Câu 1 [3,0 điểm]:
Tính các giới hạn sau đây:
a] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {{x^3} - 2x + 1} \right]\]
b] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 10x + 16}}{{x - 2}}\]
c] \[\lim \frac{{2{n^2} + n - 1}}{{5 - n}}\]
Câu 2 [2,5 điểm]:
Cho hàm số \[y = 2{x^2} - 3x + 1\] có đồ thị là parabol [P].
a] Tính đạo hàm \[y'\] của hàm số đã cho và giải phương trình \[y' = 0\].
b] Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \[\left[ P \right]\] tại điểm có hoành độ \[{x_0} = - 1\].
Câu 3 [3,5 điểm]:
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật, \[AB = a,AD = a\sqrt 2 \], đường thẳng \[SA\] vuông góc với mặt phẳng \[\left[ {ABCD} \right]\], \[SA = a\sqrt 3 \] [với \[a > 0\]]. Gọi \[M,N\] lần lượt là các điểm thuộc đường thẳng \[SB,SD\] sao cho \[AM\] vuông góc với \[SB\] và \[AN\] vuông góc với \[SD\]. Gọi \[I\] là trung điểm của đoạn thẳng \[MN\] và \[H\] là trung điểm của đoạn thẳng \[SC\].
a] Chứng minh rằng đường thẳng \[CD\] vuông góc với mặt phẳng \[\left[ {SAD} \right]\] và đường thẳng \[AN\] vuông góc với mặt phẳng \[\left[ {SCD} \right]\].
b] Gọi góc giữa đường thẳng \[AC\] và mặt phẳng \[\left[ {SCD} \right]\] là \[\varphi \]. Tính \[\sin \varphi \].
c] Tính độ dài đoạn thẳng \[IH\] theo \[a\].
Câu 4 [1,0 điểm]:
Cho các số thực \[a,b,c\] thỏa mãn điều kiện \[7a + b + 3c = 0\]. Chứng minh rằng phương trình \[a{x^2} + bx + c = 2020\cos \frac{{\pi x}}{2}\] có ít nhất một nghiệm trên \[\mathbb{R}\].
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
Câu 1 [VD]:
Phương pháp:
a] Thay \[x = 3\] vào hàm số dưới dấu giới hạn.
b] Khử dạng vô định bằng cách phân tích tử thành nhân tử.
c] Chia cả tử và mẫu cho \[n\] và áp dụng quy tắc tính giới hạn.
Cách giải:
Tính các giới hạn sau đây:
a] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {{x^3} - 2x + 1} \right]\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {{x^3} - 2x + 1} \right]\] \[ = {3^3} - 2.3 + 1 = 22\]
b] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 10x + 16}}{{x - 2}}\]
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 10x + 16}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 8} \right]}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {x - 8} \right]\\ = 2 - 8\\ = 6\end{array}\]
c] \[\lim \frac{{2{n^2} + n - 1}}{{5 - n}}\]
\[\begin{array}{l}\lim \frac{{2{n^2} + n - 1}}{{5 - n}}\\ = \lim \frac{{{n^2}\left[ {2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right]}}{{n\left[ {\frac{5}{n} - 1} \right]}}\\ = \lim \left[ {n.\frac{{2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{5}{n} - 1}}} \right]\\ = - \infty \end{array}\]
Vì \[\lim n = + \infty \] và \[\lim \frac{{2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{5}{n} - 1}}\] \[ = \frac{{2 + 0 - 0}}{{0 - 1}} = - 2 < 0\].
Câu 2 [VD]:
Phương pháp:
a] Sử dụng công thức \[\left[ {{x^n}} \right]' = n{x^{n - 1}}\] tính \[y'\].
b] Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại điểm \[{M_0}\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] là:
\[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + {y_0}\]
Cách giải:
Cho hàm số \[y = 2{x^2} - 3x + 1\] có đồ thị là parabol [P].
a] Tính đạo hàm \[y'\] của hàm số đã cho và giải phương trình \[y' = 0\].
\[\begin{array}{l}y' = \left[ {2{x^2}} \right]' - \left[ {3x} \right]' + \left[ 1 \right]'\\ = 2.2x - 3.1 + 0\\ = 4x - 3\\y' = 0 \Leftrightarrow 4x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 4x = 3\\ \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\end{array}\]
Vậy với \[x = \frac{3}{4}\] thì \[y' = 0\].
b] Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \[\left[ P \right]\] tại điểm có hoành độ \[{x_0} = - 1\].
Đặt \[y = f\left[ x \right] = 2{x^2} - 3x + 1\].
Với \[{x_0} = - 1\] thì \[{y_0} = f\left[ { - 1} \right]\] \[ = 2.{\left[ { - 1} \right]^2} - 3.\left[ { - 1} \right] + 1 = 6\]
Hệ số góc của tiếp tuyến: \[k = f'\left[ { - 1} \right] = 4.\left[ { - 1} \right] - 3 = - 7\]
Phương trình tiếp tuyến: \[y = - 7\left[ {x + 1} \right] + 6\] hay \[y = - 7x - 1\].
Câu 3 [VD]:
Phương pháp:
a] Muốn chứng minh \[d \bot \left[ P \right]\] ta chứng minh \[d\] vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong \[\left[ P \right]\]
b] Góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\] là góc giữa đường thẳng \[d\] và \[d'\] với \[d'\] là hình chiếu của \[d\] lên mặt phẳng \[\left[ P \right]\].
Tính toán theo định lý Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn
c] Sử dụng qui tắc cộng trừ các véc tơ để biểu diễn được \[\overrightarrow {IH} \] theo \[\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \]
Từ đó sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ bằng \[0\] nếu giá của chúng vuông góc với nhau để tính độ dài \[IH.\]
Cách giải:
a] Chứng minh rằng đường thẳng \[CD\] vuông góc với mặt phẳng \[\left[ {SAD} \right]\] và đường thẳng \[AN\] vuông góc với mặt phẳng \[\left[ {SCD} \right]\].
Vì \[ABCD\] là hình chữ nhật nên \[CD \bot AD\]
Vì \[SA \bot \left[ {ABCD} \right]\] \[ \Rightarrow SA \bot CD\]
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\\AD \cap SA = \left\{ A \right\}\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow CD \bot \left[ {SAD} \right]\]
Vì \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot \left[ {SAD} \right]\\AN \subset \left[ {SAD} \right]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow CD \bot AN\]
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}AN \bot SD\\AN \bot CD\\SD \cap CD = \left\{ D \right\}\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow AN \bot \left[ {SCD} \right]\]
b] Gọi góc giữa đường thẳng \[AC\] và mặt phẳng \[\left[ {SCD} \right]\] là \[\varphi \]. Tính \[\sin \varphi \].
Ta có \[AN \bot \left[ {SCD} \right]\] tại \[N\] [cmt] nên \[CN\] là hình chiếu của \[CA\] lên mặt phẳng \[\left[ {SCD} \right]\]
Suy ra góc giữa \[AC\] và \[\left[ {SCD} \right]\] là góc giữa \[CA\] và \[CN\]. Hay \[\varphi = \widehat {ACN}\].
Ta tính \[\widehat {ACN}\] .
Vì \[SA \bot \left[ {ABCD} \right]\] nên \[SA \bot AC\]
Xét tam giác \[SAC\] vuông tại \[A,\] theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\[\frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\] \[ \Leftrightarrow \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}}\] \[ = \frac{5}{{6{a^2}}}\] \[ \Rightarrow AN = \frac{{\sqrt {30} }}{5}\]
Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\], theo định lý Pytago ta có: \[AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \] \[ = \sqrt {{a^2} + {{\left[ {a\sqrt 2 } \right]}^2}} = a\sqrt 3 \]
Vì \[AN \bot \left[ {SCD} \right]\] mà \[CN \subset \left[ {SCD} \right]\] nên \[AN \bot CN\]
Xét tam giác vuông \[ANC\] có \[\sin \widehat {ACN} = \frac{{AN}}{{AC}}\] \[ = \frac{{\frac{{a\sqrt {30} }}{5}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\]
Suy ra \[\sin \varphi = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\].
c] Tính độ dài đoạn thẳng \[IH\] theo \[a\].
Vì \[\Delta SAD,\Delta SAB\] vuông tại \[A\] nên \[N,M\] lần lượt thuộc đoạn \[SB,SD\].
