Cho p 2cos.3sin sin.3cos toán 10 năm 2024

Moon.vn

CÔNG TY CỔ PHẦN CÔNG NGHỆ GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN ALADANH Tầng 3 No - 25 Tân Lập, Phường Quỳnh Lôi, Quận Hai Bà Trưng, Thành phố Hà Nội, Việt Nam Mã số thuế: 0103326250. Giấy phép thiết lập mạng xã hội số: 304360/GP-BTTT Bộ thông tin và Truyền thông cấp ngày 26/7/2017 Chịu trách nhiệm nội dung: Đồng Hữu Thành.

Chính sách quyền riêng tư

• 1. tập phương trình lượng giác- KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos2 a – sin2 a cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos2 a –1 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin2 a sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa tan(a + b) = tan2a = tan(a - b) = 3.CÔNG THỨC HẠ BẬC cos2 a = 1 2 2 cos a+ sin2 a = 4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH cosa + cosb = 2.cos .cos cosa - cosb = -2.sin .sin sina + sinb = 2.sin .cos sina - sinb = 2.cos .sin sin( ) tan tan osacosb a b a b c + + = sin( ) tan tan osacosb a b a b c − − = 5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)] sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)] [ ] 1 sin osb= sin( ) sin( ) 2 ac a b a b+ + − [ ] 1 os sinb= sin( ) sin( ) 2 c a a b a b+ − − 6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x r a d -π - - - - - - - 0 π đ ộ - 18 0o - 150 o - 135 o - 120o - 90o - 60o - 45o - 30o 0 30 o 45 o 60 o 90 o 12 0o 13 5o 15 0o 180 o si n 0 - - - -1 - - - 0 1 0 co s -1 - - - 0 1 0 - - - -1 1
• 2. tập phương trình lượng giác- ta n 0 1 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0 co t || 1 0 - -1 - || 1 0 - -1 - || II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.Phương trình sinx=a.( -1≤ a ≤ 1) sinx = a ⇔ arcsina+k2 arcsina+k2 x x π π π =  = − ; k ∈ Z +sinx = sinα ⇔ +k2 +k2 x x α π π α π =  = − ; k ∈ Z ( a = sinα) sinx = 0 ⇔ x = kπ; k ∈ Z sinx = 1 ⇔ x = + k2π; k ∈ Z sinx = -1 ⇔ x = -+ k2π; k ∈ Z 2.Phương trình cosx=a.( -1≤ a ≤ 1) cosx = a ⇔ arccosa+k2 arccosa+k2 x x π π =  = − ; k ∈ Z +cosx = cosα ⇔ +k2 +k2 x x α π α π =  = − ; k ∈ Z ( a = cosα) cosx = 0 ⇔ x = + kπ; k ∈ Z cosx = 1 ⇔ x = k2π; k ∈ Z cosx = -1 ⇔ x = π+ k2π; k ∈ Z 3.Phương trình tanx=a. TXĐ: , 2 k k π π   + ∈    ¡ ¢ +t anx=a x=arctana+k ,kπ⇔ ∈¢ + tanx=tan x= +k ,kα α π⇔ ∈¢ tanx=1 x= , 4 tanx=-1 x=- , 4 t anx=0 x= , k k k k k k π π π π π ⇔ + ∈ ⇔ + ∈ ⇔ ∈ ¢ ¢ ¢ 4.Phương trình cotx=a. TXĐ: { } ,k kπ ∈¡ ¢ + t x=a x=arccota+k ,kco π⇔ ∈¢ +cotx=cot x= +k ,kα α π⇔ ∈¢ cotx=1 x= , 4 cotx=-1 x=- , 4 t x=0 x= , 2 k k k k co k k π π π π π π ⇔ + ∈ ⇔ + ∈ ⇔ + ∈ ¢ ¢ ¢ III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP. 1.Phương trình a.sinx+bcosx=c ( 2 2 0a b+ ≠ ) 2 2 2 2 2 2 sinx+ osx= a b c c a b a b a b ⇔ + + + đặt: 2 2 2 2 os = sin a c a b b a b α α   +   =  + 2
• 3. tập phương trình lượng giác- phương trình trở thành: 2 2 sinx os osxsin c c c a b α α+ = + 2 2 sin( ) c x a b α⇔ + = + *Chú ý +Phương trình có nghiệm khi 2 2 2 c a b≤ + +Nếu . 0, 0a b c≠ = thì: sin cos 0 tan b a x b x x a + = ⇔ = − 2.Phương trình : 2 2 asin sinxcosx+ccos 0x b x+ = (1) +Nếu a = 0: 2 sinxcosx+ccos 0b x = osx(bsinx+ccosx)=0c⇔ osx=0 bsinx+ccosx=0 c ⇔   +Nếu c = 0: 2 asin sinxcosx=0x b+ sinx(asinx+bcosx)=0⇔ sinx=0 asinx+bcosx=0  ⇔   +Nếu 0, 0,cos 0a c x≠ ≠ ≠ : 2 2 2 2 2 sin sinxcosx cos (1) 0 cos cos cos x x a b c x x x ⇔ + + = 2 tan t anx+c=0a x b⇔ + BÀI TẬP. Bài 1.Giải các phương trình: a) 2 cot(5 ) 0 8 x π − = b) 2 2cos 3cos 0x x+ = c) 3sin3 cos3 2x x− = d) 2 2 sin sin 2 2cos 2x x x+ + = Giải. a) 2 cot(5 ) 0 8 x π − = ⇔ 5 8 2 x k π π π− = + ⇔ 5 k x π π= + b) 2 2cos 3cos 0x x+ = cos 0 2 ,3 5cos 22 6 x x k k x x k π π π π = = +⇔ ⇔ ∈ = −  = ± +  ¢ c) 3sin3 cos3 2x x− = 3 1 sin3 cos3 1 2 2 x x⇔ − = ⇔ sin (3 ) 6 x π − = 1 ⇔ 3 2 6 2 x k π π π− = + ⇔ 2 2 9 3 k x π π = + d) 2 2 sin sin 2 2cos 2x x x+ + = ⇔ sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 sin 0 tan 2 arctan 2 x x k x x k π π = =  ⇔ ⇔ = = +  Bài 2.Giải các phương trình: a) 3 3 tan(3 ) 0 5 x π + = ⇔ 3 3 5 x k π π+ = ⇔ 5 3 k x π π = − + 3
• 4. tập phương trình lượng giác- b) 2 2sin sin 1 0x x− − = 2 2 sin 1 2 ,1 6sin 2 7 2 6 x k x x k k x x k π π π π π π  = + =  ⇔ ⇔ = − + ∈  = −   = +  ¢ c) sin5 cos5 2x x+ = − 1 1 sin5 cos5 1 2 2 x x⇔ + = − ⇔ sin (5 ) 4 x π + = - 1 ⇔ 5 2 4 2 x k π π π+ = − + ⇔ 3 2 20 5 k x π π = − + d) 2 2 3sin sin2 cos 3x x x+ + = 2 2sin cos 2cos 0 2cos (sin cos ) 0x x x x x x⇔ − = ⇔ − = 2 cos 0 2 tan 1 4 x k x x x k π π π π   = + = ⇔ ⇔  =  = +   e.cos2 3sin 2 0x x+ − = 2 2 1 2sin 3sin 2 0 2sin 3sin 1 0x x x x⇔ − + − = ⇔ − + = 2 2 sin 1 2 ,1 6sin 2 5 2 6 x k x x k k x x k π π π π π π  = + =  ⇔ ⇔ = + ∈  =    = +  ¢ f. 3sin cos 2x x+ = 3 1 2 sin cos 2 2 2 x x⇔ + = 2 sin cos cos sin 6 6 2 x x π π ⇔ + = sin( ) sin 6 4 x π π ⇔ + = ⇔ 2 2 6 4 12 , 3 7 2 2 6 4 12 x k x k k x k x k π π π π π π π π π π   + = + = +  ⇔ ∈   + = + = +   ¢ g. 3sin cos 2x x− = 3 1 2 sin cos 2 2 2 x x⇔ − = 2 sin cos cos sin 6 6 2 x x π π ⇔ − = sin( ) sin 6 4 x π π ⇔ − = 5 2 2 6 4 12 , 3 11 2 2 6 4 12 x k x k k x k x k π π π π π π π π π   − = + = +  ⇔ ⇔ ∈   − = + = +   ¢ h. 2cos2 3cos 1 0x x− + = 2 4cos 3cos 1 0x x⇔ − − = 4
• 5. tập phương trình lượng giác- cos 1 2 ,1 1 cos arccos( ) 2 4 4 x x k k x x k π π = =   ⇔ ⇔ ∈  = − = ± − +   ¢ i. 2 2 2sin 3sin cos 5cos 0x x x x+ − = 2 2 n 3 n 5 0ta x ta x⇔ + − = tan 1 4 ,5 5tan arctan( )2 2 x x k k x x k π π π  = = +  ⇔ ⇔ ∈  = −  = − +  ¢ Bài 3.Giải các phương trình: a. 3sin sin2 0x x+ = b.2 2cos 2sinx x− = c.sin sin3 sin5 0x x x+ + = d.sin sin3 sin5 cos cos3 cos5x x x x x x+ + = + + e. 2 2 2sin 5sin cos 4cos 2x x x x− − = f. 2 2 2cos 2 3sin 2x x+ = g. 2 2 sin 2 cos 3 1x x+ = h. tan .tan5 1x x = i.5cos2 12sin2 13x x− = − j. 2sin 5cos 4x x− = k.2cos 3sin 2x x+ = Bài 4.Giải các phương trình: a.tan cot 2x x+ = b. 2 (3 cot ) 5(3 cot )x x+ = + c.3(sin3 cos ) 4(cos3 sin )x x x x− = − d. 2 2 4sin 3 3sin2 2cos 4x x x+ − = e. 2 2 2 2 sin sin 2 sin 3 sin 4 2x x x x+ + + = f. 4 2 4sin 12cos 7x x+ = Bài 5. Giaûi caùc phöông trình sau : a) 2 cot(5 ) 0 8 x π − = b) 2 2cos 3cos 0x x+ = c) 3sin3 cos3 2x x− = d) 2 2 sin sin 2 2cos 2x x x+ + = Baøi giaûi : a) 2 cot(5 ) 0 8 x π − = ⇔ 5 8 2 x k π π π− = + ⇔ 5 k x π π= + b) 2 2cos 3cos 0x x+ = ⇔ cos 0 3 cos 2 x x = = − ⇔ 2 5 2 6 x k x k π π π π = + = ± + c) 3sin3 cos3 2x x− = 3 1 sin3 cos3 1 2 2 x x− = ⇔ Sin (3 ) 6 x π − = 1 ⇔ 3 2 6 2 x k π π π− = + ⇔ 2 2 9 3 k x π π = + d) 2 2 sin sin 2 2cos 2x x x+ + = ⇔ sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 ⇔ sin 0 tan 2 x x = = 5
• 6. tập phương trình lượng giác- ⇔ arctan 2 x k x k π π = = + Bài 6. giaûi phöông trìnhlöôïng giaùc : a) 3 3 tan(3 ) 0 5 x π + = ⇔ 3 3 5 x k π π+ = ⇔ 5 3 k x π π = − + b) 2 2sin sin 1 0x x− − = ⇔ sin 1 1 sin 2 x x = = − ⇔ 2 2 2 6 7 2 6 x k x k x k π π π π π π = + = − + = + c) sin5 cos5 2x x+ = − 1 1 sin5 cos5 1 2 2 x x+ = − ⇔ Sin (5 ) 4 x π + = - 1 ⇔ 5 2 4 2 x k π π π+ = − + ⇔ 3 2 20 5 k x π π = − + d) 2 2 3sin sin 2 cos 3x x x+ + = ⇔ cos 0 tan 1 x x = = ⇔ 2 4 x k x k π π π π = + = + Bài 7. Giải các phương trình sau: a. 2sin 1 0− =x b. 2cos 3 0− =x c. cos2 3sin 2 0x x+ − = d. 3sin cos 2− =x x a)sin sin 6 =x π 2 6 5 2 6  = + ⇔   = +  x k x k π π π π b)cos cos 6 =x π 2 6 ⇔ = ± +x k π π c) 2 2sin 3sin 1 0− + − =x x sin 1 1 sin 2 =   =  x x 2 2 2 6 5 2 6 π π π π π π  = +   = +    = +  x k x l x l d) 3 1 2 sin cos 2 2 2 − =x x 5 2 12 11 2 12 π π π π  = +   = +  x k x k Bài 8. Giải các phương trình sau: a. 2sin 3 0− =x b. 2cos 1 0− =x c. cos2 3sin 2 0x x+ − = d. 3sin cos 2+ =x x a)sin sin 3 =x π 2 3 2 2 3  = + ⇔   = +  x k x k π π π π b)cos cos 3 =x π 2 3 ⇔ = ± +x k π π c) 2 2sin 3sin 1 0− + − =x x 2 2 2 6 5 2 6  = +   = +    = +  x k x k x k π π π π π π 6
• 7. tập phương trình lượng giác- sin 1 1 sin 2 =   =  x x d) 3 1 2 sin cos 2 2 2 + =x x 2 12 7 2 12  = +   = +  x k x k π π π π Bài 9. Giải các phương trình sau: a. 2sin 1 0− =x b. 2cos 2 0− =x c. 2 cos2x -3cosx +1 =0 d. 3sin cos 2− =x x a)sin sin 6 =x π 2 6 5 2 6  = + ⇔   = +  x k x k π π π π b)cos cos 4 =x π 2 4 ⇔ = ± +x k π π c) 2 4cos 3cos 1 0− − =x x cos 1 1 cos 4 =   = −  x x 2 1 arccos 2 4 =    = ± − + ÷   x k x k π π d) 3 1 2 sin cos 2 2 2 − =x x 5 2 12 11 2 12 π π π π  = +   = +  x k x k Bài 10. Giải Phương trình a. 3sin cos 2x x− = b. cos2 3sin 2 0x x+ − = c. cos2 x + sinx +1=0 a/ 3 1 2 sin cos 2 2 2 − =x x sin sin 6 4 π π  − = ÷   x ⇔ 5 2 12 11 2 12 π π π π  = +   = +  x k x k b 2 2sin 3sin 1 0− + − =x x sin 1 1 sin 2 =   =  x x ⇔ 2 2 2 6 5 2 6 π π π π π π  = +   = +    = +  x k x l x l c. 4 6 x k x k π π π π  = +   = +  Bài 11. Giải các pt. a.cos2 3sin 2 0x x+ − = b.sin2 x +3sinx cosx -5 cos2 x= 0 c.2 cos2 x -3cosx +1 =0 Đáp án 7
• 8. tập phương trình lượng giác- a 2 2sin 3sin 1 0− + − =x x ⇔ sin 1 1 sin 2 =   =  x x ⇔ 2 2 2 6 5 2 6 π π π π π π  = +   = +    = +  x k x l x l b sin cos , 2 2t x x t= − − ≤ ≤ => 2 1 sin .cos 2 t x x − = PT ⇔ 2 12 11 0t t− + − = => ( ) 1 11 t t lo aïi =  = => 2 2 2 x k x k π π π π  = +  = + c. π π π =   = ± +  2 2 3 x k x k Bài 12. a. Giải các Phương trình sau:2cos x 1 0 3 π  + + = ÷   b.sin2 x +3sinx cosx -5 cos2 x= 0 a/ 1 2 2cos x 1 0 cos x cos 3 3 2 3 π π π    + + = ⇔ + = − = ÷  ÷     x k2 3 x k2 π = + π ⇔   = −π + π b/ sin cos , 2 2t x x t= − − ≤ ≤ 2 1 sin .cos 2 t x x − = PT ⇔ 2 12 11 0t t− + − = ( ) 1 11 t t lo aïi =  = => 2 2 2 x k x k π π π π  = +  = + Bài 13. Giải các phương trình sau a. 2 2sin x 3sin x 1 0− + = b. 3sin x sin 2x 0+ = c. 2sin x 2cos x 2− = Đs a. π π π π  = +   = +  2 2 2 6 x k x k b. x=k3600 c. π π π π  = +   = +  5 24 13 24 x k x k Bài 13. Giải Phương trình a. tan(x +200 ) = 2 1 b. sinx + sin2x = cosx + cos3x c.4sin2 x -5sinx cosx -6 cos2 x= 0 ĐS.a. x=100 +k1800 b. π π π π = +   = +  2 2 6 3 x k x k c. π π = +   = − +  arctan2 1 arctan( ) 2 x k x k 8
• 9. tập phương trình lượng giác- Bài 14. Giải Phương trình a. 3sin cos 2x x− = b. cos2 3sin 2 0x x+ − = 1a) 3 1 2 sin cos 2 2 2 − =x x sin sin 6 4 π π  − = ÷   x ⇔ 5 2 12 11 2 12 π π π π  = +   = +  x k x k 1b) 2 2sin 3sin 1 0− + − =x x sin 1 1 sin 2 =   =  x x ⇔ 2 2 2 6 5 2 6 π π π π π π  = +   = +    = +  x k x l x l Bài 15. Giải pt: a. 2 4tan 7 tan 3 0x x− + = b.sin(2x + 3 π ) = - 2 2 Đáp án : a. sin(3 ) 0(0.25) 3 (0.25), (0.5) 6 6 18 3 k x x k x π π π π π− ≠ ⇔ − ≠ ≠ + b. 7 2 2 3 4 24 (0.25*4) 5 11 2 2 3 4 24 x k x k x k x k π π π π π π π π π π   + = − + = − +  ⇔   + = + = +   Bài 16. Giải pt: a. 2 2cot 5 t 3 0x co x− + = b.cos(2x + 3 π ) = - 2 2 c. 2 2 2 cos 2 3sin 2x + = Đáp án : a. 2 cos(3 ) 0(0.25) 3 (0.25), (0.5) 6 6 2 18 3 k x x k x π π π π π π− ≠ ⇔ − ≠ + ≠ + cos 1 4 3 3cot cot2 2 x x k x x arc k π π π  = = +     =  = +  b. 7 2 2 3 4 24 (0.25*4) 2 2 3 4 24 x k x k x k x k π π π π π π π π π π   + = − + = − +  ⇔   + = + = − +   c. 2 cos2 1 4cos 2 3cos2 1 0 1 cos2 4 2 2 1 1 1 2 arccos( ) 2 arccos( ) 4 2 4 x x x x x k x k k Z x k x k π π π π =  − − = ⇔  = − = =    ⇔ ⇔ ∈  = ± − + = ± − +   5 5sin sin 0x x− = h.cos7 sin5 3(cos5 sin7 )x x x x− = − Phương trình asinx + bcosx = c 9
• 10. tập phương trình lượng giác- Bài 1. 5 2 84 7 cos7 3sin7 2 11 2 84 7 x k x x x k π π π π  = + − = − ⇔   = +  Bài 2. 3(sin5 cos ) 4(sin cos5 )x x x x− = + 3sin5 4cos5 4sin 3cosx x x x⇔ − = + 3 4 4 3 sin5 cos5 sin cos 5 5 5 5 x x x x⇔ − = + sin5 cos cos5 sin sin sin cos cosx x x xα α α α⇔ − = + , 3 4 ( cos , sin ) 5 5 α α= = sin(5 ) cos( )x xα α⇔ − = − sin(5 ) sin( ) 2 x x π α α⇔ − = − + 5 2 12 3 32 5 2 2 8 2 x kx x k x x k x k π α ππ α α π π π π α π α π  = + +− = − + +  ⇔ ⇔   − = − + − + = +    Bài 3. 3 3sin3 3cos9 1 4sin 3x x x− = + 3 (3sin3 4sin 3 ) 3cos9 1x x x⇔ − − = sin9 3cos9 1x x⇔ − = sin(9 ) sin 3 6 x π π ⇔ − = 2 18 9 7 2 54 9 x k x k π π π π  = + ⇔   = +  Bài 4. 1 tan sin2 cos2 2(2cos ) 0 cos x x x x x − − + − = (1) Điều kiện: cos 0 2 x x k π π≠ ⇔ ≠ + sin 2 (1) sin2 cos2 4cos 0 cos cos x x x x x x ⇔ − − + − = 2 2 sin 2sin cos cos2 cos 2(2cos 1) 0x x x x x x⇔ − − + − = 2 sin (1 2cos ) cos2 cos 2cos2 0x x x x x⇔ − − + = sin cos2 cos2 cos 2cos2 0x x x x x⇔ − − + = cos2 (sin cos 2) 0x x x⇔ + − = cos2 0 sin cos 2( ) 4 2 x x k x x vn π π= ⇔ ⇔ = + + = Bài 5. 3 1 8sin cos sin x x x = + (*) Điều kiện: sin2 0 2 x x k π ≠ ⇔ ≠ 2 (*) 8sin cos 3sin cosx x x x⇔ = + 4(1 cos2 )cos 3sin cosx x x x⇔ − = + 4cos2 cos 3sin 3cosx x x x⇔ − = − 2(cos3 cos ) 3sin 3cosx x x x⇔ − + = − 10
• 11. tập phương trình lượng giác- 1 3 cos3 cos sin 2 2 x x x⇔ = − cos3 cos( ) 3 x x π ⇔ = + 6 12 2 x k x k π π π π  = + ⇔   = − +  C2 2 (*) 8sin cos 3sin cosx x x x⇔ = + 2 8(1 cos )cos 3sin cosx x x x⇔ − = + 3 8cos 8cos 3sin 3cosx x x x⇔ − = − 3 6cos 8cos 3sin cosx x x x⇔ − = − 3 1 3 4cos 3cos cos sin 2 2 x x x x⇔ − = − cos3 cos( ) 3 x x π ⇔ = + 6 12 2 x k x k π π π π  = + ⇔   = − +  Bài 6. 9sin 6cos 3sin2 cos2 8x x x x+ − + = 2 6sin cos 6cos 2sin 9sin 7 0x x x x x⇔ − + − + = 6cos (sin 1) (sin 1)(2sin 7) 0x x x x⇔ − + − − = (sin 1)(6cos 2sin 7) 0x x x⇔ − + − = sin 1 6cos 2sin 7 x x x = ⇔  + = 2 2 x k π π⇔ = + Bài 7. sin2 2cos2 1 sin 4cosx x x x+ = + − 2 2sin cos 2(2cos 1) 1 sin 4cos 0x x x x x⇔ + − − − + = 2 sin (2cos 1) 4cos 4cos 3 0x x x x⇔ − + + − = sin (2cos 1) (2cos 1)(2cos 3) 0x x x x⇔ − + − + = (2cos 1)(2sin 2cos 3) 0x x x⇔ − + + = 1 cos 2 2sin 2cos 3,( ) x x x vn  =⇔  + = − 2 3 x k π π⇔ = ± + Bài 8. 2sin2 cos2 7sin 2cos 4x x x x− = + − 2 4sin cos (1 2sin ) 7sin 2cos 4 0x x x x x⇔ − − − − + = 2 2cos (2sin 1) (2sin 7sin 3) 0x x x x⇔ − + − + = 2cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 3) 0x x x x⇔ − + − − = (2sin 1)(2cos sin 3) 0x x x⇔ − + − = 2sin 1 0 2cos sin 3,( ) x x x vn − = ⇔  + = 2 6 5 2 6 x k x k π π π π  = + ⇔   = +  Bài 9. sin2 cos2 3sin cos 2x x x x− = + − 2 2sin cos (1 2sin ) 3sin cos 2 0x x x x x⇔ − − − − + = 11
• 12. tập phương trình lượng giác- 2 (2sin cos cos ) (2sin 3sin 1) 0x x x x x⇔ − + − + = cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 1) 0x x x x⇔ − + − − = (2sin 1)(cos sin 1) 0x x x⇔ − + − = 2sin 1 cos sin 1 x x x = ⇔  + = 2 6 2sin 1 5 2 6 x k x x k π π π π  = + + = ⇔   = +  2 2 cos sin 1 cos( ) 4 2 2 2 x k x x x x k π π π π = + + = ⇔ − = ⇔  = +  Bài 10. 2 (sin2 3cos2 ) 5 cos(2 ) 6 x x x π + − = − Ta có: 1 3 sin2 3cos2 2( sin2 cos2 ) 2cos(2 ) 2 2 6 x x x x x π + = + = − Đặt: sin2 3cos2 , 2 2t x x t= + − ≤ ≤ Phương trình trở thành: 2 5 2 t t − = 2 2 10 0t t⇔ − − = 2 5 2 t t = − ⇔  =  5 : 2 t+ = loại 7 2: 2cos(2 ) 2 6 12 t x x k π π π+ = − − = − ⇔ = + Bài 11. 3 2cos cos2 sin 0x x x+ + = 3 2 2cos 2cos 1 sin 0x x x⇔ + − + = 2 2cos (cos 1) (1 sin ) 0x x x⇔ + − − = 2 2(1 sin )(cos 1) (1 sin ) 0x x x⇔ − + − − = 2(1 sin )(1 sin )(cos 1) (1 sin ) 0x x x x⇔ − + + − − = (1 sin )[2(1 sin )(cos 1) 1] 0x x x⇔ − + + − = (1 sin )[1 2sin cos 2(sin cos )] 0x x x x x⇔ − + + + = sin 1 1 2sin cos 2(sin cos ) 0 x x x x x = ⇔  + + + = sin 1 2 2 x x k π π+ = ⇔ = + 1 2sin cos 2(sin cos ) 0x x x x+ + + + = 2 (sin cos ) 2(sin cos ) 0x x x x⇔ + + + = (sin cos )(sin cos 2) 0x x x x⇔ + + + = sin cos 0x x⇔ + = tan 1 4 x x k π π⇔ = − ⇔ = − + 12
• 13. tập phương trình lượng giác- Bài 12. 2 1 cos2 1 cot 2 sin 2 x x x − + = (*) Điều kiện: sin2 0 2 x x k π ≠ ⇔ ≠ 2 1 cos2 (*) 1 cot2 1 cos 2 x x x − ⇔ + = − 1 1 cot 2 1 cos2 x x ⇔ + = + cos2 1 1 sin2 1 cos2 x x x ⇔ + = + sin2 (1 cos2 ) cos2 (1 cos2 ) sin2x x x x x⇔ + + + = sin2 cos2 cos2 (1 cos2 ) 0x x x x⇔ + + = cos2 (sin2 cos2 1) 0x x x⇔ + + = cos2 0 sin2 cos2 1 x x x = ⇔  + = − cos2 0 4 2 x x k π π + = ⇔ = + sin2 cos2 1x x+ + = − sin(2 ) sin( ) 4 4 x π π ⇔ + = − 4 2 x k x k π π π π  = − + ⇔   = +  Vậy,phương trình có nghiệm: 4 2 x k π π = + Bài 13. 4 4 4(sin cos ) 3sin4 2x x x+ + = 2 2 2 2 2 4[(sin cos ) 2sin cos ] 3sin4 2x x x x x⇔ + − + = 21 4(1 sin 2 ) 3sin4 2 2 x x⇔ − + = cos4 3sin4 2x x⇔ + = − 4 2 12 2 x k x k π π π π  = + ⇔   = − +  Bài 14. 3 3 1 1 sin 2 cos 2 sin4 2 x x x+ + = 2 sin4 2(sin2 cos2 )(1 sin2 cos2 ) 0x x x x x⇔ − + + − = (2 sin4 ) (sin2 cos2 )(2 sin4 ) 0x x x x⇔ − + + − = (2 sin4 )(sin2 cos2 1) 0x x x⇔ − + + = sin2 cos2 1x x⇔ + = − 2 sin(2 ) 4 2 x π ⇔ + = − 4 2 x k x k π π π π  = − + ⇔   = +  Bài 15. tan 3cot 4(sin 3cos )x x x x− = + (*) Điều kiện: sin2 0 2 x x k π ≠ ⇔ ≠ sin cos (*) 3 4(sin 3cos ) cos sin x x x x x x ⇔ − = + 2 2 sin 3cos 4sin cos (sin 3cos ) 0x x x x x x⇔ − − + = (sin 3cos )(sin 3cos ) 4sin cos (sin 3cos ) 0x x x x x x x x⇔ − + − + = 13
• 14. tập phương trình lượng giác- (sin 3cos )(sin 3cos 4sin cos ) 0x x x x x x⇔ + − − = sin 3cos 0 sin 3cos 4sin cos 0 x x x x x x  + = ⇔  − − = sin 3cos 0 tan 3 3 x x x x k π π+ + = ⇔ = − ⇔ = − + sin 3cos 4sin cos 0x x x x+ − − = 2sin2 sin 3cosx x x⇔ = − 1 3 sin2 sin cos 2 2 x x x⇔ = − sin2 sin( ) 3 x x π ⇔ = − 2 3 4 2 9 3 x k x k π π π π  = − + ⇔   = +  Vậy,phương trình có nghiệm là: ; 3 x k π π= − + 4 2 9 3 x k π π = + Bài 16. 3 3 sin cos sin cosx x x x+ = − 2 3 sin (sin 1) cos cos 0x x x x⇔ − + + = 2 3 sin cos cos cos 0x x x x⇔ − + + = 2 cos ( sin cos cos 1) 0x x x x⇔ − + + = 2 cos 0 sin cos cos 1 x x x x = ⇔ − + = − cos 0 2 x x k π π+ = ⇔ = + 2 sin cos cos 1x x x+ − + = − 1 1 cos2 sin2 1 2 2 x x + ⇔ − + = − sin2 cos2 3,( )x x vn⇔ − = Vậy,phương trình có nghiệm là: , 2 x k k π π= + ∈¢ Bài 17. 4 4 1 cos sin ( ) 4 4 x x π + + = 2 21 1 1 (1 cos2 ) [1 cos(2 )] 4 4 2 4 x x π ⇔ + + − + = 2 2 (1 cos2 ) (1 sin2 ) 1x x⇔ + + + = sin2 cos2 1x x⇔ + = − 3 cos(2 ) cos 4 4 x π π ⇔ − = 2 2 4 x k x k π π π π  = + ⇔   = − +  Bài 18. 3 3 4sin cos3 4cos sin3 3 3cos4 3x x x x x+ + = 3 3 3 3 4sin (4cos 3cos ) 4cos (3sin 4sin ) 3 3cos4 3x x x x x x x⇔ − + − + = 3 3 12sin cos 12cos sin 3 3cos4 3x x x x x⇔ − + + = 2 2 4sin cos (cos sin ) 3cos4 1x x x x x⇔ − + = 2sin2 cos2 3cos4 1x x x⇔ + = sin4 3cos4 1x x⇔ + = 14
• 15. tập phương trình lượng giác- 1 3 1 sin4 cos4 2 2 2 x x⇔ + = sin(4 ) sin 3 6 x π π ⇔ + = 24 2 , 8 2 x k k x k π π π π  = − + ⇔ ∈  = +  ¢ Bài 19.Cho phương trình: 2 2 2sin sin cos cosx x x x m− − = (*) a.Tìm m sao cho phương trình có nghiệm. b.Giải phương trình khi m = -1. Giải. 1 1 (*) (1 cos2 ) sin2 (1 cos2 ) 2 2 x x x m⇔ − − − + = sin2 3cos2 2 1x x m⇔ + = − + a. (*)có nghiệm khi: 2 2 2 c a b≤ + 2 (1 2 ) 1 9m⇔ − ≤ + 2 4 4 9 0m m⇔ − − ≤ 1 10 1 10 2 2 m − + ⇔ ≤ ≤ b.Khi m = -1 phương trình trở thành: sin2 3cos2 3x x+ = 1 3 3 sin2 cos2 10 10 10 x x⇔ + = sin2 cos cos2 sin sin ,x xα α α⇔ + = 1 3 ( cos , sin ) 10 10 α α= = sin(2 ) sinx α α⇔ + = 2 2 2 2 x k x k α α π α π α π + = + ⇔  + = − + 2 x k x k π π α π = ⇔  = − +  Bài 20. Cho phương trình: 2 3 5 4sin( ) 6tan2 sin 1 tan x x π α α + − = + (*) a.Giải phương trình khi 4 π α = − b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Giải. Ta có: 3 sin( ) sin( ) cos 2 2 x x x π π − = − − = − 2 2 6tan 6tan cos 3sin2 ,cos 0 1 tan α α α α α α = = ≠ + 5 4cos (*) 3sin2 sin x x α − ⇔ = 3sin2 sin 4cos 5x xα⇔ + = (**) a. khi 4 π α = − phương trình trở thành: 3sin 4cos 5x x− = − 3 4 sin cos 1 5 5 x x⇔ − = − 3 4 sin cos cos sin 1,( cos , sin ) 5 5 x xα α α α⇔ − = − = = 15
• 16. tập phương trình lượng giác- sin( ) 1x α⇔ − = − 2 2 x k π α π⇔ = − + b.Phương trình có nghiệm khi: 2 cos 0 (3sin2 ) 16 25 α α ≠  + ≥ 2 cos 0 sin 2 1 α α ≠ ⇔  ≥ 2 cos 0 sin 2 1 α α ≠ ⇔  = cos2 0 4 2 k π π α α⇔ = ⇔ = + Bài 21.Giải các phương trình: a. 2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x+ = + b. (2cos 1)(sin cos ) 1x x x− + = c. 2cos2 6(cos sin )x x x= − d. 3sin 3 3cosx x= − e. 2cos3 3sin cos 0x x x+ + = f. cos 3sin sin2 cos sinx x x x x+ = + + g. 3 cos 3sin cos 3sin 1 x x x x + = + + h. sin cos cos2x x x+ = i. 3 4sin 1 3sin 3cos3x x x− = − j. 6 3cos 4sin 6 3cos 4sin 1 x x x x + + = + + k. cos7 cos5 3sin2 1 sin7 sin5x x x x x− = − l. 4 4 4(cos sin ) 3sin4 2x x x+ + = m. 2 2 cos 3sin2 1 sinx x x− = + n. 4sin2 3cos2 3(4sin 1)x x x− = − p. 2 (2 3)cos 2sin ( ) 2 4 1 2cos 1 x x x π − − − = − q. 2 tan sin2 cos2 4cos cos x x x x x − − = − + Bài 22. Cho phương trình: sin 2 cos 2 2cos 2sin m x m x m x m x − − = − − (*) a.Giải phương trình khi m = 1 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Bài 23. Cho phương trình: sin cos 2x m x+ = (*) a.Giải phương trình khi 3m = b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Bài 24. Cho phương trình: 2sin cos 1 sin 2cos 3 x x m x x + + = − + (*) a.Giải phương trình khi 1 3 m = b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1. cos3 sin3 5(sin ) 3 cos2 1 2sin2 x x x x x + + = + + (1) Điều kiện: 1 12 sin2 , 72 12 x k x k x k π π π π  ≠ − + ≠ − ⇔ ∈  ≠ +  ¢ 16
• 17. tập phương trình lượng giác- Ta có: cos3 sin3 sin 2sin2 sin cos3 sin3 5(sin ) 5 1 2sin2 1 2sin2 x x x x x x x x x x + + + + + = + + sin cos cos3 cos3 sin3 5 1 2sin2 x x x x x x + − + + = + (sin3 sin ) cos 5 1 2sin2 x x x x + + = + 2sin2 cos cos 5 1 2sin2 x x x x + = + (2sin 1)cos 5 1 2sin2 x x x + = + 5cos x= (1) 5cos cos2 3x x⇔ = + 2 2cos 5cos 2 0x x⇔ − + = 1 cos 2 x⇔ = 2 3 x k π π⇔ = ± + Bài 2. 2 2 cos 3 cos2 cos 0x x x− = 1 1 (1 cos6 )cos2 (1 cos2 ) 0 2 2 x x x⇔ + − + = cos6 cos2 1 0x x⇔ − = (*) Cách 1: 3 (*) (4cos 2 3cos2 )cos2 1 0x x x⇔ − − = 4 2 4cos 2 2cos 2 1 0x x⇔ − − = 2 cos 2 1x⇔ = sin2 0x⇔ = 2 x k π ⇔ = Cách 2: 1 (*) (cos8 cos4 ) 1 0 2 x x⇔ + − = cos8 cos4 2 0x x⇔ + − = 2 2cos 4 cos4 3 0x x⇔ + − = cos4 1x⇔ = 2 x k π ⇔ = Cách 3: cos6 cos2 1 (*) cos6 cos2 1 x x x x = = ⇔  = = − Cách 4: 1 (*) (cos8 cos4 ) 1 0 2 x x⇔ + − = cos8 cos4 2x x⇔ + = cos8 cos4 1x x⇔ = = Bài 3. 4 4 3 cos sin cos( )sin(3 ) 0 4 4 2 x x x x π π + + − − − = 2 2 2 2 2 1 3 (sin cos ) 2sin cos [sin(4 ) sin2 ] 0 2 2 2 x x x x x x π ⇔ + − + − + − = 21 1 3 1 sin 2 ( cos4 sin2 ) 0 2 2 2 x x x⇔ − + − + − = 2 21 1 1 1 sin 2 (1 2sin 2 ) sin2 0 2 2 2 2 x x x⇔ − − − + − = 2 sin 2 sin2 2 0x x⇔ + − = sin2 1x⇔ = 4 x k π π⇔ = + Bài 4. 2 5sin 2 3(1 sin )tanx x x− = − (1) Điều kiện: cos 0 2 x x k π π≠ ⇔ ≠ + 17
• 18. tập phương trình lượng giác- 2 2 sin (1) 5sin 2 3(1 sin ) cos x x x x ⇔ − = − 2 2 sin 5sin 2 3(1 sin ) 1 sin x x x x ⇔ − = − − 2 3sin 5sin 2 1 sin x x x ⇔ − = + 2 2sin 3sin 2 0x x⇔ + − = 1 sin 2 x⇔ = 2 6 5 2 6 x k x k π π π π  = + ⇔   = +  Bài 5. 1 1 2sin3 2cos3 sin cos x x x x − = + (*) Điều kiện: sin2 0 2 x x k π ≠ ⇔ ≠ 1 1 (*) 2(sin3 cos3 ) sin cos x x x x ⇔ − = + 3 3 1 1 2[3(sin cos ) 4(sin cos ] sin cos x x x x x x ⇔ + − + = + 2 2 sin cos 2(sin cos )[3 4(sin sin cos cos )] sin cos x x x x x x x x x x + ⇔ + − − + = sin cos 2(sin cos )( 1 4sin cos ) 0 sin cos x x x x x x x x + ⇔ + − + − = 1 (sin cos )( 2 8sin cos ) 0 sin cos x x x x x x ⇔ + − + − = 2 (sin cos )(4sin2 2) 0 sin2 x x x x ⇔ + − − = 2 (sin cos )(4sin 2 2sin2 2) 0x x x x⇔ + − − = 2 sin cos 0 4sin 2 2sin2 2 0 x x x x + = ⇔  − − = tan 1 sin2 1 sin2 1/ 2 x x x = − ⇔ =   = − 4 12 7 12 x k x k x k π π π π π π  = ± +  ⇔ = − +    = +  Bài 6. 2 cos (2sin 3 2) 2cos 1 1 1 sin2 x x x x + − − = + (*) Điều kiện: sin2 1 4 x x k π π≠ − ⇔ ≠ − + 2 (*) 2sin cos 3 2 cos 2cos 1 1 sin2x x x x x⇔ + − − = + 2 2cos 3 2 cos 2 0x x⇔ − + = 2 cos 2 x⇔ = 4 x k π π⇔ = ± + 18
• 19. tập phương trình lượng giác- Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm: , 4 x k k π π= + ∈¢ Bài 7. 3 3 1 cos cos cos sin sin sin 2 2 2 2 2 x x x x x x− = 1 1 1 cos (cos2 cos ) sin (cos2 cos ) 2 2 2 x x x x x x⇔ + + − = 2 cos cos2 cos sin cos2 sin cos 1x x x x x x x⇔ + + − = 2 cos2 (sin cos ) 1 sin sin cos 1 0x x x x x x⇔ + + − − − = cos2 (sin cos ) sin (sin cos ) 0x x x x x x⇔ + − + = (sin cos )(cos2 sin ) 0x x x x⇔ + − = 2 (sin cos )( 2sin sin 1) 0x x x x⇔ + − − + = 2 sin cos 0 2sin sin 1 0 x x x x + = ⇔  + − = tan 1 sin 1 sin 1/ 2 x x x = − ⇔ = −   = 4 2 2 5 2 2 6 6 x k x k x k x k π π π π π π π π  = − +  ⇔ = − +    = + ∨ = +  Bài 8. 3 4cos 3 2sin2 8cosx x x+ = 3 4cos 6 2sin cos 8cos 0x x x x⇔ + − = 2 2cos (2cos 3 2sin 4) 0x x x⇔ + − = 2 2cos (2sin 3 2sin 2) 0x x x⇔ − + = cos 0 2 sin 2 x x = ⇔  =  2 2 4 3 2 4 x k x k x k π π π π π π  = +  ⇔ = +    = +  Bài 9. cos(2 ) cos(2 ) 4sin 2 2(1 sin ) 4 4 x x x x π π + + − + = + − 2cos2 cos 4sin 2 2 2sin 0 4 x x x π ⇔ + − − + = 2 2(1 2sin ) 4sin 2 2 2sin 0x x x⇔ − + − − + = 2 2 2sin (4 2)sin 2 0x x⇔ − + + = 1 sin 2 x⇔ = 2 6 5 2 6 x k x k π π π π  = + ⇔   = +  19
• 20. tập phương trình lượng giác- Bài 10. 2 2 3cot 2 2sin (2 3 2)cosx x x+ = + (1) Điều kiện: sin 0x x kπ≠ ⇔ ≠ 2 4 2 cos cos (1) 3 2 2 (2 3 2) sin sin x x x x ⇔ + = + Đặt: 2 cos sin x t x = phương trình trở thành: 2 2 3 (2 3 2) 2 2 0 2 3 t t t t  = − + + = ⇔  =  2 2 cos 2 : 3 sin 3 x t x + = = 2 3cos 2(1 cos )x x⇔ = − 2 2cos 3cos 2 0x x⇔ + − = 1 cos 2 x⇔ = 2 3 x k π π⇔ = ± + 2 cos 2 : 2 sin x t x + = = 2 cos 2(1 cos )x x⇔ = − 2 2 cos cos 2 0x x⇔ + − = 2 cos 2 x⇔ = 2 4 x k π π⇔ = ± + Vậy,phương trình có nghiệm: 2 , 2 3 4 x k x k π π π π= ± + = ± + Bài 11. 2 2 4sin 2 6sin 9 3cos2 0 cos x x x x + − − = (*) Điều kiện: cos 0 2 x x k π π≠ ⇔ ≠ + 2 (*) 4(1 cos 2 ) 3(1 cos2 ) 9 3cos 0x x x⇔ − + − − − = 2 4cos 2 6cos 2 0x x⇔ + + = cos2 1 1 cos2 2 x x = − ⇔  = −  2 3 x k x k π π π π  = + ⇔   = ± +  Vậy,phương trình có nghiệm: 3 x k π π= ± + Bài 12. cos cos3 2cos5 0x x x+ + = (cos5 cos ) (cos5 cos3 ) 0x x x x⇔ + + + = 2cos3 cos2 2cos4 cos 0x x x x⇔ + = 3 2 (4cos 3cos )cos2 (2cos 2 1)cos 0x x x x x⇔ − + − = 2 2 cos [(4cos 3)cos2 2cos 2 1] 0x x x x⇔ − + − = 2 cos {[2(1 cos2 ) 3]cos2 2cos 2 1} 0x x x x⇔ + − + − = 2 cos (4cos 2 cos2 1) 0x x x⇔ − − = 20
• 21. tập phương trình lượng giác- cos 0 1 17 cos 8 1 17 cos 8 x x x   =  −⇔ =   + =  2 1 17 arccos 2 8 1 17 arccos 2 8 x k x k x k π π π π  = +  − ⇔ = ± +  + = ± + Bài 13. 8 8 217 sin cos cos 2 16 x x x+ = (*) 8 8 4 4 2 4 4 sin cos (sin cos ) 2sin cosx x x x x x+ = + − 2 2 2 2 2 2 41 [(sin cos ) 2sin cos )] sin 2 8 x x x x x= + − − 2 2 41 1 (1 sin 2 ) sin 2 2 8 x x= − − 2 41 1 sin 2 sin 2 8 x x= − + 2 4 21 (*) 16(1 sin 2 sin 2 ) 17(1 sin 2 ) 8 x x x⇔ − + = − 4 2 2sin 2 sin 2 1 0x x⇔ + − = 2 1 sin 2 2 x⇔ = 2 1 2sin 2 0x⇔ − = cos4 0x⇔ = 8 4 x k π π ⇔ = + Bài 14. 5 3sin 5cos sin 2 2 x x x= (*) Ta thấy: cos 0 2 cos 1 2 x x k xπ π= ⇔ = + ⇔ = − Thay vào phương trình (*) ta được: 5 sin( 5 ) sin( ) 2 2 k k π π π π+ = − + không thỏa mãn với mọi k Do đó cos 2 x không là nghiệm của phương trình nên: 5 3(*) sin cos 5cos sin cos 2 2 2 2 x x x x x⇔ = 1 5 3(sin3 sin2 ) cos sin 2 2 x x x x⇔ + = 3 33sin 4sin 2sin cos 5cos sin 0x x x x x x⇔ − + − = 2 3sin (3 4sin 2cos 5cos ) 0x x x x⇔ − + − = 3 2sin (5cos 4cos 2cos 1) 0x x x x⇔ − − + = sin 0 cos 1 1 21 cos 10 1 21 cos 10 x x x x =  =   − +⇔ =   − − =  2 1 21 arccos 2 10 1 21 arccos 2 10 x k x k x k x k π π π π =  =   − +⇔ = ± +   − − = ± +  21
