một điểm N chạy trên By sao cho AM = kBN (k > 0 cho trước) LG a Chứng minh rằng MN song song với một mặt phẳng cố định Giải chi tiết: Dựng tia Bz song song và cùng hướng với tia Ax. Trên các tia Ax, By và Bz lần lượt lấy các điểm cố định M0, N0và M0sao cho \({{A{M_0}} \over {B{N_0}}} = k\) và \(BM{'_0} = A{M_0}\) Khi đó ta có : \({M_0}M{'_0}//AB\) và \({{BM{'_0}} \over {BN_0}} = k\,\,\left( 1 \right)\) Lấy điểm M thuộc tia Bz sao cho BM = AM. Từ (1) và (2) ta có : MM // M0M0(3) Và \({{BM'} \over {BN}} = {{B{M'_0}} \over {B{N_0}}}\,\,\left( 4 \right)\) Từ (4) suy ra NM // N0M0 (5) Từ (3) và (5) suy ra mp(MNM) // mp(M0N0M0). Vậy MN luôn song song với mặt phẳng cố định (M0N0M0) LG b Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoạn MN sao cho IM = kIN Giải chi tiết: Thuận. Gọi O là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho OA : OB = k. Từ O ta vẽ hai tia Ox và Oy sao cho Ox // Ax, Oy // By. Xét phép chiếu song song theo phương AB lên mp(Ox, Oy). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của M và N theo phép chiếu này. Khi đó, giao điểm của MN và MN chính là điểm I vì rõ ràng ta có : \({{IM} \over {IN}} = {{M'M} \over {N'N}} = {{OA} \over {OB}} = k\) Trong tam giác MON, ta có : \({{IM'} \over {IN'}} = k,{{OM'} \over {ON'}} = {{AM} \over {BN}} = k\) Vậy \({{IM'} \over {IN'}} = {{OM'} \over {ON'}} = k.\) Từ đó suy ra I phải nằm trên tia phân giác Ot của góc xOy. Đảo. Giả sử I là một điểm bất kì thuộc tia phân giác Ot của góc xOy. Gọi M, N là những điểm lần lượt thuộc tia Ox, tia Oy sao cho M, I, N thẳng hàng và \({{IM'} \over {IN'}} = k\) (có thể tìm M, N bằng cách dùng phép vị tự tâm I tỉ số -k trên mp(Oxy)). Gọi M, N lần lượt là những điểm thuộc các tia Ax, By sao cho AM = OM, BN = ON. Dễ thấy I, M, N thẳng hàng và IM : IN = k Kết luận : Tập hợp các điểm I thỏa mãn điều kiện bài toán là tia phân giác Ot của góc xOy.
|