Phương pháp giải:
+] Hàm số xác định \[\Leftrightarrow 5-m\sin x-\left[ m+1 \right]\cos x\ge 0.\]
+] Chuyển vế đưa bất phương trình về dạng \[g\left[ x \right]\le 5.\]
+] Khi đó để hàm số xác định thì \[Max\ g\left[ x \right]\le 5\]
+] Ta tìm điều kiện của m để \[Max\ g\left[ x \right]\le 5\]
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định \[\Leftrightarrow 5-m\sin x-\left[ m+1 \right]\cos x\ge 0\Leftrightarrow m\sin x+\left[ m+1 \right]\cos x\le 5\,\,\,\forall x\in R\]
\[\Leftrightarrow \frac{m}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\sin x+\frac{m+1}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\cos x\le \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\,\,\forall x\in R\]
Đặt \[\frac{m}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}=\cos \alpha ;\,\,\frac{m}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}=\sin \alpha \], khi đó bất phương trình trở thành
\[\begin{align} & \Leftrightarrow \sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha \le \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\,\,\,\,\forall x\in R \\ & \Leftrightarrow \sin \left[ x+\alpha \right]\le \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\,\,\forall x\in R \\ & \Leftrightarrow \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\ge 1 \\ & \Leftrightarrow 5\ge \sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1} \\ & \Leftrightarrow 2{{m}^{2}+2m}+1\le 25 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}+m-12}\le 0 \\ & \Leftrightarrow -4\le m\le 3 \\ \end{align}\]
\[\Rightarrow \] Có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện trên.
Chọn B.