Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN 11Dạng 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng [α] và [β]Phương pháp : • Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng [α] và [β]• Đường thẳng đi qua hai điểm chung ấy là giao tuyến cần tìm Chú ý : Để tìm chung của [α] và [β] thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lầnlượt nằm trong hai mp giao điểm nếu có của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳngBài tập : 1. Trong mặt phẳng [α] cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và điểm ][α∉S. a. Xác định giao tuyến của ][SACvà [SBD]b. Xác định giao tuyến của [SAB] và [SCD]c. Xác định giao tuyến của [SAD] và [SBC]Giải a. Xác định giao tuyến của [SAC] và [SBD]Ta có : S là điểm chung của [SAC] và [SBD]Trong [α], gọi O = AC ∩ BD • O ∈ AC mà AC ⊂ [SAC] ⇒ O ∈ [SAC] • O ∈ BD mà BD ⊂ [SBD] ⇒ O ∈ [SBD] ⇒ O là điểm chung của [SAC] và [SBD] Vậy : SO là giao tuyến của [SAC] và [SBD] b. Xác định giao tuyến của [SAB] và [SCD]Ta có: S là điểm chung của [SAC] và [SBD]Trong [α] , AB không song song với CDGọi I = AB ∩ CD • I ∈ AB mà AB ⊂ [SAB] ⇒ I ∈ [SAB] • I ∈ CD mà CD ⊂ [SCD] ⇒ I ∈ [SCD]⇒ I là điểm chung của [SAB] và [SCD]Vậy : SI là giao tuyến của [SAB] và [SCD]c. Tương tự câu a, b 2. Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc một mặt phẳng .Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC. Tìm giao tuyến của [ BCD] và [ MNP] Giải • P ∈ BD mà BD ⊂ [ BCD] ⇒ P ∈ [ BCD] • P ∈ [ MNP]⇒ P là điểm chung của [ BCD] và [ MNP] Trong mp [ABC] , gọi E = MN ∩ BC • E ∈ BC mà BC ⊂ [ BCD] ⇒ E ∈ [ BCD] • E ∈ MN mà MN ⊂ [ MNP] ⇒ E ∈ [ MNP] ⇒ E là điểm chung của [ BCD] và [ MNP]Vậy : PE là giao tuyến của [ BCD] và [ MNP] 3. Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mp [ABC ] , một điểm I thuộc đoạn SA .Một đường thẳng a không song song với AC cắt các cạnh AB, BC theo thứ tự tại J , K. Tìm giao tuyến của các cặp mp sau :a. mp [ I,a] và mp [SAC ] b. mp [ I,a] và mp [SAB ] c. mp [ I,a] và mp [SBC ]Giảia. Tìm giao tuyến của mp [ I,a] với mp [SAC ] :Ta có:• I∈ SA mà SA ⊂ [SAC ] ⇒ I ∈ [SAC ]• I∈[ I,a]⇒ I là điểm chung của hai mp [ I,a] và [SAC ] Trong [ABC ], a không song song với ACGọi O = a ∩ AC Trang 1aAbβαkSIDOBCAJCBENDPMALABJCKOISBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11• O ∈ AC mà AC ⊂ [SAC ] ⇒ O ∈ [SAC ] • O ∈ [ I,a] ⇒ O là điểm chung của hai mp [ I,a] và [SAC ] Vậy : IO là giao tuyến của hai mp [ I,a] và [SAC ] b. Tìm giao tuyến của mp [ I,a] với mp [SAB] : là JI c. Tìm giao tuyến của mp [ I,a] với mp [SBC ]Ta có : K là điểm chung của hai mp [ I,a] và mp [SBC ] Trong mp [SAC] , gọi L = IO ∩ SC• L ∈ SC mà SC ⊂ [SBC ] ⇒ L ∈ [SBC ] • L ∈ IO mà IO ⊂ [ I,a] ⇒ L ∈ [ I,a ] ⇒ L là điểm chung của hai mp [ I,a] và [SBC ] Vậy: KL là giao tuyến của hai mp [ I,a] và [SBC ] 4. Cho bốn điểm A ,B ,C , D không cùng nằm trong một mpa. Chứng minh AB và CD chéo nhaub. Trên các đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD tại I . Hỏi điểm I thuộc những mp nào .Xđ giao tuyến của hai mp [CMN] và [ BCD]Giải a. Chứng minh AB và CD chéo nhau :Giả sử AB và CD không chéo nhau Do đó có mp [α] chứa AB và CD⇒ A ,B ,C , D nằm trong mp [α] mâu thuẩn giả thuyết Vậy : AB và CD chéo nhaub. Điểm I thuộc những mp : • I ∈ MN mà MN ⊂ [ABD ] ⇒ I ∈ [ABD ]• I ∈ MN mà MN ⊂ [CMN ] ⇒ I ∈ [CMN ]• I ∈ BD mà BD ⊂ [BCD ] ⇒ I ∈ [BCD ] Xđ giao tuyến của hai mp [CMN] và [ BCD] là CI5. Cho tam giác ABC nằm trong mp [ P] và a là mộtđường thẳng nằm trong mp [ P] và không song song với AB và AC . S là một điểm ở ngoài mặt phẳng [ P] và A’ là một điểm thuộc SA .Xđ giao tuyến của các cặp mp saua. mp [A’,a] và [SAB]b. mp [A’,a] và [SAC]c. mp [A’,a] và [SBC] Giảia. Xđ giao tuyến của mp [A’,a] và [SAB]• A’ ∈ SA mà SA ⊂ [ SAB] ⇒ A’∈ [ SAB] • A’ ∈ [ A’,a] ⇒ A’ là điểm chung của [ A’,a] và [SAB ] Trong [ P] , ta có a không song song với AB Gọi E = a ∩ AB • E ∈ AB mà AB ⊂ [SAB ] ⇒ E ∈ [SAB ] • E ∈ [ A’,a]⇒ E là điểm chung của [ A’,a] và [SAB ]Vậy: A’E là giao tuyến của [ A’,a] và [SAB ]b. Xđ giao tuyến của mp [A’,a] và [SAC]• A’ ∈ SA mà SA ⊂ [ SAC] ⇒ A’∈ [ SAC]• A’ ∈ [ A’,a]⇒ A’ là điểm chung của [ A’,a] và [SAC ] Trong [ P] , ta có a không song song với ACGọi F = a ∩ AC• F∈ AC mà AC ⊂ [SAC ] ⇒ F ∈ [SAC ]• E ∈ [ A’,a]⇒ F là điểm chung của [ A’,a] và [SAC ]Vậy: A’F là giao tuyến của [ A’,a] và [SAC ]c. Xđ giao tuyến của [A’,a] và [SBC]Trong [SAB ] , gọi M = SB ∩ A’E• M ∈ SB mà SB ⊂ [ SBC] ⇒ M∈ [ SBC]• M ∈ A’E mà A’E ⊂ [ A’,a] ⇒ M∈ [ A’,a]Trang 2MICBDNAFaPEBCNMAA'SBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11⇒ M là điểm chung của mp [ A’,a] và [SBC ] Trong [SAC ] , gọi N = SC ∩ A’F• N ∈ SC mà SC ⊂ [ SBC] ⇒ N∈ [ SBC]• N ∈ A’F mà A’F ⊂ [ A’,a] ⇒ N∈ [ A’,a]⇒ N là điểm chung của mp [ A’,a] và [SBC ] Vậy: MN là giao tuyến của [ A’,a] và [SBC ]6. Cho tứ diện ABCD , M là một điểm bên trong tam giác ABD , N là một điểm bên trong tamgiác ACD . Tìm giao tuyến của các cặp mp saua. [AMN] và [BCD]b. [DMN] và [ABC ]Giải a. Tìm giao tuyến của [AMN] và [BCD]Trong [ABD ] , gọi E = AM ∩ BD• E ∈ AM mà AM ⊂ [ AMN] ⇒ E∈ [ AMN]• E ∈ BD mà BD ⊂ [ BCD] ⇒ E∈ [ BCD]⇒ E là điểm chung của mp [ AMN] và [BCD ] Trong [ACD ] , gọi F = AN ∩ CD• F ∈ AN mà AN ⊂ [ AMN] ⇒ F∈ [ AMN] • F ∈ CD mà CD ⊂ [ BCD] ⇒ F∈ [ BCD] ⇒ F là điểm chung của mp [ AMN] và [BCD ] Vậy: EF là giao tuyến của mp [ AMN] và [BCD ]b. Tìm giao tuyến của [DMN] và [ABC]Trong [ABD ] , gọi P = DM ∩ AB• P ∈ DM mà DM ⊂ [ DMN] ⇒ P∈ [DMN ]• P ∈ AB mà AB ⊂ [ ABC] ⇒ P∈ [ABC]⇒ P là điểm chung của mp [ DMN] và [ABC ] Trong [ACD] , gọi Q = DN ∩ AC• Q ∈ DN mà DN ⊂ [ DMN] ⇒ Q∈ [ DMN]• Q ∈ AC mà AC ⊂ [ ABC] ⇒ Q∈ [ ABCA]⇒ Q là điểm chung của mp [ DMN] và [ABC ] Vậy: PQ là giao tuyến của mp [ DMN] và [ABC ]Dạng 2 : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng [α] Phương pháp : • Tìm đường thẳng b nằm trong mặt phẳng [α]• Giao điểm của a và b là giao đt a và mặt phẳng [α] Chú ý : Đường thẳng b thường là giao tuyến của mp [α] và mp [β] ⊃ aCần chọn mp [β] chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến củamp [α] và mp [β] dể xác định và giao tuyến không song song với đường thẳng aBài tập :1. Trong mp [α] cho tam giác ABC . Một điểm S không thuộc [α] . Trên cạnh AB lấy một điểm P và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MN không song song với AB .a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng [SPC ]b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng [α]Giải a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng [SPC ]Cách 1 : Trong [SAB] , gọi E = SP ∩ MN • E ∈ SP mà SP ⊂ [SPC] ⇒ E ∈[SPC]• E ∈ MNVậy : E = MN ∩ [SPC ] Cách 2 : • Chọn mp phụ [SAB] ⊃ MN• [ SAB] ∩ [SPC ] = SP• Trong [SAB], gọi E = MN ∩ SPE ∈ MN Trang 3BCEDFNMQPAbaAβαAMDBPECNSαBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11E ∈ SP mà SP ⊂ [SPC] Vậy : E = MN ∩ [SPC ] b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp [α] Cách 1: Trong [SAB] , MN không song song với ABGọi D = AB ∩ MN• D ∈ AB mà AB ⊂ [α] ⇒ D ∈[α] • D ∈ MNVậy: D = MN ∩ [α]Cách 2 : • Chọn mp phụ [SAB] ⊃ MN• [ SAB] ∩ [α] = AB• Trong [SAB] , MN không song song với ABGọi D = MN ∩ ABD ∈ AB mà AB ⊂ [α] ⇒ D ∈[α]D ∈ MNVậy : D = MN ∩ [α]2. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp [ABCD ]. Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C .Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng [ABM ]Giải• Chọn mp phụ [SBD] ⊃ SD• Tìm giao tuyến của hai mp [ SBD] và [ABM ] − Ta có B là điểm chung của [ SBD] và [ABM ]− Tìm điểm chung thứ hai của [ SBD] và [ABM ]Trong [ABCD ] , gọi O = AC ∩ BD Trong [SAC ] , gọi K = AM ∩ SO K∈ SO mà SO ⊂ [SBD] ⇒ K ∈[ SBD] K∈ AM mà AM ⊂ [ABM ] ⇒ K ∈[ ABM ]⇒ K là điểm chung của [ SBD] và [ABM ] ⇒ [ SBD] ∩ [ABM ] = BK • Trong [SBD] , gọi N = SD ∩ BK N∈ BK mà BK ⊂ [AMB] ⇒ N ∈[ABM]N ∈ SDVậy : N = SD ∩ [ABM]3. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp [ABCD ]. Trên đoạn AB lấy một điểm M ,Trên đoạn SC lấy một điểm N [ M , N không trùng với các đầu mút ] . a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng [SBD] b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng [SBD]Giảia. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng [SBD] • Chọn mp phụ [SAC] ⊃ AN • Tìm giao tuyến của [ SAC] và [SBD] Trong [ABCD] , gọi P = AC ∩ BD ⇒ [ SAC] ∩ [SBD] = SP • Trong [SAC], gọi I = AN ∩ SP I ∈ AN I ∈ SP mà SP ⊂ [SBD] ⇒ I ∈ [SBD] Vậy : I = AN ∩ [SBD]b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng [SBD]• Chọn mp phụ [SMC] ⊃ MN• Tìm giao tuyến của [ SMC ] và [SBD]Trong [ABCD] , gọi Q = MC ∩ BD⇒ [ SAC] ∩ [SBD] = SQ• Trong [SMC], gọi J = MN ∩ SQJ∈ MN J ∈ SQ mà SQ ⊂ [SBD] ⇒ J ∈ [SBD]Vậy: J = MN ∩ [SBD]4. Cho một mặt phẳng [α] và một đường thẳng m cắt mặt phẳng [α] tại C . Trên m ta lấy hai điểm A, B và một điểm S trong không gian . Biết giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng [α] Trang 4MADOCBSKNQACPDNIBMSBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11là điểm A’ . Hãy xác định giao điểm của đường thẳng SB và mặt phẳng [α]Giải • Chọn mp phụ [SA’C] ⊃ SB• Tìm giao tuyến của [ SA’C ] và [α] Ta có [ SA’C ] ∩ [α] = A’C• Trong [SA’C ], gọi B’ = SB ∩ A’CB’∈ SB mà SB ⊂ [SA’C ] ⇒ B’ ∈ [SA’C] B’ ∈ A’C mà A’C ⊂ [α] ⇒ B’ ∈ [α] Vậy : B’= SB ∩ [α] 5. Cho bốn điểm A, B , C, S không cùng ở trong một mặt phẳng . Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, AB .Trên SC lấy điểm K sao cho : CK = 3KS. Tìm giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng [ IHK ]Giải• Chọn mp phụ [ABC] ⊃ BC• Tìm giao tuyến của [ ABC ] và [IHK]Trong [SAC] ,có IK không song song với ACGọi E’ = AC ∩ IK⇒ [ ABC ] ∩ [ IHK] = HE’• Trong [ABC ], gọi E = BC ∩ HE’E ∈ BC mà BC ⊂ [ ABC] ⇒ E ∈ [ ABC] E ∈ HE’ mà HE’ ⊂ [ IHK] ⇒ E ∈ [ IHK] Vậy: E = BC ∩ [ IHK]6. Cho tứ diện SABC .Gọi D là điểm trên SA , E là điểm trên SB và F là điểm trên AC [ DE và ABkhông song song ] .a. Xđ giao tuyến của hai mp [DEF] và [ ABC ]b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng [ DEF ] c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng [ DEF ]Giải a. Xđ giao tuyến của hai mp [DEF] và [ ABC ]Ta có : F là điểm chung của hai mặt phẳng [ABC] và [DEF]Trong [SAB] , AB không song song với DEGọi M = AB ∩ DE • M ∈ AB mà AB ⊂ [ABC] ⇒ M ∈ [ABC] • M ∈ DE mà DE ⊂ [DEF] ⇒ M ∈ [DEF]⇒ M là điểm chung của hai mặt phẳng [ABC] và [DEF] Vậy: FM là giao tuyến của hai mặt phẳng [ABC] và [DEF]b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng [ DEF ]• Chọn mp phụ [ABC] ⊃ BC• Tìm giao tuyến của [ ABC ] và [DEF]Ta có [ABC] ∩ [DEF] = FM hình 1• Trong [ABC], gọi N = FM ∩ BCN∈ BC N ∈ FM mà FM ⊂ [DEF] ⇒ N ∈ [DEF]Vậy: N = BC ∩ [DEF]c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng [ DEF ]• Chọn mp phụ [SBC] ⊃ SC• Tìm giao tuyến của [ SBC ] và [DEF]Ta có: E là điểm chung của [ SBC ] và [DEF]ο N ∈ BC mà BC ⊂ [SBC] ⇒ N ∈ [SBC] ο N ∈ FM mà FM ⊂ [DEF] ⇒ N ∈ [DEF]⇒ N là điểm chung của [ SBC ] và [DEF]Ta có [SBC] ∩ [DEF] = EN• Trong [SBC], gọi K = EN ∩ SCK∈ SC K ∈ EN mà EN ⊂ [DEF] ⇒ K ∈ [DEF] hình 2Vậy: K = SC ∩ [DEF]7. Cho hình chóp S.ABCD .Gọi O là giao điểm của AC và BD . M, N, P lần lượt là các điểm trên Trang 5NKAMEDFCBSEE'KACBHISABSmCB'A'αNMFEKDCBASBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11SA, SB ,SD.a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng [ MNP ]b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng [ MNP ]Giải a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng [ MNP ]• Chọn mp phụ [SBD] ⊃ SO• Tìm giao tuyến của [ SBD ] và [MNP]Ta có N ∈ MN mà MN ⊂ [MNP] ⇒ N ∈ [MNP] N ∈ SB mà SB ⊂ [SBD] ⇒ N ∈ [SBD] ⇒ N là điểm chung của [ SBD ] và [MNP]P ∈ MP mà MN ⊂ [MNP] ⇒ P ∈ [MNP] P ∈ SD mà SD ⊂ [SBD] ⇒ P ∈ [SBD] ⇒ P là điểm chung của [ SBD ] và [MNP]⇒ [MNP] ∩ [SBD] = NP• Trong [SBD], gọi I = SO ∩ NP I ∈ SOI ∈ NP mà NP ⊂ [MNP] ⇒ I ∈ [MNP] Vậy: I = SO ∩ [MNP]b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng [ MNP ]• Chọn mp phụ [SAC] ⊃ SC• Tìm giao tuyến của [ SAC ] và [MNP]Ta có M ∈ MN mà MN ⊂ [MNP] ⇒ M ∈ [MNP] M ∈ SA mà SA ⊂ [SAC] ⇒ M ∈ [SAC]⇒ M là điểm chung của [ SAC ] và [MNP]I ∈ MI mà MI ⊂ [MNP] ⇒ I ∈ [MNP] I ∈ SO mà SO ⊂ [SAC] ⇒ I ∈ [SAC]⇒ I là điểm chung của [ SAC ] và [MNP]⇒ [ SAC] ∩ [SBD] = MI• Trong [SAC], gọi Q = SC ∩ MIQ∈ SC Q∈ MI mà MI ⊂ [MNP] ⇒ Q ∈ [MNP]Vậy: Q = SC ∩ [MNP]8. Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC và BC . K là điểm trên BD và không trùng với trung điểm BD .a. Tìm giao điểm của CD và [MNK ]b. Tìm giao điểm của AD và [MNK ]Giải a. Tìm giao điểm của CD và [MNK ] :• Chọn mp phụ [BCD] ⊃ SC• Tìm giao tuyến của [ BCD ] và [MNK]Ta có N ∈ [MNK] N ∈ BC mà BC ⊂ [BCD] ⇒ N ∈ [BCD] ⇒ N là điểm chung của [BCD ] và [MNK]K ∈ [MNK] K ∈ BD mà BD ⊂ [BCD] ⇒ K ∈ [BCD]⇒ K là điểm chung của [BCD ] và [MNK]⇒ [BCD] ∩ [MNK] = NK• Trong [BCD], gọi I = CD ∩ NKI∈ CD I∈ NK mà NK ⊂ [MNK] ⇒ I ∈ [MNK]Vậy: I = CD ∩ [MNK]b. Tìm giao điểm của AD và [MNK ]• Chọn mp phụ [ACD] ⊃ AD• Tìm giao tuyến của [ACD ] và [MNK]Ta có: M ∈ [MNK] M ∈ AC mà AC ⊂ [ACD] ⇒ M ∈ [ACD]⇒ M là điểm chung của [ACD ] và [MNK]I∈ NK mà NK ⊂ [MNK] ⇒ I ∈ [MNK]Trang 6IQPNMODCBASJIBDCNKMABài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11I ∈ CD mà CD ⊂ [ACD] ⇒ I ∈ [ACD]⇒ I là điểm chung của [ACD ] và [MNK]⇒ [ACD] ∩ [MNK] = MI• Trong [BCD], gọi J = AD ∩ MIJ∈ AD J∈ MI mà MI ⊂ [MNK] ⇒ J ∈ [MNK]Vậy: J = AD ∩ [MNK]9. Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N là hai điểm trên AC và AD . O là điểm bên trong tamgiác BCD.Tìm giao điểm của :a. MN và [ABO ]b. AO và [BMN ]Giải a. Tìm giao điểm của MN và [ABO ]:• Chọn mp phụ [ACD] ⊃ MN• Tìm giao tuyến của [ACD ] và [ABO]Ta có : A là điểm chung của [ACD ] và [ABO]Trong [BCD], gọi P = BO ∩ DCP∈ BO mà BO ⊂ [ABO] ⇒ P ∈ [ABO] P∈ CD mà CD ⊂ [ACD] ⇒ P ∈ [ACD]⇒ P là điểm chung của [ACD ] và [ABO]⇒ [ACD] ∩ [ABO] = AP • Trong [ACD], gọi Q = AP ∩ MNQ∈ MN Q∈ AP mà AP ⊂ [ABO] ⇒ Q ∈ [ABO]Vậy: Q = MN ∩ [ABO]b. Tìm giao điểm của AO và [BMN ] :• Chọn mp [ABP] ⊃ AO• Tìm giao tuyến của [ABP ] và [BMN]Ta có : B là điểm chung của [ABP ] và [BMN]Q ∈ MN mà MN ⊂ [BMN] ⇒ Q ∈ [BMN]Q ∈ AP mà AP ⊂ [ABP] ⇒ Q ∈ [ABP]⇒ Q là điểm chung của [ABP ] và [BMN]⇒ [ABP] ∩ [BMN] = BQ• Trong [ABP], gọi I = BQ ∩ AOI∈ AO I∈ BQ mà BQ ⊂ [BMN] ⇒ I ∈ [BMN]Vậy: I = AO ∩ [BMN]10. Trong mp [α] cho hình thang ABCD , đáy lớn AB . Gọi I ,J, K lần lượt là các điểm trên SA, AB, BC [ K không là trung điểm BC] . Tìm giao điểm của :a. IK và [SBD]b. SD và [IJK ]c. SC và [IJK ]Giải a. Tìm giao điểm của IK và [SBD]• Chọn mp phụ [SAK] ⊃ IK• Tìm giao tuyến của [SAK ] và [SBD]Ta có : S là điểm chung của [SAK ] và [SBD]Trong [ABCD], gọi P = AK ∩ BDP ∈ AK mà AK ⊂ [SAK] ⇒ P ∈ [SAK]P ∈ BD mà BD ⊂ [SBD] ⇒ P ∈ [SBD]⇒ P là điểm chung của [SAK ] và [SBD]⇒ [SAK] ∩ [SBD] = SP• Trong [SAK], gọi Q = IK ∩ SPQ ∈ IK Q ∈ SP mà SP ⊂ [SBD] ⇒ Q ∈ [SBD]Vậy: Q = IK ∩ [SBD]b. Tìm giao điểm của SD và [IJK ] :• Chọn mp phụ [SBD] ⊃ SD• Tìm giao tuyến của [SBD ] và [IJK]Trang 7OQPNMICDBANFMQPKJICBDASBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11Ta có : Q là điểm chung của [IJK ] và [SBD]Trong [ABCD], gọi M = JK ∩ BDM ∈ JK mà JK ⊂ [ IJK] ⇒ M ∈ [IJK]M ∈ BD mà BD ⊂ [SBD] ⇒ M ∈ [SBD]⇒ M là điểm chung của [IJK ] và [SBD]⇒ [IJK] ∩ [SBD] = QM• Trong [SBD], gọi N = QM ∩ SDN ∈ SD N ∈ QM mà QM ⊂ [IJK] ⇒ N ∈ [IJK]Vậy: N = SD ∩ [IJK]c. Tìm giao điểm của SC và [IJK ] :• Chọn mp phụ [SAC] ⊃ SC• Tìm giao tuyến của [SAC ] và [IJK]Ta có : I là điểm chung của [IJK ] và [SAC]Trong [ABCD], gọi E = AC ∩ JKE ∈ JK mà JK ⊂ [ IJK] ⇒ E ∈ [ IJK]E ∈ AC mà AC ⊂ [SAC] ⇒ E ∈ [SAC]⇒ E là điểm chung của [IJK ] và [SAC]⇒ [ IJK] ∩ [SAC] = IE• Trong [SAC], gọi F = IE ∩ SCF ∈ SC F ∈ IE mà IE ⊂ [ IJK] ⇒ F ∈ [ IJK]Vậy : F = SC ∩ [ IJK ]11.Cho tứ diện ABCD . Trên AC và AD lấy hai điểm M,N sao cho MN không song song với CD.Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.a. Tìm giao tuyến của [OMN ] và [BCD ]b. Tìm giao điểm của BC với [OMN]c. Tìm giao điểm của BD với [OMN]Giảia. Tìm giao tuyến của [OMN ] và [BCD ]:Ta có : O là điểm chung của [OMN ] và [BCD ]Trong [ACD] , MN không song song CDGọi I = MN ∩ CD⇒ I là điểm chung của [OMN ] và [BCD ]Vậy : OI = [OMN ] ∩ [BCD ]b. Tìm giao điểm của BC với [OMN]:Trong [BCD], gọi P = BC ∩ OIVậy : P = BC ∩ [ OMN ]c. Tìm giao điểm của BD với [OMN]:Trong [BCD], gọi Q = BD ∩ OIVậy : Q = BD ∩ [ OMN ]12.Cho hình chóp S.ABCD . Trong tam giác SBC lấy điểm M trong tam giác SCD lấy điểm Na. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng [SAC]b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng [AMN] Giảia. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng [SAC] : • Chọn mp phụ [SMN] ⊃ MN• Tìm giao tuyến của [SAC ] và [SMN]Ta có : S là điểm chung của [SAC ] và [SMN]Trong [SBC], gọi M’ = SM ∩ BCTrong [SCD], gọi N’ = SN ∩ CDTrong [ABCD], gọi I = M’N’ ∩ ACI ∈ M’N’ mà M’N’ ⊂ [SMN] ⇒ I ∈ [ SMN]I ∈ AC mà AC ⊂ [SAC] ⇒ I ∈ [SAC]⇒ I là điểm chung của [SMN ] và [SAC]⇒ [ SMN] ∩ [SAC] = SI• Trong [SMN], gọi O = MN ∩ SITrang 8PIQOMDNCBAMNBCN'EDM'IOASBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11O ∈ MN O ∈ SI mà SI ⊂ [ SAC] ⇒ O ∈ [ SAC]Vậy : O = MN ∩ [ SAC ]b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng [AMN] :• Chọn mp phụ [SAC] ⊃ SC• Tìm giao tuyến của [SAC ] và [AMN]Ta có : [ SAC] ∩ [AMN] = AO• Trong [SAC], gọi E = AO ∩ SCE ∈ SC E ∈ AO mà AO ⊂ [ AMN] ⇒ E ∈ [ AMN]Vậy : E = SC ∩ [ AMN ]Dạng 3 : Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp : • Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mp phân biệt • Khi đó ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mpBài tập :1. Cho hình bình hành ABCD . S là điểm không thuộc [ABCD] ,M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC . a. Xác định giao điểm I = AN ∩ [SBD] b. Xác định giao điểm J = MN ∩ [SBD] c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng Giải a. Xác định giao điểm I = AN ∩ [SBD ] • Chọn mp phụ [SAC] ⊃ AN• Tìm giao tuyến của [SAC ] và [SBD]⇒ [ SAC] ∩ [SBD] = SO• Trong [SAC], gọi I = AN ∩ SOI ∈ AN I ∈ SO mà SO ⊂ [ SBD] ⇒ I ∈ [ SBD]Vậy: I = AN ∩ [ SBD]b. Xác định giao điểm J = MN ∩ [SBD] • Chọn mp phụ [SMC] ⊃ MN• Tìm giao tuyến của [SMC ] và [SBD]S là điểm chung của [SMC ] và [SBD]Trong [ABCD] , gọi E = MC ∩ BD⇒ [ SAC] ∩ [SBD] = SE• Trong [SMC], gọi J = MN ∩ SEJ∈ MN J∈ SE mà SE ⊂ [ SBD] ⇒ J ∈ [ SBD]Vậy J = MN ∩ [ SBD]c. Chứng minh I , J , B thẳng hàngTa có : B là điểm chung của [ANB] và [ SBD]• I ∈ SO mà SO ⊂ [ SBD] ⇒ I ∈ [ SBD]• I ∈ AN mà AN ⊂ [ANB] ⇒ I ∈ [ANB]⇒ I là điểm chung của [ANB] và [ SBD]• J ∈ SE mà SE ⊂ [ SBD] ⇒ J∈ [ SBD]• J ∈ MN mà MN ⊂ [ANB] ⇒ J ∈ [ANB]⇒ J là điểm chung của [ANB] và [ SBD]Vậy : B , I , J thẳng hàng 2. Cho tứ giác ABCD và S ∉ [ABCD]. Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB , AD cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M .a. Tìm giao điểm K = IJ ∩ [SAC] b. Xác định giao điểm L = DJ ∩ [SAC] c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Giảia. Tìm giao điểm K = IJ ∩ [SAC] • Chọn mp phụ [SIB] ⊃ IJ Trang 9IJEABCMNDSOMKFELADCBOJISJEIOSCNMBADBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11• Tìm giao tuyến của [SIB ] và [SAC]S là điểm chung của [SIB ] và [SAC]Trong [ABCD] , gọi E = AC ∩ BI⇒ [SIB] ∩ [ SAC] = SE • Trong [SIB], gọi K = IJ ∩ SEK∈ IJ K∈ SE mà SE ⊂ [SAC ] ⇒ K ∈ [SAC]Vậy: K = IJ ∩ [ SAC]b. Xác định giao điểm L = DJ ∩ [SAC]• Chọn mp phụ [SBD] ⊃ DJ • Tìm giao tuyến của [SBD ] và [SAC]S là điểm chung của [SBD ] và [SAC]Trong [ABCD] , gọi F = AC ∩ BD⇒ [SBD] ∩ [ SAC] = SF • Trong [SBD], gọi L = DJ ∩ SFL∈ DJ L∈ SF mà SF ⊂ [SAC ] ⇒ L ∈ [SAC]Vậy : L = DJ ∩ [ SAC]c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàngTa có :A là điểm chung của [SAC] và [ AJO]• K ∈ IJ mà IJ ⊂ [AJO] ⇒ K∈ [AJO]• K ∈ SE mà SE ⊂ [SAC ] ⇒ K ∈ [SAC ]⇒ K là điểm chung của [SAC] và [ AJO]• L ∈ DJ mà DJ ⊂ [AJO] ⇒ L ∈ [AJO]• L ∈ SF mà SF ⊂ [SAC ] ⇒ L ∈ [SAC ]⇒ L là điểm chung của [SAC] và [ AJO]• M ∈ JO mà JO ⊂ [AJO] ⇒ M ∈ [AJO]• M ∈ SC mà SC ⊂ [SAC ] ⇒ M ∈ [SAC ]⇒ M là điểm chung của [SAC] và [ AJO]Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng3. Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LMkhông song song với AB, LN không song song với SC.a. Tìm giao tuyến của mp [LMN] và [ABC]b. Tìm giao điểm I = BC ∩ [ LMN] và J = SC ∩ [ LMN]c. Chứng minh M , I , J thẳng hàngGiảia. Tìm giao tuyến của mp [LMN] và [ABC]Ta có : N là điểm chung của [LMN] và [ABC]Trong [SAB] , LM không song song với ABGọi K = AB ∩ LMK ∈ LM mà LM ⊂ [LMN ] ⇒ K ∈ [LMN ]K ∈ AB mà AB ⊂ [ ABC] ⇒ K ∈ [ ABC]b. Tìm giao điểm I = BC ∩ [ LMN]• Chọn mp phụ [ABC] ⊃ BC • Tìm giao tuyến của [ABC ] và [LMN]⇒ [ABC] ∩ [ LMN] = NK • Trong [ABC], gọi I = NK ∩ BCI∈ BC I∈ NK mà NK ⊂ [LMN ] ⇒ I ∈ [LMN]Vậy : I = BC ∩ [ LMN]Tìm giao điểm J = SC ∩ [ LMN] • Trong [SAC], LN không song song với SCgọi J = LN ∩ SCJ∈ SC J∈ LN mà LN ⊂ [LMN ] ⇒ J ∈ [LMN]Vậy : J = SC ∩ [ LMN]c. Chứng minh M , I , J thẳng hàngTrang 10KJISCMLNBABài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11Ta có : M , I , J là điểm chung của [LMN] và [ SBC]Vậy : M , I , J thẳng hàng4. Cho tứ giác ABCD và S ∉ [ABCD]. Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD.a. Tìm giao điểm I = BN ∩ [ SAC] b. Tìm giao điểm J = MN ∩ [ SAC]c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng Giải a. Tìm giao điểm I = BN ∩ [ SAC]• Chọn mp phụ [SBD] ⊃ BN • Tìm giao tuyến của [SBD ] và [SAC]Trong [ABCD], gọi O = AC ∩ BD⇒ [SBD] ∩ [ SAC] = SO • Trong [SBD], gọi I = BN ∩ SOI∈ BN I∈ SO mà SO ⊂ [SAC ] ⇒ I ∈ [SAC]Vậy : I = BN ∩ [ SAC]b. Tìm giao điểm J = MN ∩ [ SAC] : • Chọn mp phụ [SMD] ⊃ MN • Tìm giao tuyến của [SMD ] và [SAC]Trong [ABCD], gọi K = AC ∩ DM⇒ [SMD] ∩ [ SAC] = SK • Trong [SMD], gọi J = MN ∩ SKJ ∈ MN J ∈ SK mà SK ⊂ [SAC ] ⇒ J ∈ [SAC]Vậy : J = MN ∩ [ SAC]c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng :Ta có : C , I , J là điểm chung của [BCN ] và [SAC]Vậy : C , I , J thẳng hàngDạng 4 : Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng [α ] : Chú ý : Mặt phẳng [α ] có thể chỉ cắt một số mặt của hình chópCách 1 : Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến Bài tập : 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O .Gọi M, N , I là ba điểm lấy trên AD , CD , SO .Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng [MNI]Giải Trong [ABCD], gọi J = BD ∩ MNK = MN ∩ ABH = MN ∩ BCTrong [SBD], gọi Q = IJ ∩ SBTrong [SAB], gọi R = KQ ∩ SATrong [SBC], gọi P = QH ∩ SCVậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N , P lần lượtlà trung điểm lấy trên AB , AD và SC . Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng [MNP]GiảiTrong [ABCD] , gọi E = MN ∩ DCF = MN ∩ BCTrong [SCD] , gọi Q = EP ∩ SDTrong [SBC] , gọi R = FP ∩ SBVậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR3. Cho tứ diện ABCD . Gọi H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC . Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD . Tìm thiết diện của tứ diện với mp [HKM ]. Xét 2 .trường hợp :a. M ở giữa C và Db. M ở ngoài đoạn CDGiải Trang 11RHSAOJNMDCBQIPKOJKIMNADCBSNQFREBCDMPASBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11a. M ở giữa C và D : Ta có : HK , KM là đoạn giao tuyến của [HKM] với [ABC] và [BCD]Trong [BCD], gọi L = KM ∩ BDTrong [ABD], gọi N = AD ∩ HLVậy : thiết diện là tứ giác HKMNb. M ở ngoài đoạn CD: Trong [BCD], gọi L = KM ∩ BDVậy : thiết diện là tam giác HKL4. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm lấy trên AD và DC .Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng [MNE]GiảiTrong [SCD], gọi Q = EN ∩ SCTrong [SAD], gọi P = EM ∩ SATrong [ABCD], gọi F = MN ∩ BCTrong [SBC], gọi R = FQ ∩ SBVậy : thiết diện là ngũ giác MNQRPCách 2 :Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ :Bài tập : 5. Cho hình chóp S.ABCD .Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC . Giả sử AD và BC không song song .a. Xác định giao tuyến của [SAD] và [ SBC] b. Xác định thiết diện của mặt phẳng [AMN] với hình chóp S.ABCDGiảia. Xác định giao tuyến của [SAD] và [ SBC] :Trong [ABCD] , gọi I = AD ∩ BCVậy : SI = [SAD] ∩ [ SBC]b. Xác định thiết diện của mặt phẳng [AMN] với hình chóp S.ABCDTrong [SBC] , gọi J = MN ∩ SITrong [SAD] , gọi K = SD ∩ AJ Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK6. Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy một điểm M trong tam giác SCD lấy một điểm N.a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng[SAC]b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng [AMN] c. Tìm thiết diện của mặt phẳng [AMN] với hình chóp S.ABCDGiải a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng[SAC]:• Chọn mp phụ [SMN] ⊃ MN• Tìm giao tuyến của [SAC ] và [SMN]Ta có : S là điểm chung của [SAC ] và [SMN]Trong [SBC], gọi M’ = SM ∩ BCTrong [SCD], gọi N’ = SN ∩ CDTrong [ABCD], gọi I = M’N’ ∩ ACI ∈ M’N’ mà M’N’ ⊂ [SMN] ⇒ I ∈ [ SMN]I ∈ AC mà AC ⊂ [SAC] ⇒ I ∈ [SAC]Trang 12MLNBCDAKHMLHKADCBIJKMNADCBSRPQNAEDCFBMSBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11⇒ I là điểm chung của [SMN ] và [SAC]⇒ [ SMN] ∩ [SAC] = SI• Trong [SMN], gọi O = MN ∩ SIO ∈ MN O ∈ SI mà SI ⊂ [ SAC] ⇒ O ∈ [ SAC]Vậy : O = MN ∩ [ SAC ]b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng [AMN] :• Chọn mp phụ [SAC] ⊃ SC• Tìm giao tuyến của [SAC ] và [AMN]Ta có : [ SAC] ∩ [AMN] = AO• Trong [SAC], gọi E = AO ∩ SCE ∈ SC E ∈ AO mà AO ⊂ [ AMN] ⇒ E ∈ [ AMN]Vậy : E = SC ∩ [ AMN ]c. Tìm thiết diện của mặt phẳng [AMN] với hình chóp S.ABCD:Trong [SBC], gọi P = EM ∩ SBTrong [SCD], gọi Q = EN ∩ SDVậy : thiết diện là tứ giác APEQ7. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’ , C’ là ba điểm lấy trên các cạnh SA, SB, SC . Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng [A’B’C’]GiảiTrong [ABCD], gọi O = AC ∩ BDTrong [SAC], gọi O’ = A’C’ ∩ SOTrong [SBD], gọi D’ = B’O’ ∩ SDCó hai trường hợp : • Nếu D’ thuộc cạnh SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’• Nếu D’ thuộc không cạnh SD thì Gọi E = CD ∩ C’D’F = AD ∩ A’D’⇒ thiết diện là tứ giác A’B’C’EF Trang 13PSAOIM'DEN'CBNMQC'O'CD'A'B'ODBASSO'BACD'EFDA'B'OC'Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11§1 .HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Dạng 5 : Chứng minh hai đường thẳng a và b song song : Sử dụng một trong các cách sau :• Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung • Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba • Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng [cạnh đối của hình bình hành , định lý talet … ]• Sử dụng các định lý • Chứng minh bằng phản chứng Bài tập :1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trungđiểm các cạnh SA , SB , SC , SD .a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành b. Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của [A’B’M] với hình chóp S.ABCDGiảia. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành :Trong tam giác SAB, ta có : A’B’//21ABTrong tam giác SCD, ta có : C’D’//21CDMặt khác AB // CD ⇒ A’B’ // C’D’Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hànhb. Tìm thiết diện của [A’B’M] với hình chóp S.ABCD:Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của [A’B’M] và [ABCD]Do đó giao tuyến của [A’B’M] và [ABCD] là Mx song song AB và A’B’Gọi N = Mx ∩ ADVậy : thiết diện là hình thang A’B’MN2. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD [AB >CD]. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CDb. Tìm P = SC ∩ [ADN]c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I . Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD . Tứ giác SABI là hình gì ?Giảia. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD :Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB Mà AB ∕ ∕ CD [ ABCD là hình thang ]Vậy : MN ∕ ∕ CDb. Tìm P = SC ∩ [ADN]:• Chọn mp phụ [SBC] ⊃ SC• Tìm giao tuyến của [SBC ] và [ADN]Ta có : N là điểm chung của [SBC ] và [ADN]Trong [ABCD], gọi E = AD ∩ AC⇒ [ SBC] ∩ [ADN ] = NE• Trong [SBC], gọi P = SC ∩ NEVậy : P = SC ∩ [ ADN ]c. Chứng minh : SI // AB // CD . Tứ giác SABI là hình gì ?Ta có : CDABSISCDSABSCD////CD / / AB][ CD][ AB ][ [SAB] SI⇒⊂⊂∩= [ theo định lí 2]Trang 14NMSABDCA'B'C'D'IESBCMNPDABài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11Xét ∆ ASI , ta có : SI // MN [ vì cùng song song AB]M là trung điểm AB⇒ SI // 2MNMà AB //2.MNDo đó : SI //ABVậy : tứ giác SABI là hình bình hành 3. Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD.Chứng minh : IJ ∕ ∕ CDGiảiGọi E là trung điểm AB Ta có : ∈∈DEJCEI ⇒ IJ và CD đồng phẳng Do đó : 31==EDEJECEI [tính chất trọng tâm]Vậy : IJ // CD 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang [đáy lớn AB]. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SN = 32SB . a. Tìm giao tuyến của [SAB] và [IJK]b. Tìm thiết diện của [IJK] với hình chóp S.ABCDTìm điều kiện để thiết diện là hình bình hànhGiải a. Tìm giao tuyến của [SAB] và [IJK]:Ta có : AB ∕ ∕ IJ và K là điểm chung của [SAB] và [IJK]Vậy : giao tuyến là đường thẳng Kx song song AB b. Tìm thiết diện của [IJK] với hình chóp S.ABCD :Gọi L = Kx ∩ SAThiết diện là hình thang IJKLDo : IJ là đường trung bình của hình thang ABCD⇒ IJ = 21[AB + CD]Xét ∆SAB có :32==SBSKABLK ⇒ LK = AB.32IJKL là hình bình hành ⇔ IJ = KL⇔ 21[AB + CD] = AB.32⇔ AB = 3.CDVậy : thiết diện IJKL là hình bình hành ⇔ AB = 3.CD5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M ,N ,P , Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC , SC , SD ,AD sao cho MN // BS , NP // CD , MQ // CDa. Chứng minh : PQ // SA.b. Gọi K = MN ∩ PQ Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.Giảia. Chứng minh : PQ // SA.Xét tam giác SCD :Ta có : NP // CD⇒CSCNDSNP=[1]Tương tự : MN // SBTrang 15LSCBJIKDAJIECDBAPKQtDBCAMNSBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11⇒CBCMCSCN=[2]Tương tự : MQ // CD⇒DADQCBCM=[3]Từ [1] , [2] và [3], suy ra DADQDSDP=Vậy : PQ // SAb. Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BCTa có :∩∈⊂⊂][][][][//SADSBCSSADADSBCBCADBC ⇒ giao tuyến là đường thẳng St qua S cố định song song BC và ADMà K ∈ [SBC] ∩ [SAD]⇒ K ∈ St [cố định ]Vậy : K ∈ St cố định khi M di động trên cạnh BCĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNGDạng 6 : Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng [P] : Phương pháp : Chứng minh ααα//// daadd⇒⊂⊄ Bài tập :1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M ,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD .a. Chứng minh MN // [SBC] , MN // [SAD]b. Gọi P là trung điểm cạnh SA . Chứng minh SB và SC đều song song với [MNP]c. Gọi G1,G2 lần lượt là trọng tâm của ∆ABC và ∆SBCChứng minh 21GG // [SAB]Giải a. Chứng minh MN // [SBC]:Ta có : ]//[][//][SBCMNSBCBCBCMNSBCMN⇒⊂⊄Trang 16QMNCDPBASBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11Tương tự : ]//[][//][SADMNSADADADMNSADMN⇒⊂⊄b. Chứng minh SB // [MNP]:Ta có : ]//[][//][MNPSBMNPMPMPSBMNPSB⇒⊂⊄Chứng minh SC // [MNP]:Tìm giao tuyến của [MNP] và [SAD]Ta có : P là điểm chung của [MNP] và [SAD]MN // AD Do đó giao tuyến là đường thẳng qua P song song MN cắt SD tại Q⇒ PQ = [MNP] ∩ [SAD] Xét ∆ SAD , Ta có : PQ // ADP là trung điểm SA⇒ Q là trung điểm SDXét ∆ SCD , Ta có : QN // SCTa có : ]//[][//][MNPSCMNPNQNQSCMNPSC⇒⊂⊄c. Chứng minh 21GG // [SAB] : Xét ∆ SAI , ta có : 3121==ISIGIAIG⇒21GG // SADo đó : ]//[GG][SA// GG ][GG212121SABSABSASAB⇒⊂⊄2. Cho hình chóp S.ABCD . M,N là hai điểm trên AB, CD . Mặt phẳng [α] qua MN // SA a. Tìm các giao tuyến của [α] với [SAB] và [SAC].b. Xác định thiết diện của hình chóp với [α] c. Tìm điếu kiện của MN để thiểt diện là hình thangGiải a. Tìm các giao tuyến của [α] với [SAB]:Ta có : ⊂∩∈][//][][SABSASASABMαα⇒ [α] ∩ [SAB] = MP với MP // SATìm các giao tuyến của [α] với [SAC]:Gọi R = MN ∩ ACTa có : ⊂∩∈][//][][SACSASASACRαα⇒ [α] ∩ [SAC] = RQ với RQ // SA b.Xác định thiết diện của hình chóp với [α]:Thiết diện là tứ giác MPQNc. Tìm điếu kiện của MN để thiểt diện là hình thang:Trang 17QG1IG2SDCMNPABNSMABCDPQRNSMABCDPQRBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11Ta có : MPQN là hình thang ⇒ ]2[]1[////PQMNQNMPXét [1] ,ta có QNSA//MP//QNMPSA // ⇒Do đó : ]//[][//SCDSASCDQNQNSA⇒⊂ [ vô lí ]Xét [2] ,ta có BCMN //[SBC]PQ[ABCD]MN[SBC][ABCD]BC⇒⊂⊂∩=Ngược lại, nếu MN // BC thì PQMNSBCBCMBSBCPQ//][][][⇒⊂⊂∩=ααVậy để thiết diện là hình thang thì MN // BC.3. Cho tứ diện ABCD .Trên cạnh AD lẩy trung điểm M , trên cạnh BC lẩy trung điểm N bất kỳ . Gọi [α] là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng [α] với tứ diện ABCD.b. Xác định vị trí của N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành .Giảia. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng [α] với tứ diện ABCD.Ta có :]1[//][][][//][CDMPACDMACDCDCD⇒∩∈⊂ααTương tự :]2[//][][][//][CDNQBCDNBCDCDCD⇒∩∈⊂ααTừ [1] và [2], ta được : MP // NQ Vậy: thiết diện là hình thang MPNQ b. Xác định vị trí của N trên BC sao cho thiết diện là hình bình hành .Ta có : MP // NQMP = CD.21MPNQ là hình bình hành ⇔ ==⇔=CDNQMPNQMPNQMPNQMP21////Do đó : N là trung điểm BC . Vậy : N là trung điểm BC thì MPNQ là hình bình hành 4. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và S là một điểm ở ngoài mặt phẳng của hình thang . Gọi M là một điểm của CD ; [α] là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC .a. Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng [α] với hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình gì ? b. Tìm giao tuyến của [α] với mặt phẳng [SAD].Giảia. Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng [α] với hình chóp S.ABCD:Ta có : ]1[//][][][//][BCMNABCDMABCDBCBC⇒∩∈⊂ααTrang 18QADMNPCBBCPNMDAQtQIPNMCBDASBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11Tương tự :SANPSABNSABSASA//][][][//][⇒∩∈⊂αα]2[//][][][//][BCPQSBCPSBCBCBC⇒∩∈⊂ααTừ [1] và [2] , ta được : MN // PQVậy : thiết diện là hình thang MNPQ.b. Tìm giao tuyến của [α] với mặt phẳng [SAD].Trong [ABCD] , gọi I = AD ∩ BC⇒ I là điểm chung của [α] và [SAD]Ta có :∩∈⊂][][][//][SADISADSASAααVậy : giao tuyến là đường thẳng qua I và song song với SA.5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M là một điểm trên cạnh SC và[α] là mặt phẳng chứa AM và song song với BD.a. Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng [α] lần lượt với các cạnh SB, SD.b. Gọi I là giao điểm của ME và CB , J là giao điểm của MF và CD. Hãy chứng minh ba điểm I,J, A thẳng hàng .Giảia. Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng [α] lần lượt với các cạnh SB, SD.Giả sử dựng được E, F thỏa bài toán Ta có : EFBDSBDEFSBDBDBD//][][][//][⇒∩=⊂ααDo các điểm E ,F ,A ,M cùng thuộc mặt phẳng [α] Trong [α] , gọi K = EF ∩ AM • K ∈ EF mà EF ⊂ [SBD] ⇒ K ∈ [SBD]• K ∈ AM mà AM ⊂ [SAC] ⇒ K ∈ [SAC]⇒ K ∈ [SAC] ∩ [SBD]Do [SAC] ∩ [SBD] = SO⇒ K ∈ SO Cách dựng E, F :Dựng giao điểm K của AM và SO , qua K dựng EF // BDb.Chứng minh ba điểm I , J , A thẳng hàng :Ta có : ∈⇒⊂∈∈⇒⊂∈][][][][ABCDIABCDBCmàBCIIMEmàMEIαα⇒ I ∈ [α] ∩ [ABCD]Tương tự , ∩∈∩∈][][][][ABCDJABCDAαα⇒ I , J , A là điểm chung của [α] và [ABCD]Vậy : I , J , A thẳng hàng .6. Trong mặt phẳng [α] cho tam giác ABC vuông tại A , Bˆ= 600, AB = a .Gọi O là trung điểm của BC . Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng [α] sao cho SB = a và SB ⊥ OA . Gọi M là mọt điểm trên cạnh AB , mặt phẳng [β] qua M song song với SB và OA , cắt BC ,SC , SA lần lượt tại N , P , Q .Trang 19KJIMOEFSDCBAQαAONMPCBSBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11Đặt x = BM [ 0 < x < a ] .a. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông b. Tính diện tích của hình thang theo a và x . Tính x để diện tích này lớn nhất .Giải a. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông :Ta có : ]1[//][][][//][OAMNABCMNABCOAOA⇒∩=⊂ββ]2[//][][][//][SBMQSABMQSABSBSB⇒∩=⊂ββ]3[//][][][//][SBNPSBCNPSBCSBSB⇒∩=⊂ββTừ [2] và [3] ,suy ra MQ // NP // SB [4]⇒ MNPQ là hình thang Từ [1] và [4] , ta có :⊥⊥⇒⊥NPMNMQMNSBNPMQOAMNSBOA//////Vậy : MNPQ là hình thang vuông , đường cao MN.b. Tính diện tích của hình thang theo a và x .Ta có : MNNPMQSMNPQ].[21+=Tính MN : Xét tam giác ABCTa có : BCABB =cos⇒BABBCcos=aBC 2=⇒⇒ BO = aDoABOBOBAB∆⇒==060ˆ đềuCó MN // AO ⇒BOBNABBMAOMN==xBNMBMN ===⇒Tính MQ :Xét tam giác SAB , ta có : MQ // SB⇒ABAMSBMQ=⇒xaaaxaABSBAMMQ −=−== ].[.Tính NP :Xét tam giác SBC , ta có : NP // SB⇒CBCNSBNP=⇒222].2[.xaaaxaCBSBCNNP−=−==Do đó : ]34.[3.1214]34[xaxxaxSMNPQ−=−=Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương 3x và 4a − 3x3x.[ 4a − 3x] ≤ 2]2343[xax −+Trang 20Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11≤ 4a²⇒3²²4.121 aaSMNPQ=≤Đẳng thức xảy ra khi 3x = 4a – 3x ⇔ x = 32aVậy : x = 32a thì MNPQS đạt giá trị lớn nhất.7. Cho hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng [ABCD] sao cho SB = SD. Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x . mặt phẳng [α] qua M song song với SA và BD cắt SO , SB , AB tại N, P , Q .a. Tứ giác MNPQ là hình gì ?b. Cho SA = a . Tính diện tích MNPQ theo a và x . Tính x để diện tích lớn nhất Giảia. Tứ giác MNPQ là hình gì ?:Ta có : SB = SD ⇒∆ SBC = ∆ SDC [c-c-c]Gọi I là trung điểm SC Xét ∆ IBC và ∆ IDC Ta có : IC cạnh chung BC = CD⇒ ∆ IBC = ∆ IDC⇒ IB = ID⇒ ∆ IBD cân tại I⇒ IO ⊥ BDMà OI // SA ⇒ SA ⊥ BD [*]Ta có : ]1[//][][][//][BDMQMQABOABOBDBD⇒=∩⊂ααTương tự :]2[//][][][//][BDNPNPSBOSBOBDBD⇒=∩⊂ααTừ [1] và [2] , suy ra BDNPMQ ////[3]Mặt khác : ]4[//][][][//][SAMNMNSAOSAOSASA⇒=∩⊂ααTương tự :]5[//][][][//][SAPQPQSABSABSASA⇒=∩⊂ααTừ [4] và [5] , suy ra SAPQMN ////[6]Từ [3] , [6] và [*], suy ra MNPQ là hình chữ nhật Vậy : MNPQ là hình chữ nhật b. Tính diện tích MNPQ theo a và x:Ta có : MNMQSMNPQ.=Tính MQ :Xét tam giác AQM :Trang 21MNIPQODCBASDCI = BCIBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11Ta có : AQMMQ ∆⇒===Α00090ˆ45ˆ45ˆcân tại M ⇒ MQ = AM = xTính MQ :Xét tam giác SAO : Ta có : MN // SA ⇒ 2.22.22 xaaxaaOAOMASMNOAOMASMN−=−==⇒=⇒]2.[2.21]2 [. xaxxaxMNMQSMNPQ−=−== Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương 2.x và 2.xa −]2.[2. xax −≤ 2]2]2.2.[xax −+≤ 4²a⇒2.4²2.4²4².21 aSaaSmãMNPQMNPQ=⇒=≤Đẳng thức xảy ra khi 2.2. xax −=42.2.2aax ==⇔⇔ M là trung điểm AOVậy : 42.ax = thì MNPQS đạt giá trị lớn nhất.8. Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b . Gọi I , J lần lượt là trung điểm AB và CD . Giả sử AB ⊥ CD , mặt phẳng [α] qua M nằm trên đoạn IJ và song song với AB và CD.a. Tìm giao tuyến của [α] với [ ICD ] và [JAB] .b. Xác định thiết diện của [ABCD] với mặt phẳng [α]Chứng minh thiết diện là hình chữ nhật .c. Tính diện tích thiết diện của huình chữ nhật biết IM = 31IJ .Giảia. Tìm giao tuyến của [α] với mặt phẳng [ ICD ]:Ta có :∩∈⊂][][][//][ICDMICDCDCDαα⇒ giao tuyến là đt qua M và song song với CD cắt IC tại L và ID tại N Tương tự :∩∈⊂][][][//][JABMJABABABαα⇒ giao tuyến là đt qua M và song song với AB cắt JA tại P và JB tại Qb. Xác định thiết diện của [ABCD] với mặt phẳng [α]:Trang 22GFHNLMQPIJEDCBABài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11Ta có :∩∈⊂][][][//][ABCLABCABABαα⇒ EF // AB [1] Tương tự :∩∈⊂][][][//][ABDNABDABABαα⇒ HG // AB [2]Từ [1] và [2] , suy ra EF // HG // AB [3]Ta có :∩∈⊂][][][//][ACDPACDCDCDαα⇒ FG // CD [4] Tương tự :∩∈⊂][][][//][BCDQBCDCDCDαα⇒ EH // CD [5]Từ [4] và [5] , suy ra FG // EH // CD [6]Từ [3] và [6] , suy ra EFGH là hình bình hành Mà AB ⊥ CD [*]Từ [3] , [6] và [*], suy ra EFGH là hình chữ nhật c. Tính diện tích thiết diện của huình chữ nhật biết IM = 31IJ :Ta có : LNPQFGEFSEFGH ==Tính LN :Xét tam giác ICD : Ta có : LN // CD ⇒ IDINCDLN=[7]Xét tam giác IJD : Ta có : MN // JD ⇒ IJIMIDIN=[8]Từ [7] và [8], suy ra3331 bCDLNIJIMCDLN==⇒==Tương tự : 32==JIJMABPQ⇒aABPQ .32.32==Vậy : 92abSEFGH= HAI MẶT THẲNG SONG SONGDạng 7 : Chứng minh [α] // [β] : Sử dụng các cách sau :– ]//[][]//[],//[][],[βαββαα⇒=∩⊂⊂baMbabahình 1Trang 23MβαbaNcdabαβMBài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11– ]//[][//,//][],[][],[βαββαα⇒=∩⊂⊂=∩⊂⊂dbcaNdcdcMbabahình 2–]//[][]//[][]//[][βαγβγα⇒ hình 3Bài tập :1.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA ,SD a. Chứng minh rằng : [OMN] // [SBC]b. Gọi P, Q , R lần lượt là trung điểm của AB ,ON, SB. Chứng minh : PQ // [SBC], [MOR] // [SCD]Giải a. Chứng minh rằng : [OMN] // [SBC]:Xét tam giác SAC và SDB : Ta có : ]//[][////SBCOMNSBONSCOM⇒b. Chứng minh : PQ // [SBC]Ta có : MNOPMNADADOP//////⇒⇒ M, N, P, O đồng phẳng ⇒ PQ ⊂ [MNO]Mà ]//[[SBC] // ][][ SBCPQMNOMNOPQ⇒⊂Vậy : PQ // [SBC]Chứng minh : PQ // [SBC], [MOR] // [SCD] :Ta có : DCMRDCABABMR//////⇒[1]Xét tam giác SDB : ta có SDOR //[2]Từ [1] và [2] , ta được ]//[][][][][][////SCDMORSCDSDvàSCDDCMORORvàMORMRSDORvàDCMR⇒⊂⊂⊂⊂2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng phẳng . I , J , K lần lượt là trung điểm các cạnh AB , CD, EF. Chứng minh :a. [ADF] // [BCE] b. [DIK] // [JBE]Giải a. [ADF]//[BCE]:Ta có : ]//[][][//BCEADBCEBCBCEADBCAD⇒⊂⊄[1]Trang 24γαβRNPQSMOCBDABCDEFIJKABài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11Tương tự : ]//[][][//BCEAFBCEBEBCEAFBEAF⇒⊂⊄[2]Từ [1] và [2] , ta được :]//[][][][]//[]//[BCEADFADFAFvàADFADBCEAFBCEAD⇒⊂⊂Vậy : ]//[][ BCEADFb. [DIK]//[JBE] : Ta có : ]//[][////JBEDIKBEIKJBDI⇒Vậy : [DIK]//[JBE]3. Cho các hình bình hành ABCD , ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau .Trên các đường chéo AC, BF theo thứ tự lấy các điểm M,N sao cho MC = 2AM , NF = 2BN . Qua M, N lần lượtkẻ các đường thẳng song song với cạnh AB, cắt các cạnh AD, AF theo thứ tự tại M1, N1.Chứng minh rằng :a.DEMN //b.]//[11DEFNMc.]//[][11DEFNMNMGiảia.DEMN //:Giả sử EN cắt AB tại IXét ∆ NIB ∼ ∆ NEFTa có : 21==NFNBEFIB⇒ I là trung điểm AB và 21=NEIN [1]Tương tự : Xét ∆ MAI ∼ ∆ MCDTa có : 21==MDMIMCMA⇒ I là trung điểm AB và 21=MDIM[2]Từ [1] và [2] , suy ra NEINMDIM= ⇒DEMN //Vậy : DEMN //b.]//[11DEFNM:Ta có : AINN //1⇒2111==NEINFNAN[3]Tương tự : AIMM //1⇒2111==MDIMDMAM[4]Từ [3] và [4] , suy ra 211111==DMAMFNAN ⇒DFNM //11Ta được : ]//[][//1111DEFNMDEFDFDFNM⇒⊂Vậy :]//[11DEFNMTrang 25N1M1EFMNIBCDA