Xét tam giác \[SAD\] vuông tại \[A\] có \[S{A^2} = SN.SD\] \[ \Leftrightarrow \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}}\] \[ = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{D^2}}}\] \[ = \frac{{3{a^2}}}{{3{a^2} + 2{a^2}}} = \frac{3}{5}\]
Suy ra \[\overrightarrow {SN} = \frac{3}{5}\overrightarrow {SD} \]
Xét tam giác \[SAB\] vuông tại \[A\] có \[S{A^2} = SM.SB\] \[ \Leftrightarrow \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}}\] \[ = \frac{{3{a^2}}}{{3{a^2} + {a^2}}} = \frac{3}{4}\]
Suy ra \[\overrightarrow {SM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {SB} \]
Ta có: \[\overrightarrow {IH} = \overrightarrow {SH} - \overrightarrow {SI} \]
\[ = \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} - \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {SM} + \overrightarrow {SN} } \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} - \frac{1}{2}\left[ {\frac{3}{4}\overrightarrow {SB} + \frac{3}{5}\overrightarrow {SD} } \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} - \frac{3}{8}\overrightarrow {SB} - \frac{3}{{10}}\overrightarrow {SD} \]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} } \right] - \frac{3}{8}\left[ {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} } \right]\]\[- \frac{3}{{10}}\left[ {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AD} } \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right] \]\[- \frac{3}{8}\left[ {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} } \right]\]\[ - \frac{3}{{10}}\left[ {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AD} } \right]\]
\[ = - \frac{7}{{40}}\overrightarrow {SA} + \frac{1}{8}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} \]
Vì \[SA,AB,AD\] đôi một vuông góc nên ta có:
\[I{H^2} = {\left[ { - \frac{7}{{40}}\overrightarrow {SA} + \frac{1}{8}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} } \right]^2}\]
\[ = {\left[ {\frac{7}{{40}}} \right]^2}{\overrightarrow {SA} ^2} + \frac{1}{{64}}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{{25}}{\overrightarrow {AD} ^2}\] \[ - 2.\frac{7}{{40}}.\frac{1}{8}.\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} \] \[ - 2.\frac{7}{{40}}.\frac{1}{5}.\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AD} \]\[ + 2.\frac{1}{5}.\frac{1}{8}.\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \]
\[ = {\left[ {\frac{7}{{40}}} \right]^2}S{A^2} + \frac{1}{{64}}A{B^2} + \frac{1}{{25}}A{D^2}\]
\[ = {\left[ {\frac{7}{{40}}} \right]^2}.3{a^2} + \frac{1}{{64}}{a^2} + \frac{1}{{25}}.2{a^2}\]
=\[\frac{3}{{16}}{a^2}\]
Vậy \[IH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\].
Câu 4 [VDC]:
Phương pháp:
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] xác định và liên tục trên \[\left[ {a,b} \right]\]
Nếu ta có \[f\left[ a \right].f\left[ b \right] < 0\] thì phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất 1 nghiệm \[{x_0} \in \left[ {a;b} \right]\]
Cách giải:
Cho các số thực \[a,b,c\] thỏa mãn điều kiện \[7a + b + 3c = 0\]. Chứng minh rằng phương trình \[a{x^2} + bx + c = 2020\cos \frac{{\pi x}}{2}\] có ít nhất một nghiệm trên \[\mathbb{R}\].
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = a{x^2} + bx + c - 2020\cos \frac{{\pi x}}{2}\] xác định và liên tục trên \[\mathbb{R}.\]
Ta có: \[f\left[ 1 \right] = a + b + c\]
\[f\left[ { - 1} \right] = a - b + c\]
\[f\left[ 3 \right] = 9a + 3b + c\]
Suy ra \[2f\left[ 1 \right] + f\left[ 3 \right] + 3f\left[ { - 1} \right]\] \[ = 2a + 2b + 2c\] \[ + 9a + 3b + c\] \[ + 3a - 3b + 3c\]
\[ = 14a + 2b + 6c\] \[ = 2.\left[ {7a + b + 3c} \right] = 0\]
Hay \[2f\left[ 1 \right] + f\left[ 3 \right] + 3f\left[ { - 1} \right] = 0\]
+] Nếu trong ba số \[f\left[ 1 \right];f\left[ { - 1} \right];f\left[ 3 \right]\] có 1 số bằng \[0\] thì hai số còn lại có tổng bằng 0 nên chúng trái dấu.
Suy ra phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] luôn có ít nhất 1 nghiệm
+] Nếu cả 3 số \[f\left[ 1 \right];f\left[ { - 1} \right];f\left[ 3 \right]\] đều khác 0, vì \[2f\left[ 1 \right] + f\left[ 3 \right] + 3f\left[ { - 1} \right] = 0\] nên trong ba số \[f\left[ 1 \right];f\left[ { - 1} \right];f\left[ 3 \right]\]chắc chắn có hai số trái dấu nhau.
Suy ra phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] luôn có ít nhất 1 nghiệm
Vậy với \[7a + b + 3c = 0\] thì phương trình \[a{x^2} + bx + c = 2020\cos \frac{{\pi x}}{2}\] có ít nhất một nghiệm trên \[\mathbb{R}\].
HẾT