- LG a
- LG b
Cho hai tia Ax và By nằm trên hai đường thẳng chéo nhau. Một điểm M chạy trên Ax và một điểm N chạy trên By sao cho AM = kBN [k > 0 cho trước]
LG a
Chứng minh rằng MN song song với một mặt phẳng cố định
Giải chi tiết:
Dựng tia Bz song song và cùng hướng với tia Ax. Trên các tia Ax, By và Bz lần lượt lấy các điểm cố định M0, N0và M0sao cho \[{{A{M_0}} \over {B{N_0}}} = k\] và \[BM{'_0} = A{M_0}\]
Khi đó ta có : \[{M_0}M{'_0}//AB\] và \[{{BM{'_0}} \over {BN_0}} = k\,\,\left[ 1 \right]\]
Lấy điểm M thuộc tia Bz sao cho BM = AM.
Từ [1] và [2] ta có : MM // M0M0[3]
Và \[{{BM'} \over {BN}} = {{B{M'_0}} \over {B{N_0}}}\,\,\left[ 4 \right]\]
Từ [4] suy ra NM // N0M0 [5]
Từ [3] và [5] suy ra mp[MNM] // mp[M0N0M0].
Vậy MN luôn song song với mặt phẳng cố định [M0N0M0]
LG b
Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoạn MN sao cho IM = kIN
Giải chi tiết:
Thuận. Gọi O là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho OA : OB = k. Từ O ta vẽ hai tia Ox và Oy sao cho Ox // Ax, Oy // By. Xét phép chiếu song song theo phương AB lên mp[Ox, Oy]. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của M và N theo phép chiếu này. Khi đó, giao điểm của MN và MN chính là điểm I vì rõ ràng ta có :
\[{{IM} \over {IN}} = {{M'M} \over {N'N}} = {{OA} \over {OB}} = k\]
Trong tam giác MON, ta có : \[{{IM'} \over {IN'}} = k,{{OM'} \over {ON'}} = {{AM} \over {BN}} = k\]
Vậy \[{{IM'} \over {IN'}} = {{OM'} \over {ON'}} = k.\] Từ đó suy ra I phải nằm trên tia phân giác Ot của góc xOy.
Đảo. Giả sử I là một điểm bất kì thuộc tia phân giác Ot của góc xOy.
Gọi M, N là những điểm lần lượt thuộc tia Ox, tia Oy sao cho M, I, N thẳng hàng và \[{{IM'} \over {IN'}} = k\] [có thể tìm M, N bằng cách dùng phép vị tự tâm I tỉ số -k trên mp[Oxy]]. Gọi M, N lần lượt là những điểm thuộc các tia Ax, By sao cho AM = OM, BN = ON. Dễ thấy I, M, N thẳng hàng và IM : IN = k
Kết luận : Tập hợp các điểm I thỏa mãn điều kiện bài toán là tia phân giác Ot của góc xOy.