• 22. tập phương trình lượng giác- Vậy,phương trình có nghiệm: 2x k π= , 1 21 arccos 2 10 x k π − + = ± + 1 21 arccos 2 10 x k π − − = ± + Bài 15. 2sin2 (cot tan2 ) 4cosx x x x+ = (1) Điều kiện: sin 0 cos2 0 4 2 x k x x x k π π π  ≠ ≠  ⇔  ≠ ≠ +  Ta có: cos sin2 cot tan2 sin cos2 x x x x x x + = + cos2 cos sin2 sin sin cos2 x x x x x x + = cos sin cos2 x x x = cos 2(1) 2sin cos 4cos sin cos2 x x x x x x ⇔ = 2cos 22cos cos2 x x x ⇔ = 2cos (1 2cos2 ) 0x x⇔ − = cos 0 cos2 1/ 2 x x = ⇔  = 2 6 x k x k π π π π  = + ⇔   = ± +  Vậy,phương trình có nghiệm: 2 x k π π= + , 6 x k π π= ± + Bài 16. 6 822cos 1 3cos 5 5 x x + = 12 42(1 cos ) 1 2(2cos 1) 5 5 x x ⇔ + + = − 4 4 43 22 4cos 3cos 2(2cos 1) 5 5 5 x x x ⇔ + − = − Đặt: 4 cos , 1 1 5 x t t= − ≤ ≤ phương trình trở thành: 3 24 6 3 5 0t t t− − − = 1 1 21 4 t t = ⇔ − =  4 5 cos 1 5 2 x x k π + = ⇔ = 4 1 21 5 1 21 5 cos arccos 5 4 4 4 2 x x k π− − + = ⇔ = ± + Vậy,phương trình có nghiệm: 5 2 x k π = , 5 1 21 5 arccos 4 4 2 x k π− = ± + Bài 17. 3tan ( ) tan 1 4 x x π − = − (1) 22
• 23. tập phương trình lượng giác- Điều kiện: cos 0 2 3cos( ) 0 4 4 x x k x x k π π π π π  ≠ ≠ +   ⇔  − ≠  ≠ +  3(tan 1) (1) tan 1 3(1 tan ) x x x − ⇔ = − + 3 3(tan 1) (tan 1)(1 tan )x x x⇔ − = − + 3 2(tan 1)[(1 tan ) (tan 1) ] 0x x x⇔ − + − − = 3 2(tan 1)(tan 2tan 5tan ) 0x x x x⇔ − + + = 2tan (tan 1)(tan 2tan 5) 0x x x x⇔ − + + = tan 0 tan 1 x x = ⇔  = 4 x k x k π π π = ⇔  = +  C2: Đặt: 4 t x π = − Bài 18. 4 4sin 2 cos 2 4cos 4 tan( )tan( ) 4 4 x x x x x π π + = − + (1) Điều kiện: sin( )cos( ) 0 4 4 sin( )cos( ) 0 4 4 x x x x π π π π  − − ≠   + + ≠  sin( 2 ) 0 4 cos2 0 sin( 2 ) 0 4 x x x π π  − ≠ ⇔ ⇔ ≠  + ≠  1 tan 1 tan tan( )tan( ) . 1 4 4 1 tan 1 tan x x x x x x π π − + − + = = + − 4 4 4(1) sin 2 cos 2 cos 4x x x⇔ + = 2 2 41 2sin 2 cos 2 cos 4x x x⇔ − = 1 2 41 sin 4 cos 4 2 x x⇔ − = 1 2 41 (1 cos 4 ) cos 4 2 x x⇔ − − = 4 22cos 4 cos 4 1 0x x⇔ − − = 2cos 4 1x⇔ = 21 cos 4 0x⇔ − = sin4 0x⇔ = 4 x k π ⇔ = Vậy,phương trình có nghiệm: 2 x k π = Bài 19. 1 2 48 (1 cot 2 cot ) 0 4 2cos sin x x x x − − + = (*) Điều kiện: sin2 0 2 x x k π ≠ ⇔ ≠ Ta có: cos2 cos 1 cot2 cot 1 sin2 sin x x x x x x + = + cos2 sin sin2 sin sin2 cos x x x x x x + = 23
• 24. tập phương trình lượng giác- cos 22sin cos x x x = 1 22sin x = 1 1 (*) 48 0 4 4cos sinx x ⇔ − − = 1 1 48 4 4cos sinx x ⇔ = + 4 4 4 448sin cos sin cosx x x x⇔ = + 14 23sin 2 1 sin 2 2 x x⇔ = − 4 26sin 2 sin 2 2 0x x⇔ + − = 12sin 2 2 x⇔ = 21 2sin 2 0x⇔ − = cos4 0x⇔ = 8 4 x k π π ⇔ = + Vậy,phương trình có nghiệm: 8 4 x k π π = + Bài 20. 58 8 10 10sin cos 2(sin cos ) cos2 4 x x x x x+ = + + 58 2 8 2sin (1 2sin ) cos (2cos 1) cos2 4 x x x x x⇔ − − − = 58 8sin cos2 cos cos2 cos2 4 x x x x x⇔ − = 8 84cos2 (cos sin ) 5cos2 0x x x x⇔ − + = 4 4 4 44cos2 (cos sin )(cos sin ) 5cos2 0x x x x x x⇔ − + + = 2 2 2 2 4 44cos2 (cos sin )(cos sin )(cos sin ) 5cos2 0x x x x x x x x⇔ − + + + = 12 2 24cos2 (cos sin )(1 sin 2 ) 5cos2 0 2 x x x x x⇔ − − + = 12 24cos 2 (1 sin 2 ) 5cos2 0 2 x x x⇔ − + = 24cos2 (4cos2 2cos2 sin 2 5) 0x x x x⇔ − + = 24cos2 [4cos2 2cos2 (1 cos 2 ) 5] 0x x x x⇔ − − + = 34cos2 (2cos 2 2cos2 5) 0x x x⇔ + + = cos2 0x⇔ = 4 2 x k π π ⇔ = + MỘT SỐ KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN I. CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ BIẾN: 1. Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác: 1.1 Kiến thức cơ sở: 24
• 25. tập phương trình lượng giác- Trong phần này cần sử dụng tốt các công thức sau: Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc Các hằng đẳng thức cơ bản của lượng giác Từ đó ta có các kết quả cần chú ý sau sin 0 2 0 cos 0 a sin a a = = ⇔  = sin 0 2 0 cos 0 a sin a a ≠ ≠ ⇔  ≠ 2 sin 0 cos 1a a= ⇔ = ± ; 2 sin 1 cos 0a a= ⇔ = 2 os 0 sin 1c a a= ⇔ = ± ; 2 os 1 sin 0c a a= ⇔ = sin 0 os 1a c a≠ ⇔ ≠ ± ; os 0 sin 1c a a≠ ⇔ ≠ ± 1.2 Một số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2010, khối A) Giải phương trình ( )1 sin os2 sin 14 cos 1 t anx 2 x c x x x π  + + + ÷   = + Lời giải: Điều kiện: cos 0 sin 1 tan x 1 t anx 1 x x≠ ≠ ±  ⇔  ≠ − ≠ −  Khi đó ( )1 sin os2 sin 14 cos 1 t anx 2 x c x x x π  + + + ÷   = + ( ) ( )cos 1 sinx cos2 2.sin cos sin cos 4 x x x x x x π  ⇒ + + + = + ÷   ⇔ ( ) ( )1 sinx cos2 2.sin sin cos 4 x x x x π  + + + = + ÷   (do cos 0x ≠ ) 25
• 26. tập phương trình lượng giác- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 sin cos sin os2 0 sin cos sin 1 2sin 0 tan 1sin cos sin cos 0 sin 1 sin 1 2sin sin 1 0 1 1 sin sin / 2 2 .2 1 6 sin 72 .2 6 x x x c x x x x x x Lx x x x x x L x x x x t m x k x k Z x k π π π π ⇔ + + = ⇔ + + − =   = − = − + =   ⇔ ⇔ = ⇔ =  − − =  = − = −    = − + ⇔ = − ⇔ ∈  = +  Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B) Giải phương trình cot sin 1 tan .tan 4 2 x x x x   + + = ÷   Lời giải: Điều kiện cos 0 sinx 0 sin2x 0 os 0 2 x x c   ≠  ≠ ⇔ ≠   ≠  Ta có sin cos sinx 2cot sin 1 tan .tan 4 sinx 1 . 4 2 sinx cos os 2 x x x x x x xx c    ÷  + + = ⇔ + + = ÷ ÷    ÷   ⇔ cos . os sinx.sin cos cos sinx2 2sinx 4 4 sinx sinx coscos . os 2 x x x c x x x xx c   + ÷ + = ⇔ + = ÷  ÷   ( ) ( ) 2 1 4 sin 2 / sin 2 2 2 .2 . 6 12 5 5 2 .2 . 6 12 x t m x x k x k k Z x k x k π π π π π π π π ⇔ = ⇔ =   = + = +  ⇔ ⇔ ∈   = + = +   Ví dụ 3: Giải phương trình 1 1 2 cos sin 2 sin 4x x x + = Lời giải: 26
• 27. tập phương trình lượng giác- Điều kiện 2 cos 0 sin 1 sin 1 sin 1 sin2x 0 sinx 0 sinx 0 sinx 0 sin 4 0 os2 0 1 2sin 0 2 sin 2 x x x x x c x x x  ≠ ≠ ± ≠ ± ≠ ±      ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠       ≠ ≠ − ≠    ≠ ±  Khi đó 1 1 2 cos sin 2 sin 4x x x + = ( )2 sin 1 4sinx. os2 2 os2 2 sinx 2sin sinx-1 0 sin 0 1 sin 2 x c x c x x x x   = −  ⇒ + = ⇔ + = ⇔ =  =  Đối chiếu với điều kiện ta được ( ) .2 1 6 sin 52 .2 6 x k x k Z x k π π π π  = + = ⇔ ∈  = +  Vậy phương trình có nghiệm là ( ) .2 6 5 .2 6 x k k Z x k π π π π  = + ∈  = +  Ví dụ 4: Giải phương trình 4 4 4sin 2 os 2 os 4 tan tan 4 4 x c x c x x x π π + =     − + ÷  ÷     Lời giải: Điều kiện sin 0 4 os 0 sin 2 0 4 2 os2 0 sin 2 1 sin 0 sin 2 0 4 2 os 0 4 x c x x c x x x x c x π π π π π π    − ≠ ÷        − ≠ − ≠  ÷  ÷       ⇔ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ±      + ≠ + ≠ ÷  ÷        + ≠ ÷   Nhận thấy tan .tan 1 4 4 x x π π    − + = ÷  ÷     , do đó phương trình đã cho trở thành 27
• 28. tập phương trình lượng giác- 4 4 4 2 4 4 2 2 1 sin 2 os 2 os 4 1 sin 4 os 4 2 os 4 os 4 1 0 2 sin 2 0 os 4 1 sin 4 0 os2 0 x c x c x x c x c x c x x c x x c x + = ⇔ − = ⇔ − − = = ⇔ = ⇔ = ⇔  = Đối chiếu điều kiện ta được ( )sin 2 0 2 x x k k Z π = ⇔ = ∈ Ví dụ 5: Giải phương trình 2 4 sin 2 os 2 1 0 sin .cos x c x x x + − = Lời giải: Điều kiện sin 2 0x > . Khi đó phương trình đã cho trở thành 2 2 4 4 2 2 os 2 0 sin 2 1 sin 2 os 2 1 0 os 2 os 2 0 sin 2 0os 2 1 c x x x c x c x c x xc x  = = ± + − = ⇔ − = ⇔ ⇔  ==  Đối chiếu điều kiện ta được ( )sin 2 1 2 .2 . 2 4 x x k x k k Z π π π π= ⇔ = + ⇔ = + ∈ Các bài tập tương tự 1/ 2 3 2 2 os os 1 os2 tan os c x c x c x x c x − − − = ;2/ 2os2 1 cot x 1 sin sin 2 1 t anx 2 c x x x− = + − + (2003_A); 3/ 2 cot x t anx 4sin 2 sin 2 x x − + = (2003_B); 4/ 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2 x x x π  − − = ÷   (2003_D); 5/ ( ) 2 5sin 2 3 1 sin tanx x x− = − (2004_B). 2. Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập 2.1 Kiến thức cơ sở + Các nhận xét về tính chu kì của hàm số lượng giác. ( )sin 2 sinkα π α α+ = ∀ ; ( )s 2 osco k cα π α α+ = ∀ ; ( )tan tankα π α α+ = ∀ ; ( )cot cotkα π α α+ = ∀ + Các công thức về giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt. 2.2 Một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Giải phương trình os3 .tan5 sin 7c x x x= Lời giải: Điều kiện os5 0c x ≠ Khi đó phương trình đã cho trở thành 28
• 29. tập phương trình lượng giác- ( )2 2sin5 . os3 2sin7 . os5 sin8 sin12 20 10 k x x c x x c x x x k Z k x π π π  = = ⇔ = ⇔ ∈  = +  Với 2 k x π = thì ( ) 5 os5 os os 2 os 0 2 2 2 2 k k k c x c c k c k m m Z π π π π     = = + = ≠ ⇔ = ∈ ÷  ÷     Với 20 10 k x π π = + thì os5 os 0 4 2 k c x c π π  = + ≠ ÷   Vậy phương trình đã cho có nghiệm là ( ); , 20 10 k x m x m k Z π π π= = + ∈ Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, 2011, khối A) Giải phương trình 2 1 sin2x+cos2 2 sinxsin 2 1 cot x x x + = + Lời giải: Điều kiện sin 0 cos 1x x≠ ⇔ ≠ ± Khi đó phương trình đã cho trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 sin 1 sin 2 os2 2 2 sin .cos 1 2sin .cos 2 os 1 2 2 cos cos 0 / 2cos sinx cos 2 0 sinx cos 2 * x x c x x x x x c x x x t m x x x + + = ⇔ + + − =  = ⇔ + − = ⇔  + = Giả sử sin 0 cos 1x x= ⇔ = ± , khi đó ( )* 0 1 2⇔ ± = (vô lí) Do đó phương trình tương đương với cos 0 2 cos 1 24 4 x x k x x k π π π π π = = + ⇔   − = ÷  = +    Vậy phương trình có nghiệm là ( )2 2 4 x k k Z x k π π π π  = + ∈  = +  Ví dụ 3: Giải phương trình ( ) 1 3sinx 2cos 3 1 t anx cos x x + = + − Lời giải: Điều kiện os 0 sin 1c x x≠ ⇔ ≠ ± Khi đó 29
• 30. tập phương trình lượng giác- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3sinx 2cos 3 1 t anx cos 3sinx 2cos 3 cos sinx 1 cos cos 3sinx 2cos cos 3sinx 2cos 1 cos 3sinx 2cos 1 3sinx 2cos 1 0 cos 1 0 1 3sinx 2cos 1 cos 1 0 3sinx 2cos 1 0 2 x x x x x x x x x x x x x x x x + = + − ⇔ + = + − ⇔ + − = + − ⇔ + − − + − =  − = ⇔ + − − = ⇔  + − = ( )1 cos 1x⇔ = thoả mãn điều kiện, do đó ta được 2 ,x k k Zπ= ∈ Tiếp theo giả sử os 0 sin 1c x x= ⇔ = ± , thay vào (2) ta được 3 1 0± − = (vô lí) Tức là các nghiệm của (2) đều thoả mãn điều kiện. Giải (2) ta được 1 ar os 2 13 x cc k k Zα π= ± + ∈ , (với 2 3 os ; sin 13 13 c α α= = ) Vậy phương trình có nghiệm 2 1 ar os 2 13 x k k Z x cc k π α π =  ∈  = ± +  Ví dụ 4: Giải phương trình 2 2 tan t anx 2 sin tan 1 2 4 x x x π+   = + ÷ +   Lời giải: Điều kiện os 0 sin 1c x x≠ ⇔ ≠ ± Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 tan t anx 2 2 2 2 sin os tan t anx sinx cos tan 1 2 4 2 2 2 1 sin cos .sinx sinx cos 2sinx sinx cos sinx cos 0 2 sinx cos 2sinx 1 0 * x x c x x x x x x x x x x π  +   = + ⇔ + = + ÷ ÷  ÷+     ⇔ + = + ⇔ + − + = ⇔ + − = Giả sử os 0 sin 1c x x= ⇔ = ± , thay vào (*) ta được ( )1 2 1 0± ± − = (vô lí) Tức là các nghiệm của (*) đều thoả mãn điều kiện. Giải (*) ta được ( ) 3 5 ; 2 ; 2 4 6 6 x k x k x k k Z π π π π π π= + = + = + ∈ Ví dụ 5: Giải phương trình tan5 .tan 2 1x x = 30
• 31. tập phương trình lượng giác- Lời giải: Điều kiện ( ) ( ) ( ) 1 os5 0 10 5 , os2 0 2 4 2 x m c x m n Z c x x n π π π π  ≠ +≠  ⇔ ∈  ≠  ≠ +  phương trình tương đương với ( ) 1 tan5 tan5 cot 2 tan 2 14 7 x x x x k k Z x π π = ⇔ = ⇔ = + ∈ + Đối chiếu điều kiện (1) Giả sử 1 2 14 7 10 5 5 m k m k m π π π π + + = + ⇔ = + Do ,k m Z∈ nên 1 2 1 : 2 5 2 m t t Z t m t + − ∃ ∈ = ⇔ = + Lại do ,t m Z∈ nên 1 : 2 1 2 t s Z s t s − ∃ ∈ = ⇔ = + Từ đó 7 3k s= + . Suy ra 14 7 x k π π = + với 7 3k s≠ + thoả mãn phương trình + Đối chiếu điều kiện (2) Giả sử ( )4 14 5 3 14 7 4 2 k n k n π π π π + = + ⇔ − = Ta thấy vế trái của (3) chẵn, vế phải của (3) lẻ nên không tồn tại ,k n Z∈ thoả mãn (3). Từ đó suy ra điều kiên (2) luôn được thoả mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là ( ) 14 7 x k k Z π π = + ∈ Các bài tập tương tự 1/ ( )2 sinx cos1 tan cot 2 cot 1 x x x x − = + − ; 2/ 2sin cotx 2sin 2 1x x+ = + ; 3/ sinx.cot5x 1; os9xc = 4/ ( )2 4 4 2 sin 2 .sin3 tan 1 ; cos x x x x − + = 5/ ( )2 1 4cos 3 sin3 . 2 x x− = 3. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác (ĐTLG) 3.1 Kiến thức cơ sở + Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG 2x kα π= + được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG; x kα π= + được biểu diễn trên ĐTLG bởi 2 điểm đối xứng nhau qua O; 31
• 32. tập phương trình lượng giác- 2 3 k x π α= + được biểu diễn trên ĐTLG bởi 3 điểm cách đều nhau, tạo thành 3 đỉnh một tam giác đều nội tiếp ĐTLG; 2k x n π α= + được biểu diễn trên ĐTLG bởi n điểm cách đều nhau, tạo thành n đỉnh một đa giác đều nội tiếp ĐTLG. + Ta biểu diễn trên ĐTLG những điểm không thoả mãn điều kiện (đánh dấu “x”) và những điểm nghiệm tìm được (đánh dấu “o”). Những điểm đánh dấu “o” mà không trùng với những điểm đánh dấu “x” chính là những điểm thoả mãn điều kiện. 3.2 Một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2011, khối D) Giải phương trình sin2x +2cos sinx 1 0 tanx + 3 x − − = Lời giải: Điều kiện ( ) t anx 3 3 , cos 0 2 x m m n Z x x n π π π π  ≠ − + ≠ −  ⇔ ∈  ≠  ≠ +  Khi đó phươngtrình đã cho trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) sin2x +2cos sinx 1 0 2cos sinx 1 sinx 1 0 sinx 1 x 2 2 sinx 1 2cos 1 0 1 cos 22 3 x x k x x x k π π π π − − = ⇔ + − + =  = − = − +  ⇔ + − = ⇔ ⇔   =  = ± +  Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối A) Giải phương trình ( )6 6 2 cos sin sin .cos 0 2 2sin x x x x x + − = − Lời giải: Điều kiện ( ) 2 2 4 sinx , 32 2 4 x m m n Z x n π π π π  ≠ + ≠ ⇔ ∈  ≠ +  Khi đó phương trình đã cho trở thành 32 Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác (như hình bên) ta được nghiệm của phương trình là ( )2 3 x k k Z π π= + ∈ 3 π 2 π − 2 π2 3 π 3 π − O y x
• 33. tập phương trình lượng giác- ( ) ( ) 6 6 2 2 2 cos sin sin .cos 0 3 1 2 1 sin 2 sin 2 0 4 2 3sin 2 sin 2 4 0 sin 2 1 4 x x x x x x x x x x k k Z π π + − =   ⇔ − − = ÷   ⇔ + − = ⇔ = ⇔ = + ∈ Ví dụ 3: Giải phương trình sin sin 2 1 sin3 x x x + = − Lời giải: Điều kiện sin3 0 3 3 x x k x k π π≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ Khi đó sin sin 2 1 sin sin 2 sin3 0 sin3 2sin 2 .cos sin 2 0 x x x x x x x x x + = − ⇔ + + = ⇔ + = ( ) sin 2 0 sin 2 2cos 1 0 1 cos 2 x x x x = ⇔ + = ⇔  = −  2 2 2 3 x k x k π π π  = ⇔   = ± +  Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác .Ta được nghiệm của phương trình là 2 x k π π= + . Các bài tập tương tự 1/ sinx sin 2 sin3 3 cos os2 os3 x x x c x c x + + = + + ; 2/ cos sin3 0x x+ = ; 3/ 1 cos 1 cos 4sinx cos x x x − + + = ; 4/ 2 2 3. os 2sin3 .cos sin 4 3 1 3sinx cos c x x x x x + − − = + ; 5/ ( ) ( ) ( ) 1 2sin cos 3 1 2sinx 1 sinx x x− = + − (Tuyển sinh ĐH – CĐ 2009, khối A). 33 o y x 4 π3 4 π 5 4 π Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác ta được nghiệm của phương trình là ( ) 5 2 4 x k k Z π π= + ∈ O x 2 π − y 2 π 3 π 3 π − 2 3 π 4 3 π π
• 34. tập phương trình lượng giác- PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002 - 2011 Baøi 1: [ĐH A02] Tìm ( )x 0;2∈ π : cos3x sin3x 5 sin x cos2x 3 1 2sin 2x +  + = + ÷ +  Baøi 2: [ĐH B02] 2 2 2 2 sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − Baøi 3: [ĐH D02] Tìm [ ]x 0;14∈ : cos3x 4cos2x 3cos x 4 0− + − = Baøi 4: [Dự bị 1 ĐH02] Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0; 2 π     ( )4 4 2 sin x cos x cos4x sin 2x m 0+ + + − = Baøi 5: [Dự bị 2 ĐH02] 4 4 sin x cos x 1 1 cot 2x 5sin 2x 2 8sin 2x + = − Baøi 6: [Dự bị 3 ĐH02] ( )2 4 4 2 sin 2x sin3x tan x 1 cos x − + = Baøi 7: [Dự bị 4 ĐH02] 2 x tan x cos x cos x sin x 1 tan x.tan 2   + − = + ÷   Baøi 8: [Dự bị 5 ĐH02] Cho phương trình : 2sin x cos x 1 a sin x 2cos x 3 + + = − + a) Giải phương trình với 1 a= 3 b) Tìm a để phương trình trên có nghiệm. Baøi 9: [Dự bị 6 ĐH02] 2 1 sin x 8cos x = Baøi 10: [ĐH A03] 2cos2x 1 cot x 1 sin x sin 2x 1 tan x 2 − = + − + Baøi 11: [ĐH B03] 2 cot x tan x 4sin 2x sin 2x − + = Baøi 12: [ĐH D03] 2 2 2x x sin tan x cos 0 2 4 2 π  − − = ÷   Baøi 13: [Dự bị 1 ĐH A03] ( )3 tan x tan x 2sin x 6cosx 0− + + = Baøi 14: [Dự bị 2 ĐH A03] ( )2 cos2x cos x 2tan x 1 2+ − = Baøi 15: [Dự bị 1 ĐH B03] 6 2 3cos4x 8cos x 2cos x 3 0− + + = Baøi 16: [Dự bị 2 ĐH B03] ( ) 2 x 2 3 cos x 2sin 2 4 1 2cosx 1 π  − − − ÷   = − Baøi 17: [Dự bị 1 ĐH D03] ( ) ( ) 2 cos x cos x 1 2 1 sin x sin x cos x − = + + Baøi 18: [Dự bị 2 ĐH D03] 2cos4x cot x tan x sin 2x = + Baøi 19: [ĐH B04] 2 5sin x 2 3(1 sin x)tan x− = − Baøi 20: [ĐH D04] ( ) ( )2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x− + = − Baøi 21: [Dự bị 1 ĐH A04] ( )sin x sin 2x 3 cos x cox2x+ = + Baøi 22: [Dự bị 2 ĐH A04] 1 sin x 1 cos x 1− + − = Baøi 23: [Dự bị 1 ĐH B04] ( )3 3 4 sin x cos x cos x 3sin x+ = + 34
• 35. tập phương trình lượng giác- Baøi 24: [Dự bị 2 ĐH B04] 1 1 2 2 cos x cos x sin x 4 π  − = + ÷   Baøi 25: [Dự bị 1 ĐH D04] sin 4xsin 7x cos3x cos6x= Baøi 26: [Dự bị 2 ĐH D04] ( )sin 2x 2 2 sin x cos x 5 0− + − = Baøi 27: [ĐH A05] 2 2 cos 3x cos2x cos x 0− = Baøi 28: [ĐH B05] 1 sin cos x sin 2x cos2x 0+ + + + = Baøi 29: [ĐH D05] 4 4 3 cos x sin x cos x sin 3x 0 4 4 2 π π    + + − − − = ÷  ÷     Baøi 30: [Dự bị 1 ĐH A05] Tìm ( )x 0;∈ π 2 2x 3 4sin 3 cos2x 1 2cos x 2 4 π  − = + − ÷   Baøi 31: [Dự bị 2 ĐH A05] 3 2 2 cos x 3cos x sin x 0 4 π  − − − = ÷   Baøi 32: [Dự bị 1 ĐH B05] 3 2 2 cos x 3cos x sin x 0 4 π  − − − = ÷   Baøi 33: [Dự bị 2 ĐH B05] 2 2 cos2x 1 tan x 3tan x 2 cos x π −  + − = ÷   Baøi 34: [Dự bị 1 ĐH D05] 3 sin x tan x 2 2 1 cos x π  − + = ÷ +  Baøi 35: [Dự bị 2 ĐH D05] sin 2x cos2x 3sin x cos x 2 0+ + − − = Baøi 36: [ĐH A06] ( )6 6 2 cos x sin x sin x cos x 0 2 2sin x + − = − Baøi 37: [ĐH B06] x cot x sin x 1 tan x tan 4 2   + + = ÷   Baøi 38: [ĐH D06] cos3x cos2x cosx 1 0+ − − = Baøi 39: [Dự bị 1 ĐH A06] 3 3 2 3 2 cos3x cos x sin3xsin x 8 + − = Baøi 40: [Dự bị 2 ĐH A06]2sin 2x 4sin x 1 0 6 π  − + + = ÷   Baøi 41: [Dự bị 1 ĐH B06] ( ) ( )2 2 2 2sin x 1 tan 2x 3 2cos x 1 0− + − = Baøi 42: [Dự bị 2 ĐH B06] ( ) ( )cos2x 1 2cos x sin x cos x 0+ + − = Baøi 43: [Dự bị 1 ĐH D06] 3 3 2 cos x sin x 2sin x 1+ + = Baøi 44: [Dự bị 2 ĐH D06] 3 2 4sin x 4sin x 3sin 2x 6cos x 0+ + + = Baøi 45: [ĐH A07] ( ) ( )2 2 1 sin x cos x 1 cos x sin x 1 sin 2x+ + + = + Baøi 46: [ĐH B07] 2 2sin 2x sin 7x 1 sin x+ − = Baøi 47: [ĐH D07] 2 x x sin cos 3 cos x 2 2 2   + + = ÷   Baøi 48: [Dự bị 1 ĐH A07] 1 1 sin 2 sin 2cot 2 2sin sin 2 x x x x x + − − = Baøi 49: [Dự bị 2 ĐH A07] 2 2cos 2 3sin cos 1 3(sin 3 cos )x x x x x+ + = + 35
• 36. tập phương trình lượng giác- Baøi 50: [Dự bị 1 ĐH B07] 5 3 sin cos 2 cos 2 4 2 4 2 x x xπ π    − − − = ÷  ÷     Baøi 51: [Dự bị 2 ĐH B07] sin 2 cos tan cot cos sin x x x x x x + = − Baøi 52: [Dự bị 1 ĐH D07] 2 2 sin cos 1 12 x x π  − = ÷   Baøi 53: [Dự bị 2 ĐH D07] (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tanx x x− + = + Baøi 54: [ĐH A08] 1 1 7 4sin x 3sin x 4 sin x 2 π  + = − ÷π   − ÷   Baøi 55: [ĐH B08] 3 3 2 2 sin x 3 cos x sin x cos x 3sin x cos x− = − Baøi 56: [ĐH D08] ( )2sin x 1 cos2x sin 2x 1 2cos x+ + = + Baøi 57: [CĐ 08] sin3x 3 cos3x 2sin 2x− = Baøi 58: [Dự bị 1 ĐH A08] 2 tan cot 4cos 2x x x= + Baøi 59: [Dự bị 2 ĐH A08] 2 sin 2 sin 4 4 2 x x π π    − = − + ÷  ÷     Baøi 60: [Dự bị 1 ĐH B08] 1 2sin sin 2 3 6 2 x x π π    + − − = ÷  ÷     Baøi 61: [Dự bị 2 ĐH B08] 2 3sin cos2 sin 2 4sin cos 2 x x x x x+ + = Baøi 62: [Dự bị 1 ĐH D08] ( )4 4 4 sin cos cos4 sin 2 0x x x x+ + + = Baøi 63: [Dự bị 2 ĐH D08] 2 2 tan tan 2 sin tan 1 2 4 x x x x π+   = + ÷ +   Baøi 64: [ĐH A09] (1 2sin x)cosx 3 (1 2sin x)(1 sin x) − = + − Baøi 65: [ĐH B09] ( )3 sin x cos xsin 2x 3 cos3x 2 cos4x sin x+ + = + Baøi 66: [ĐH D09] 3 cos5x 2sin3x cos2x sin x 0− − = Baøi 67: [CĐ 09] 2 (1 2sin x) cos x 1 sin x cos x+ = + + Baøi 68: [ĐH A10] ( )1 sinx os2 sin 14 cos 1 t anx 2 c x x x π  + + + ÷   = + Baøi 69: [ĐH B10] ( )sin2x+cos2 cos 2cos2 sinx 0x x x+ − = Baøi 70: [ĐH D10] sin 2 os2 3sin cos 1 0x c x x x− + − − = Baøi 71: [ĐH A11] 2 1 sin 2 os2 2 sin xsin 2 1 cot x c x x x + + = + Baøi 72: [DB A11] 9sin 6cos 3sin 2 cos2 8x x x x+ − + = Baøi 73: [ĐH B11] sin 2 cos sin x cos os2 sinx cosx x x c x x+ = + + Baøi 74: [ĐH D11] sin2 2cos sinx 1 0 t anx 3 x x+ − − = + Baøi 75: [DB D11] ( )3cos2 2cos sin 1 0x x x+ − = -------- 36
• 37. tập phương trình lượng giác- HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 Bài Hướng dẫn giải Kết qủa 1 A.2002 Tìm ( )x 0;2∈ π : cos3x sin3x 5 sin x cos2x 3 1 2sin 2x +  + = + ÷ +  (1) Điều kiện : 1 sin 2 2 x ≠ − cos3x sin3x sin x 2sin xsin 2x cos3x sin3x 5 sin x 5 1 2sin 2x 1 sin 2x + + + +    + = ÷  ÷ + +    sin cos cos3 cos3 sin3 5 1 2sin 2 x x x x x x + − + +  =  ÷ +  sin3 sin cos 2sin 2 cos cos 5 5 1 2sin 2 1 2sin 2 x x x x x x x x + + +    = = ÷  ÷ + +    cos (1 2sin 2 ) 5 5cos 1 2sin 2 x x x x +  = = ÷ +  (1) 2 5cos cos2 3 2cos 5cos 3 0x x x x⇔ = + ⇔ − + = cos 2 (L) 1 cos cos 2 3 x x π = ⇔  = =  cos cos 3 x π = 2 3 2 3 x k k x k π π π π  = + ∈  = − +  ¢ Vì ( )0;2x π∈ Nên nghiệm của phương trình : 5 ; 3 3 x x π π = = 2 B.2002 2 2 2 2 sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − 1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12 2 2 2 2 x x x x− + − + ⇔ − = − cos12 cos10 cos8 cos6x x x x⇔ + = + 2cos (cos11 cos7 ) 0 4cos .sin9 .sin 2 0x x x x x x⇔ − = ⇔ − = 9 2 k x k k x π π  = ∈  =  ¢ 3 D.2002 Tìm [ ]x 0;14∈ : cos3x 4cos2x 3cos x 4 0− + − = (1) Ta có : 3 cos3 4cos 3cosx x x= − (1) cos3 3cos 4(1 cos2 ) 0x x x⇔ + − + = 3 2 4cos 8cos 0x x⇔ − = ( )2 4cos cos 2 0 cos 0x x x⇔ − = ⇔ = ; 2 x k k π π= + ∈¢ Vì (0;14)x∈ 3 5 7 ; ; ; 2 3 2 2 x π π π π  ∈    4 DB 1 2002 Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0; 2 π     : ( )4 4 2 sin x cos x cos4x sin 2x m 0+ + + − = (1) (1) ( )2 2 2 2 1 2sin cos 1 sin 2 2sin 2 0x x x x m⇔ − + − + + = 2 3 3sin 2 2sin 2 0m x x⇔ + − + = 2 3 2 ( 3) 0t t m⇔ − − + = (2) với sin 2t x= Ta có : [ ] [ ]0; 2 0; 0;1 2 x x t π π   ∈ ⇔ ∈ ⇒ ∈   Bài toán thành : Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn [ ]0;1 (2) 2 3 2 3t t m⇔ − = + 37 y x 1 o 1 1 3 1 2 1 3 −
• 38. tập phương trình lượng giác- Đặt 2 3 2 (P) 3 d y t t y m  = −  = + Số nghiệm của (2) là số giao điểm của d và (P) Khảo sát hàm số : 2 3 2y t t= − [ ]0;1t ∈ ' 6 2y t= − 1 ' 0 6 2 0 3 y t t= ⇔ − = ⇔ = BBT Phương trình (2) có ít nhất một nghiện trên đoạn [ ]0;1 1 3 1 3 10 2 3 m m ⇔ − ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ − 5 DB 2 2002 4 4 sin x cos x 1 1 cot 2x 5sin 2x 2 8sin 2x + = − (1) Điều kiện : sin 2 0x ≠ (1) 2 2 1 2sin cos 1 1 cos 2 5 2 8 x x x − ⇔ = − 2 2sin 2 5 5 5 1 cos2 2 (1 cos 2 ) 5cos2 2 2 8 4 x x x x⇔ − = − ⇔ − − = − 2 9 cos2 ( ) 9 2 cos 2 5cos2 0 14 cos2 2 x L x x x  = ⇔ − + = ⇔   =  cos2 cos 3 2 2 3 2 3 6 6 x x k x k x k k x k π π π π π π π π π =  = + ⇔   = − +   = + ⇔ ∈  = − +  ¢ 6 DB 3 2002 ( )2 4 4 2 sin 2x sin3x tan x 1 cos x − + = (1) Điều kiện : cos 0x ≠ (1) 4 4 2 sin cos (2 sin 2 )sin3x x x x⇔ + = − 2 2 2 2 sin 2 1 (2 sin 2 )sin3 2 2 sin 2 (2 sin 2 )2sin3 x x x x x x ⇔ − = − ⇔ − = − 2 (2 sin 2 )(1 2sin3 ) 0 1 1 2sin3 0 sin3 2 x x x x ⇔ − − = ⇔ − = ⇔ = sin3 sin 6 x π = 3 2 6 5 3 2 6 2 18 3 5 2 18 3 x k x k k x k x π π π π π π π π  = +   = +   = +   = +  k ∈¢ 7 DB 4 2002 2 x tan x cos x cos x sin x 1 tan x.tan 2   + − = + ÷   (1) Điều kiện : cos 0 cos 0 2 x x ≠   ≠ 38 1 3x 'y y − −∞ +∞ 0 0 1 3 − + 0 1
• 39. tập phương trình lượng giác- Ta có : sin sin cos cos sin sin 2 2 21 tan .tan 1 2 cos cos cos cos 2 2 x x x x x x x x x x x x + + = + = cos 12 coscos cos 2 x x x xx   − ÷  = = (1) 2 sin tan cos cos cos x x x x x ⇔ + − = cos 0 (L) cos (1 cos ) 0 cos 1 x x x x = ⇔ − = ⇔  = cos 1x = 2 ;x k kπ⇔ = ∈¢ 8 DB 5 2002 Cho phương trình : 2sin x cos x 1 a sin x 2cos x 3 + + = − + a) Giải phương trình với 1 a= 3 b) Tìm a để phương trình trên có nghiệm. Giải. a)Với 1 3 a = , phương trình thành : 2sin x cos x 1 1 sin x 2cos x 3 3 + + = − + (1) vì : sin 2cos 3 0x x x− + > ∀ ∈¡ (1) 6sin 3cos 3 sin 2cos 3 5sin 5cos 0 sin cos 0 2 sin 0 sin 0 4 4 x x x x x x x x x x π π ⇔ + + = − + ⇔ + = ⇔ + =     ⇔ + = ⇔ + = ÷  ÷     sin 0 4 4 4 x x k x k π π π π π   + = ÷   ⇔ + = ⇔ = − + k ∈¢ b) ( ) 2sin x cos x 1 a sin x cos x 1 a sin x 2cos x 3 sin x 2cosx 3 + + = ⇔ + + = − + − + (2 )sin (2 1)cos 3 1a x a x a⇔ − + + = − (2) Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 3 1 4 6 4 0a a a a a− + + ≥ − ⇔ − − ≤ 1 2 2 a⇔ − ≤ ≤ 1 2 2 a− ≤ ≤ 9 DB 6 2002 2 1 sin x 8cos x = (1) Điều kiện : cos 0 sin 0 x x ≠  ≥ (1) 2 2 2 2 1 sin 1 8sin cos 8cos x x x x ⇔ = ⇔ = 2 2sin 2 1 0 cos4 0 4 2 8 4 k x x x k x π π π π⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + Vì : sin 0x ≥ 2 8 x m π π= + 3 2 8 x m π π= + ;m∈¢ 5 2 8 x m π π= + 7 2 8 x m π π= + 10 A2003 2cos2x 1 cot x 1 sin x sin 2x 1 tan x 2 − = + − + (1) Điều kiện : sin 2 0 tan 1 x x ≠  ≠ − 39
• 40. tập phương trình lượng giác- (1) 2 2 cos cos sin 1 sin (sin cos ) sinsin 1 cos x x x x x x xx x − ⇔ − = + − + ( ) 2 2 2 cos sin cos (cos sin ) sin (sin cos ) sin sin cos cos sin cos (cos sin ) sin (sin cos ) sin (cos sin ) sin sin cos 1 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − ⇔ = + − + − ⇔ = − + − ⇔ − − + = 2 cos sin 0 sin sin cos 1 0 x x x x x − = ⇔  − + = * cos sin 0 2 cos 0 4 x x x π  − = ⇔ + = ÷   cos 0 ; 4 4 2 4 x x k x k k π π π π π π   ⇔ + = ⇔ + = + ⇔ = + ∈ ÷   ¢ * 2 1 cos2 sin 2 sin sin cos 1 0 1 0 2 2 x x x x x − − + = ⇔ − + = sin 2 cos2 3 0x x⇔ + − = ( vô nghiệm ) ; 4 x k k π π= + ∈¢ 11 B2003 2 cot x tan x 4sin 2x sin 2x − + = (1) Điều kiện : sin 2 0x ≠ (1) cos sin 2 4sin 2 sin cos sin 2 x x x x x x ⇔ − + = ( ) 2 2 2 2 cos sin 2 4sin 2 sin cos sin 2 2cos2 4sin 2 2 2cos 2 4 1 cos 2 2 x x x x x x x x x x − ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + − = 2 cos2 1 2cos cos2 1 0 1 cos2 2 x x x x = ⇔ − − = ⇔  = −  3 x k k x k π π π =  ∈  = ± +  ¢ 12 D2003 2 2 2x x sin tan x cos 0 2 4 2 π  − − = ÷   (1) Điều kiện : cos 0x ≠ (1) ( ) 2 2 1 sin 1 1 cos 1 cos 2 2 cos 2 x x x x π   ⇔ − − = + ÷     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 sin sin 1 cos cos 1 sin 1 cos 1 cos 1 sin x x x x x x x x ⇔ − = + ⇔ − − = + − ( ) ( ) ( )1 sin 1 cos sin cos 0x x x x⇔ − + + = sin 1 sin 1 2 cos 1 cos 1 2 sin cos 0 sin 0 44 x k x x x x x k x x x kx π π π π ππ π   = + = =  ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = +    + =    = − ++ = ÷   So với điều kiện : cos 0x ≠ Nghiệm của (1) : 2 4 x k k x k π π π π = +  ∈  = − +  ¢ 40
• 41. tập phương trình lượng giác- 13 DB 1 A2003 ( )3 tan x tan x 2sin x 6cos x 0− + + = Điều kiện : cos 0x ≠ sin sin 2sin cos 3 6cos 0 cos cos x x x x x x x +  ⇔ − + = ÷   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3cos sin 1 2cos 6cos 0 3cos 1 2cos sin 1 2cos 0 1 2cos 3cos sin 0 x x x x x x x x x x x ⇔ − + + = ⇔ + − + = ⇔ + − = 2 2 2 1 cos1 2cos 0 12 cos 1 44cos 1 0 cos 4 xx x x x  = −+ = ⇔ ⇔ ⇔ = − =  =  1 1 2 1 cos cos2 cos 2 2 3 x x π ⇔ + = ⇔ = − = 2 cos2 cos 3 2 2 2 3 2 2 2 3 x x k x k π π π π π =  = + ⇔   = − +  3 3 x k k x k π π π π  = + ⇔ ∈  = − +  ¢ 14 DB 2 A2003 ( )2 cos2x cos x 2tan x 1 2+ − = Điều kiện : cos 0x ≠ 2 2sin cos2 cos 2 cos x x x x ⇔ + − = 2 2 2 2sin cos 2 cos2 1 2sin cos 1 2sin 1 1 cos cos x x x x x x x x ⇔ − = − = +   ⇔ − = + ÷   2 2(1 cos )(1 cos ) (1 cos )cosx x x x⇔ − − = + ( ) 2 1 cos 2(1 cos ) cos 0x x x ⇔ + − − =  2 cos 1 cos 1 1 cos2cos 5cos 2 0 2 x x xx x = −= − ⇔ ⇔  =− + =  2 3 x k x k π π π π = +   = ± +  15 DB 1 B2003 6 2 3cos4x 8cos x 2cos x 3 0− + + = 2 4 3(1 cos4 ) 2cos (4cos 1) 0x x x⇔ + − − = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 6cos 2 2cos (2cos 1)(2cos 1) 0 6cos 2 cos (2cos 1)cos2 0 cos2 3cos2 cos (2cos 1) 0 cos2 0 cos2 2cos 5cos 3 0 2cos 5cos 3 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − − + = ⇔ − + =  ⇔ − + =  = ⇔ − + = ⇔  − + = * cos2 0 2 2 4 2 k x x k x π π π π= ⇔ = + ⇔ = + ; k ∈¢ * 2 4 2 2 2 cos 1 2cos 5cos 3 0 sin 03 cos ( ) 2 x x x x x L  = − + = ⇔ ⇔ =  =  4 2 k x k x k π π π  = + ∈  = ¢ 16 DB 2 B2003 ( ) 2 x 2 3 cos x 2sin 2 4 1 2cos x 1 π  − − − ÷   = − (1) Vì : 1 cos 2 x ≠ Nên nghiệm của phương trình : 41
• 42. tập phương trình lượng giác- Điều kiện : 1 cos 2 x ≠ (1) (2 3)cos 1 cos 2cos 1 2 2cos 3cos 1 sin 2cos 1 3 cos sin 0 3 1 cos sin 0 cos cos sin sin 0 2 2 6 6 cos 0 ; 6 6 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x k x k k π π π π π π π π π    ⇔ − − − − = − ÷     ⇔ − − + = − ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =   ⇔ + = ⇔ + = + ⇔ = + ∈ ÷   ¢ 4 2 ; 3 x k k π π= + ∈¢ 42
• 43. tập phương trình lượng giác- 43
• 44. tập phương trình lượng giác- 17 DB 1 D2003 ( ) ( ) 2 cos x cos x 1 2 1 sin x sin x cos x − = + + (1) Điều kiện : sin cos 2 sin 0 4 x x x π  + = + ≠ ÷   (1) 2 (1 sin )(cos 1) 2(1 sin )(sin cos )x x x x x⇔ − − = + + ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) 2 1 sin (1 sin )(cos 1) 2(sin cos ) 0 1 sin cos 1 sin cos sin 2sin 2cos 0 1 sin sin 1 sin cos cos 0 1 sin (1 sin ) cos (1 sin ) 0 sin 1 1 sin 1 cos 0 cos 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + − − − + = ⇔ + − − + − − = ⇔ + + + + = ⇔ + + + + = = − ⇔ + + = ⇔  = − 2 2 2 x k k x k π π π π  = − + ∈  = + ¢ 18 DB 2 D2003 2cos4x cot x tan x sin 2x = + (1) Điều kiện : sin 2 0 cos2 1x x≠ ⇔ ≠ ± (1) 2cos4 cot tan sin 2 x x x x ⇔ − = 2 2 2 cos sin cos4 cos sin cos4 sin cos sin cos cos2 cos4 2cos 2 cos2 1 0 cos2 1( ) 1 2 cos2 cos 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x L x π ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ − − = = ⇔  = − =  ; 3 x k k π π= ± + ∈¢ 19 B2004 2 5sin x 2 3(1 sin x)tan x− = − Điều kiện : cos 0x ≠ 2 2 3sin 5sin 2 (1 sin ) 1 sin x x x x ⇔ − = − − 2 2 (5sin 2)(1 sin ) 3sin 1 sin sin 2sin 3sin 2 0 2 6 sin 2 x x x x x x x π ⇔ − + =  = =⇔ + − = ⇔  = − 2 6 5 2 6 x k k x k π π π π  = + ∈  = +  ¢ 20 D2004 ( ) ( )2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x− + = − ( ) ( ) (2cos 1)(2sin cos ) sin (2cos 1) 2cos 1 sin cos 0 1 cos coscos 2cos 1 32 sin cos 0 2 sin 0 sin 0 4 4 x x x x x x x x xx x x x x x π π π ⇔ − + = − ⇔ − + =  == = ⇔ ⇔ ⇔ + =     + = + = ÷  ÷      2 3 4 x k k x k π π π π  = ± + ∈  = − +  ¢ 21 DB 1 A2004 ( )sin x sin 2x 3 cos x cox2x+ = + sin sin 2 3 cos 3 cos2 sin 3 cos 3 cos2 sin 2 1 3 3 1 sin cos cos2 sin 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x ⇔ + = + ⇔ − = − ⇔ − = − sin cos 2x x π π    ⇔ − = + ÷  ÷ 44
• 45. tập phương trình lượng giác- 2 2 2 sin 2 (1 2sin 2 ) sin 2 1 0 sin 2 1 sin 2 sin 2 2 0 sin 2 2 x x x x x x x ⇔ − − − + − = = ⇔ + − = ⇔  = − ; 4 x k k π π= + ∈¢ 30 DB 1 A2005 Tìm ( )x 0;∈ π của : 2 2x 3 4sin 3 cos2x 1 2cos x 2 4 π  − = + − ÷   3 2(1 cos ) 3 cos2 1 1 cos 2 2 x x x π  ⇔ − − = + + − ÷   2 2cos 3 cos2 2 sin 2x x x⇔ − − = − 2cos 3 cos2 sin 2x x x⇔ − = − (chia 2 vế cho 2) 3 1 cos cos2 sin 2 cos( ) cos 2 2 2 6 x x x x x π π   ⇔ − = − ⇔ − = + ÷   2 2 6 cos 2 cos( ) 6 2 2 6 x x k x x x x k π π π π π π π π  + = − +  ⇔ + = − ⇔  ÷    + = − + +  1 1 2 2 25 18 3 ; 7 2 6 k x k k x k ππ π π  = + ⇔ ∈  = − +  ¢ Vì { }1 1 1 5 17 0;1 ; (0; ) 18 18 k k x x k π π π ∈ ⇒ ∈ ⇒ = = ∈ ¢ Vì 2 2 2 5 1 (0; ) 6 k k x k π π ∈ ⇒ = ⇒ = ∈ ¢ 3 cos 2 2 sin 2 x x π  − ÷   = − 5 18 17 18 5 6 x x x π π π  =  ⇔ =    =  31 DB 2 A2005 32 DB1 B2005 3 2 2 cos x 3cos x sin x 0 4 π  − − − = ÷   3 3 3 3 2 2 2 cos 3cos sin 0 4 (cos sin ) 3cos sin 0 cos sin 3cos sin 3cos sin 3cos sin 0 x x x x x x x x x x x x x x x π   ⇔ − − − = ÷     ⇔ + − − = ⇔ + + + − − = 3 3 2 2 2 cos 0 sin sin 0 cos 0 1 tan 3tan 3tan 3(1 tan ) tan (1 tan ) 0 x x x x x x x x x x  =  − = ⇔  ≠  + + + − + − + = 2 2 sin 1 cos 0 tan 1 tan 1 x x x x  = = ⇔ ⇔  = =  2 4 x k k x k π π π π  = + ∈  = +  ¢ 33 DB 2 B2005 2 2 cos2x 1 tan x 3tan x 2 cos x π −  + − = ÷   (1) Điều kiện : sin 2 0x ≠ (1) 2 2 2 2sin cot 3tan cos x x x x ⇔ − − = − ; 4 x k k π π= − + ∈¢ 45
• 46. tập phương trình lượng giác- 2 31 tan 0 tan 1 tan 1 tan x x x x ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − 34 DB 1 D2005 3 sin x tan x 2 2 1 cos x π  − + = ÷ +  (1) Điều kiện : sin 0x ≠ (1) ( ) 2 2 2 sin cos sin cot 2 2 1 cos sin 1 cos cos (1 cos ) sin 2sin (1 cos ) cos cos sin 2sin (1 cos ) cos 1( ) (1 cos ) 1 2sin 0 1 sin sin 2 6 x x x x x x x x x x x x x x x x x x L x x x π ⇔ + = ⇔ + = + + ⇔ + + = + ⇔ + + = + = − ⇔ + − = ⇔  = =  2 6 5 2 6 x k k x k π π π π  = + ∈  = +  ¢ 35 DB 2 D2005 sin 2x cos2x 3sin x cos x 2 0+ + − − = 2 2 2sin cos 1 2sin 3sin cos 2 0 2sin (2cos 3)sin cos 1 0 (1) x x x x x x x x x ⇔ + − + − − = ⇔ − + + + = Chú ý : (1) là phương trình bậc 2 với biến sin x Ta có : 2 2 (2cos 3) 8(cos 1) (2cos 1)x x x∆ = + − + = + Nghiệm của (1) : 2cos 3 2cos 1 sin cos 1 4 2cos 3 2cos 1 1 sin 4 2 x x x x x x x + + + = = +  + − − = =   2 1 6 sin sin 52 6 2 6 x k x k x k π π π π π  = + = = ⇔ ∈  = +  ¢  1 sin cos 1 sin cos 1 sin sin 4 42 x x x x x π π  = + ⇔ − = ⇔ − = = ÷   2 6 5 2 6 2 2 2 x k x k k x k x k π π π π π π π π  = +   = +  ∈   = +   = + ¢ 36 A2006 ( )6 6 2 cos x sin x sin x cos x 0 2 2sin x + − = − (1) điều kiện : 2 sin 2 x ≠ (1) ( )6 6 2 sin cos sin cos 0x x x⇔ + − = 2 2 3sin 2 1 2 1 sin 2 0 4 2 sin 2 1 3sin 2 sin 2 4 0 4 sin 2 3 x x x x x x   ⇔ − − = ÷   = ⇔ + − = ⇔  =   sin 2 1 2 2 ; 2 4 x x k x k k π π π π= ⇔ = + ⇔ = + ∈¢ vì : 2 sin 2 x ≠ 2 4 3 2 4 x k x k π π π π  ≠ + ⇔   ≠ +  Nghiệm của (1) 5 2 ; 4 x k k π π= + ∈¢ 37 B2006 x cot x sin x 1 tan x tan 4 2   + + = ÷   (1) Điều kiện : sin 2 0 cos 0 2 x x ≠   ≠ Ta có : 1 1 tan .tan 2 cos x x x + = 12 5 12 x k k x k π π π π  = + ∈  = +  ¢ 46
• 47. tập phương trình lượng giác- (1) cos sin 1 4 4 sin cos sin cos x x x x x x ⇔ + = ⇔ = 2 2 1 6 2sin 2 1 sin 2 sin 52 6 2 2 6 x k x x x k π π π π π  = + ⇔ = ⇔ = = ⇔   = +  38 D2006 cos3x cos2x cosx 1 0+ − − = ( ) ( ) 2 2 cos3 cos cos2 1 0 2sin 2 sin 2sin 0 2sin sin 2 sin 0 2sin (2sin cos sin ) 0 sin 0 2sin 2cos 1 0 1 cos cos 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x π ⇔ − + − = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ − = = ⇔ − = ⇔  = =  2 3 x k k x k π π π =  ∈  = ± +  ¢ 39 DB 1 A2006 3 3 2 3 2 cos3x cos x sin3xsin x 8 + − = (1) Ta có ( ) ( ) 3 3 3 3 1 cos3 4cos 3cos cos cos3 3cos 4 1 sin3 3sin 4sin sin 3sin sin3 4 x x x x x x x x x x x x = − ⇔ = + = − ⇔ = − (1) ( ) ( ) 1 2 3 2 cos3 cos3 3cos sin3 3sin sin3 4 8 x x x x x x +  ⇔ + − − =  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 cos3 cos3 3cos sin3 3sin sin3 2 3 2 cos 3cos3 cos 3sin3 sin sin 3 1 2 3 2 1 3 cos3 cos sin3 sin 1 2 2 cos4 sin 4 2 ; 2 4 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k π π π + ⇔ + − − = ⇔ + − + = + ⇔ + − = + ⇔ = = ⇔ = ± + ∈¢ ; 16 2 k x k π π = ± + ∈¢ 40 DB 2 A2006 2sin 2x 4sin x 1 0 6 π  − + + = ÷   ( ) 2 2 sin 2 cos cos2 sin 4sin 1 0 6 6 3sin 2 cos2 4sin 1 0 2 3sin cos 4sin 2sin 0 2sin 3 cos sin 2 0 sin 0 cos 13 cos sin 2 0 6 x x x x x x x x x x x x x x k x xx x π π π π   ⇔ − + + =    ⇔ − + + = ⇔ + + = ⇔ + + = = = ⇔ ⇔   − = −+ + =  ÷    7 2 6 x k k x k π π π =  ∈  = +  ¢ 41 DB 1 B2006 ( ) ( )2 2 2 2sin x 1 tan 2x 3 2cos x 1 0− + − = (1) điều kiện : cos2 0x ≠ ; 6 2 k x k π π = ± + ∈¢ 47
• 48. tập phương trình lượng giác- (1) ( ) 2 2 2 cos2 .tan 2 3cos2 0 cos2 tan 2 3 0 tan 2 3 tan 2 tan tan 2 3 3 tan 2 3 tan 2 tan 3 x x x x x x x x x x π π ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =  = = ⇔ ⇔  = − = − ÷   42 DB 2 B2006 ( ) ( )cos2x 1 2cos x sin x cos x 0+ + − = ( ) 2 2 (cos sin ) (1 2cos )(sin cos ) 0 (cos sin ) cos sin 2cos 1 0 cos 0 cos sin 0 4 sin cos 1 1 sin sin 4 42 x x x x x x x x x x x x x x x x π π π ⇔ − + + − = ⇔ − + − − =    + = ÷− =  ⇔ ⇔ − =   − = =  ÷   4 2 4 2 2 4 4 2 3 2 2 4 4 x k x k x k x k k x k x k π π π π π π π π π π π π π π π   + = + = +     ⇔ − = + ⇔ = + ∈     = + − = +    ¢ 4 2 2 2 x k x k x k π π π π π π  = +   = +   = +  ; k ∈¢ 43 DB 1 D2006 3 3 2 cos x sin x 2sin x 1+ + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 sin cos 1 sin cos cos2 sin cos 1 sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos 1 0 sin cos 1 sin cos (1 sin ) 0 sin cos 1 sin 1 cos 0 sin 0 4 sin cos 0 sin 1 2 cos 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π π ⇔ + − = ⇔ + − = − ⇔ + − − + =  ⇔ + + − + =  ⇔ + + − =   + = ÷  + = ⇔ = − ⇔ = −  = 2 2 k x k π π     +  =   4 2 ; 2 2 x k x k k x k π π π π π  = − +   = − + ∈   =  ¢ 44 DB 2 D2006 3 2 4sin x 4sin x 3sin 2x 6cos x 0+ + + = 2 2 2 2 3 x k k x k π π π π  = − + ∈  = ± +  ¢ 48
• 49. tập phương trình lượng giác- 2 2 2 2 4sin (sin 1) 6cos (sin 1) 0 (sin 1)(4sin 6cos ) 0 (sin 1) 4(1 cos ) 6cos 0 sin 1 sin 1 cos 2 2cos 3cos 2 0 1 cos 2 x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + + + = ⇔ + + =  ⇔ + − + =    = − = −  ⇔ ⇔ =  − − =  = −  45 A2007 ( ) ( )2 2 1 sin x cos x 1 cos x sin x 1 sin 2x+ + + = + ( ) 2 2 2 2 cos sin cos sin cos sin (sin cos ) (sin cos ) sin cos (sin cos ) (sin cos ) 0 (sin cos ) 1 sin cos sin cos 0 sin cos 0 (sin cos )(1 sin )(1 cos ) 0 1 sin 0 1 cos 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + + + = + ⇔ + + + − + = ⇔ + + − − = + = ⇔ + − − = ⇔ − =  − = 4 2 ; 2 2 x k x k k x k π π π π π  = − +   = + ∈   =  ¢ 46 B2007 2 2sin 2x sin 7x 1 sin x+ − = ( ) 2 sin 7 sin 2sin 2 1 0 2cos4 .sin3 cos4 0 cos4 0 cos4 2sin3 1 0 1 sin3 sin 2 6 x x x x x x x x x x π ⇔ − + − = ⇔ − = = ⇔ − = ⇔  = =  8 4 2 ; 18 3 5 2 18 3 k x k x k k x π π π π π π  = +   = + ∈    = +  ¢ 47 D2007 2 x x sin cos 3 cos x 2 2 2   + + = ÷   1 sin 3 cos 2 sin 3 cos 1 2 1 3 6 sin sin 53 2 6 2 3 6 x x x x x k x x k π π π π π π π π ⇔ + + = ⇔ + =  + = +  ⇔ + = = ⇔  ÷    + = +  2 2 2 6 x k k x k π π π π  = + ∈  = − +  ¢ 48 DB 1 A2007 1 1 sin 2 sin 2cot 2 2sin sin 2 x x x x x + − − = (1) điều kiện :sin 2 0x ≠ (1) 2 sin 2 sin 2 sin cos 1 2cos2x x x x x⇔ + − − = 2 2 2 2 2 sin 2 1 cos (2sin 1) 2cos2 cos 2 cos2 .cos 2cos2 0 cos2 (cos2 cos 2) 0 cos2 0 cos2 (2cos cos 1) 0 2cos cos 1 0 ( ) x x x x x x x x x x x x x x x x x VN ⇔ − + − = ⇔ − + − = ⇔ + + = = ⇔ + + = ⇔  + + = ; 4 2 k x k π π = + ∈¢ 49
• 50. tập phương trình lượng giác- 49 DB 2 A2007 2 2 2cos 2 3sin cos 1 3(sin 3 cos ) 2cos 1 3sin 2 2 3(sin 3 cos ) cos2 3sin 2 2 3(sin 3 cos ) 1 3 1 3 2 2 cos2 sin 2 6 sin cos 2 2 2 2 2 2cos 2 6cos 3 6 1 cos2 3cos 6 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π π π + + = + ⇔ − + + = + ⇔ + + = +     ⇔ + + = + ÷  ÷ ÷  ÷         ⇔ + − = − ÷  ÷       ⇔ + − = ÷   2 6 2cos 3cos 0 6 6 cos 0 6 cos 2cos 3 0 6 6 3 cos 6 2 x x x x x x π π π π π π π   − ÷       ⇔ − − − = ÷  ÷        − = ÷        ⇔ − − − = ⇔ ÷  ÷         − =  ÷   2 ; 3 x k k π π= + ∈¢ 50 DB 1 B2007 5 3 sin cos 2 cos 2 4 2 4 2 x x xπ π    − − − = ÷  ÷     5 3 sin sin 2 cos 2 4 2 4 2 2 x x xπ π π     ⇔ − − + − = ÷  ÷       3 3 2cos sin 2 cos 4 2 2 2 3 3 2cos cos 2 cos 4 2 2 3 cos 0 23 cos 2 2cos 0 22 4 cos 4 2 x x x x x x x x x x π π π π π     ⇔ + − = ÷  ÷       ⇔ − + = ÷    =   ⇔ + + = ⇔ ÷       + = − ÷   2 3 3 2 ; 2 2 k x x k k x k π π π π π π  = +   = + ∈   = +  ¢ 51 DB 2 B2007 sin 2 cos2 tan cot cos sin x x x x x x + = − (1) điều kiện :sin 2 0x ≠ (1) cos2 .cos sin 2 .sin sin cos sin cos cos sin x x x x x x x x x x + ⇔ = − 2 2 2 cos sin cos cos cos2 0 sin cos sin cos cos 1 ( ) 2cos cos 1 0 1 cos 2 x x x x x x x x x x L x x x − ⇔ = ⇔ + = = − ⇔ + − = ⇔  =  2 ; 3 x k k π π= ± + ∈¢ 52 DB1 D2007 2 2 sin cos 1 12 x x π  − = ÷   4 3 x k k x k π π π π  = + ∈  = +  ¢ 50
• 51. tập phương trình lượng giác- 1 2 sin 2 sin 1 sin 2 sin 12 12 12 12 2 sin sin sin 2sin cos 12 4 12 6 12 5 5 sin cos cos sin 12 12 2 12 12 x x x x π π π π π π π π π π π π π π      ⇔ − − = ⇔ − − = ÷  ÷         ⇔ − = + = ÷       ⇔ − = = − = ÷  ÷     5 2 2 12 12 7 2 2 12 12 x k x k π π π π π π  − = + ⇔   − = +  53 DB1 D2007 (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tanx x x− + = + (1) điều kiện : cos 0x ≠ (1) 2cos sin sin cos .(sin cos ) cos cos x x x x x x x x − + ⇔ + = ( ) 2 2 2 (cos sin )(sin cos ) cos sin (cos sin ) (cos sin )(cos sin ) 1 0 (cos sin )(cos sin 1) 0 cos sin 0 (cos sin )(cos2 1) 0 cos2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + = + ⇔ + − + − = ⇔ + − − = + = ⇔ + − = ⇔  = cos 0 4 4 2 2cos2 1 x x k x kx π π π π π     − = − = + ÷ ⇔ ⇔   = =  4 x k k x k π π π  = − + ∈  = ¢ 54 A2008 1 1 7 4sin x 3sin x 4 sin x 2 π  + = − ÷π   − ÷   (1) Điều kiện : sin 0x ≠ và 3 sin 0 2 x π  − ≠ ÷   (1) 1 1 2 2(sin cos ) sin cos x x x x ⇔ + = − + Chú ý : 3 sin cos 2 x x π  − = ÷   ( ) 7 1 sin sin sin cos 4 4 2 x x x x π π    − = − + = − + ÷  ÷     (1) 1 1 2 2(sin cos ) sin cos x x x x ⇔ + = − + ( ) sin cos 2 2(sin cos ) sin cos 1 (sin cos ) 2 2 0 sin cos sin cos 0 1 2 sin 2 2 sin cos 0 2 sin 2 sin 2 sin 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x π + ⇔ = − +   ⇔ + + = ÷   + =  +  ⇔ + = ⇔ ÷   ÷ = − = − ÷     4 ; 8 5 8 x k x k k x k π π π π π π  = − +   = − + ∈    = +  ¢ 51
• 52. tập phương trình lượng giác- 55 B2008 3 3 2 2 sin x 3 cos x sin x cos x 3sin xcos x− = − 2 2 2 2 sin (cos sin ) 3 cos (cos sin ) 0 cos2 (sin 3 cos ) 0 cos2 0 cos2 0 sin 0sin 3 cos 0 3 x x x x x x x x x x x xx x π ⇔ − + − = ⇔ + = = = ⇔ ⇔   + =+ =  ÷    4 2 3 k x k x k π π π π  = + ∈  = − +  ¢ 56 D2008 ( )2sin x 1 cos2x sin 2x 1 2cos x+ + = + 2 4sin cos sin 2 1 2cos sin 2 (2cos 1) (1 2cos ) 0 (2cos 1)(sin 2 1) 0 1 2cos 1 cos 2 sin 2 1 sin 2 1 x x x x x x x x x x x x x ⇔ + = + ⇔ + − + = ⇔ + − =  = − = − ⇔ ⇔ = = 2 2 3 4 x k k x k π π π π  = ± + ∈  = +  ¢ 57 CĐ 2008 sin3x 3 cos3x 2sin 2x− = 1 3 sin3 cos3 sin 2 2 2 3 2 2 3 sin 3 sin 2 3 3 2 2 3 x x x x x k x x k x x k π π π π π π ⇔ − =  − = +  ⇔ − = ⇔ ∈ ÷    − = − +  ¢ 2 3 4 2 15 5 x k k k x π π π π  = + ∈  = +  ¢ 58 DB 1 A2008 2 tan cot 4cos 2x x x= + (1) điều kiện :sin 2 0x ≠ (1) 2cos sin 4cos 2 0 sin cos x x x x x ⇔ − + = 2 cos2 2cos 2 sin 2 0 cos2 sin 4 .cos2 0 2 cos2 0 2cos2 (1 sin 4 ) 0 sin 4 1 4 2 4 x x x x x x x k x x x x x k π π π π ⇔ + = ⇔ + =  = += ⇔ + = ⇔ ⇔  = −  = − +  4 2 8 2 k x k k x π π π π  = + ∈  = − +  ¢ 59 DB 2 A2008 2 sin 2 sin 4 4 2 x x π π    − = − + ÷  ÷     2 3 4 x k k x k π π π π  = ± + ∈  = +  ¢ 52
• 53. tập phương trình lượng giác- ( ) ( ) 2 1 1 sin 2 cos2 sin cos 1 2 2 sin 2 sin (1 cos2 ) cos 0 sin (2cos 1) 2cos cos 0 sin (2cos 1) cos (2cos 1) 0 (2cos 1)(sin cos ) 0 1 cos 2cos 1 0 2 sin cos 0 sin 0 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π ⇔ − = − + ⇔ − − + + = ⇔ − − + = ⇔ − − − = ⇔ − − =  =− = ⇔ ⇔ − =   − = ÷   60 DB 1 B2008 1 2sin sin 2 3 6 2 x x π π    + − − = ÷  ÷     ( ) ( ) 2 3 1 1 sin 3 cos sin 2 cos2 2 2 2 1 2sin 1 sin 3 cos 3sin cos 2 2 3 cos 1 sin sin 1 sin 0 (1 sin )( 3 cos sin ) 0 2 sin 1 2 3 cos sin 0 sin 0 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x k x x x x π π π   ⇔ + − − = ÷ ÷   − ⇔ + − + = ⇔ − + − = ⇔ − + =  = += ⇔ ⇔  + =  + = ÷   3 2 2 x k k x k π π π π  = − + ∈  = +  ¢ 61 DB 2 B2008 2 3sin cos2 sin 2 4sin cos 2 x x x x x+ + = 2 1 cos 3sin cos2 sin 2 4sin 2 3sin cos2 sin 2 2sin sin 2 cos2 sin 0 2sin sin 1 0 sin 1 1 sin sin 2 6 x x x x x x x x x x x x x x x x π +  ⇔ + + =  ÷   ⇔ + + = + ⇔ + = ⇔ − − = = ⇔   = − = − ÷   2 2 2 ; 6 7 2 6 x k x k k x k π π π π π π  = +   = − + ∈    = +  ¢ 62 DB 1 D2008 ( )4 4 4 sin cos cos4 sin 2 0x x x x+ + + = 2 2 2 sin 2 4 1 1 2sin 2 sin 2 0 2 sin 2 1 4sin 2 sin 2 5 0 5 sin 2 ( ) 4 x x x x x x x L   ⇔ − + − + = ÷   = − ⇔ − − = ⇔  =  ; 4 x k k π π= − + ∈¢ 53
• 54. tập phương trình lượng giác- 63 DB 2 D2008 2 2 tan tan 2 sin tan 1 2 4 x x x x π+   = + ÷ +   (1) điều kiện : cos 0x ≠ (1) ( ) 2 2 tan tan 1 sin cos tan 1 2 x x x x x + ⇔ = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2cos tan tan sin cos sin sin cos 2cos sin cos cos 2sin sin cos sin cos 0 sin cos 2sin 1 0 sin 0 sin cos 0 4 2sin 1 1 sin cos 2 6 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π π ⇔ + = +  + ⇔ = + ÷   ⇔ + − + = ⇔ + − =    + = ÷+ =  ⇔ ⇔ =  = = 4 2 ; 6 5 2 6 x k x k k x k π π π π π π  = − +   = + ∈    = +  ¢ 64 A2009 (1 2sinx)cosx 3 (1 2sinx)(1 sinx) − = + − (1) điều kiện : sin 1 1 sin 2 x x ≠   ≠ − (1) ( )1 2sin cos 3(1 sin 2 )(1 sin )x x x x⇔ − = + − ( ) ( ) 2 cos sin 2 3 1 sin 2sin cos sin 2 3 cos2 sin cos 3sin sin 2 3 cos2 1 3 1 3 cos sin sin 2 cos2 2 2 2 2 2 2 6 3 cos cos 2 3 6 2 2 6 3 2 2 2 18 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x k x x x x k x k k k x π π π π π π π π π π π π ⇔ − = + − ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ − = +  − = + +    ⇔ + = − ⇔  ÷  ÷      − = − − +   = + ⇔ ∈  = − +  ¢ 2 18 3 k x π π = − + ; k ∈¢ 65 B2009 ( )3 sin x cos xsin 2x 3 cos3x 2 cos4x sin x+ + = + ( )2 sin 1 2sin cos sin 2 3 cos3 2cos4 sin cos2 cos sin 2 3 cos3 2cos4 1 3 sin3 3 cos3 2cos4 sin3 cos3 cos4 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + + = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ + = 4 3 2 6 cos 3 cos4 6 4 3 2 6 x x k x x x x k π π π π π  = − +  ⇔ − = ⇔  ÷    = − + +  2 6 2 42 7 x k k k x π π π π  = − + ∈  = +  ¢ 54
• 55. tập phương trình lượng giác- 66 D2009 3 cos5x 2sin3x cos2x sin x 0− − = ( )3 cos5 sin5 sin sin 0 3 1 3 cos5 sin5 2sin cos5 sin5 sin 2 2 5 2 6 2 3 3 sin 5 sin 2 23 5 2 4 2 3 3 x x x x x x x x x x x x k x k x x x x k x k π π π π π π π π π ⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − =   = − + = +   ⇔ − = ⇔ ⇔  ÷    = + + − = +    6 2 18 3 k x k k x π π π π  = − − ∈  = +  ¢ 67 CĐ 2009 2 (1 2sin x) cos x 1 sin x cos x+ = + + ( ) ( ) 2 2 (1 4sin 4sin )cos 1 sin cos cos 2sin 2 4sin cos 1 sin cos 0 1 sin 2 sin 2sin 2 1 sin 2sin 2 1 0 2 6 sin 1 x x x x x x x x x x x x x x x x π ⇔ + + = + + ⇔ + + − − − =  = =⇔ − + − = ⇔  = − 2 2 ; 12 5 12 x k x k k x k π π π π π π  = − +   = + ∈    = +  ¢ 55