Số chẵn là gì
Số chẵn là những con số có đuôi sau cùng là 0, 2, 4, 6, 8 và có thể chia hết cho 2. Ví dụ: 2 chia 2 = 1, 24 chia 2 = 12.
Nếu một số có thể được biểu diễn bằng công thức n = i x 2, với i là bất kỳ số nguyên nào, thì số n được gọi là “số chẵn”.
Ví dụ: 10 là số chẵn, vì 10 có thể được phân tích cú pháp; 10 = 5 x 2, trong đó 5 là số nguyên. 0 bằng 0 x 2 = 0 nên 0 phải là số chẵn.
Số lẻ là gì?
Số lẻ là những con số có đuôi sau cùng là 1, 3, 5, 7, 9 và không chia hết cho 2. Ví dụ: 3 chia 2 = 1.5, 7 chia 2 = 3.5,…
Chia cho 2
Chia một số chẵn cho 2 và chia một số lẻ cho 2 để lại 1. Ví dụ, 5 là một số lẻ, vì chia 2 cho 2 sẽ cho phần dư là 1. Tương tự, 4 là số chẵn vì nó có thể chia hết cho 2.
Xét khái niệm này, 0 chia cho 2 cũng bằng 0 nên kết luận 0 là số chẵn.
Dựa vào phản chứng
Nếu bạn giỏi toán, thì bạn có thể quen thuộc với phương pháp chứng minh cổ điển này. Theo nghĩa đen, đây là một phương pháp chứng minh “ngược”, từ giả thiết sai thành chứng minh giả thiết ngược lại là đúng.
Giả sử rằng 0 là một số lẻ, chúng ta đều biết rằng tất cả các số lẻ n được biểu diễn dưới dạng n = 2k +1, trong đó k là số nguyên bất kỳ.
Tuy nhiên, khi xét n = 0, bài toán này sẽ dẫn đến k = -0,5, không phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là số 0 không phải là số lẻ, nhưng nếu không phải là số lẻ thì chỉ có một số chẵn phải không?
Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên
Ta sử dụng phương pháp chung và một số lưu ý sau:
Khi lập một số tự nhiên
* ai ∈ {0,1,2,…,9} và a1 ≠ 0.
* x là số chẵn ⇔ an là số chẵn.
* x là số lẻ ⇔ an là số lẻ.
* x chia hết cho 3 ⇔ a1+a2+⋯+an chia hết cho 3.
* x chia hết cho 4 ⇔
* x chia hết cho 5 ⇔ an=0 hoặc an=5.
* x chia hết cho 6 ⇔ x là số chẵn và chia hết cho 3.
* x chia hết cho 8 ⇔
* x chia hết cho 9 ⇔ a1+a2+⋯+an chia hết cho 9.
* x chia hết cho 11⇔ tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11.
* x chia hết cho 25 ⇔ hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75.
Bài 1: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8.
Đáp án và hướng dẫn giải
a,b,c,d ∈ {0,1,2,4,5,6,8}, a ≠ 0.
Vì x là số chẵn nên d ∈ {0,2,4,6,8}.
TH1: d = 0 ⇒ có 1 cách chọn d.
Vì a ≠ 0 nên ta có 6 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}.
Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b ∈ {1,2,4,5,6,8}\{a}.
Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {1,2,4,5,6,8}\{a,b}.
Suy ra trong trường hợp này có 1.6.5.4 = 120 số.
TH2: d ≠ 0, d chẵn nên d ∈ {2,4,6,8}. Vậy có 4 cách chọn d
Với mỗi cách chọn d, do a ≠ 0 nên ta có 5 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}\{d}.
Với mỗi cách chọn a,d ta có 5 cách chọn b ∈ {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d}.
Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d,b}.
Suy ra trong trường hợp này có 4.5.5.4= 400 số.
Vậy có tất cả 120 + 400 = 520 số cần lập.
Bài 2: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}.Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.
Đáp án và hướng dẫn giải
a,b,c,d ∈ {0,1,2,3,4,5,6}, a ≠ 0.
Vì a ≠ 0 nên a có 6 cách chọn a ∈ {1,2,3,4,5,6}.
Với mỗi cách chọn a ta có 6 cách chọn b ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a}.
Với mỗi cách chọn a,b ta có 5 cách chọn c ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b}.
Với mỗi cách chọn a,b, c ta có 4 cách chọn d ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b,c}.
Vậy có 6.6.5.4 = 720 số cần lập.
Bài 3: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8}.
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.
Đáp án và hướng dẫn giải
a,b,c,d,e,f,g,h ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8} là số cần tìm.
Vì x lẻ và không chia hết cho 5 nên h ∈ {1,3,7} nên h có 3 cách chọn
Số các chọn các chữ số còn lại là: 7.6.5.4.3.2.1
Vậy 15120 số thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 1: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}. Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau
Lời giải:
a,b,c,d ∈ {0,1,2,3,4,5,6},a ≠ 0
Vì x là số lẻ nên d ∈ {1,3,5} vậy d có 3 cách chọn.
Vì a ≠ 0 và với mỗi cách chọn d ta có 5 cách chọn a ∈ {1,2,3,4,5,6}\{d}.
Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,d}.
Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b,d}.
Suy ra trong trường hợp này có 3.5.5.4 = 300 số.
Bài 2: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5.
Lời giải:
a,b,c,d,e ∈ {0,1,2,3,4,5,6},a ≠ 0 là số cần lập, e ∈ {0,5}.
TH1: e = 0 suy ra có 1 cách chọn, số cách chọn a,b,c,d là 6.5.4.3
Trường hợp này có 360 số
TH2: e = 5 suy ra e có 1 cách chọn, số cách chọn a,b,c,d là 5.5.4.3 = 300.
Trường hợp này có 300 số
Vậy có 660 số thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 3: Cho tập hợp số A = {0,1,2,3,4,5,6}. Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
Lời giải:
Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Trong tập A có các tập con các chữ số chia hết cho 3 là {0,1,2,3}, {0,1,2,6},{0,2,3,4}, {0,3,4,5}, {1,2,4,5}, {1,2,3,6}, {1,3,5,6}.
Vậy số các số cần lập là: 4[4! – 3!] + 3.4! = 144 số.
Bài 4: Có bao nhiêu số các số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho 10?
Lời giải:
a,b,c,d,e là các chữ số, a ≠ 0.
Vì x chia hết cho 10 nên e = 0, vậy e có 1 cách chọn.
Chọn a có 9 cách chọn a ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Chọn b có 10 cách chọn b ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Chọn c có 10 cách chọn c ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Chọn d có 10 cách chọn d ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Vậy số các số cần lập là 1.9.10.10.10 = 9000 số.
Bài 5: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đầu chẵn và chữ số đứng cuối lẻ.
Lời giải:
Với a, b, c, d, e, f, g, h ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} là số cần tìm.
Vì chữ số đứng đầu chẵn nên a có 4 cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên h có 4 cách chọn.
Với mỗi cách chọn a và h thì sẽ có 6 cách chọn b; 5 cách chọn c; 4 cách chọn d, 3 cách chọn e; 2 cách chọn f và 1 cách chọn g.
Vậy có 4.4.6.5.4.3.2.1 = 11 520 số thỏa yêu cầu bài toán.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi