Công thức giới hạn và đạo hàm toán lớp 11
|
Đạo hàm là kiến thức có trong bài thi tốt nghiệp THPT quốc gia, do đó bất cứ học sinh nào cũng cần phải nắm vững phần này. Tuy nhiên, nhiều người học cảm thấy mảng này khá khó. Để học tốt chúng ta cần nắm vững lý thuyết, sau đó ứng dụng giải các bài tập để tiến đến thành thạo. Show
1. Định nghĩaKiến thức đầu tiên học sinh cần biết là định nghĩa: Theo toán học giải tích, đạo hàm là 1 hàm số, là đại lượng dùng để mô tả sự biến thiên tại 1 điểm của hàm số. Nói cách khác, đây chính là tỉ số giữa số gia và hàm số tại một điểm x0. Trong đó, chiều biến thiên và độ lớn của biến thiên thể hiện giá trị của đạo hàm. Hàm số y = f(x) ký hiệu bằng y′(x0) hoặc f′(x0) được xác định trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b) Đạo hàm của hàm số f(x) tại x0 là giới hạn hữu hạn của tỉ số giữa số gia của đối số và số gia của hàm số. Số gia của đối số là Δx=x−x0 Số gia của hàm số là Δy=y−y0 Lưu ý: Đạo hàm có ý nghĩa lớn trong ứng dụng hình học, hình học không gian và vật lý. Trong vật lý y'(x0) là vận tốc tức thời, vận tốc tại thời điểm tính trong quá trình chuyển động của một chất. Hay nó chính là đồ thị biểu diễn hàm số biểu diễn hình học 2. Quy tắc cơ bản để áp dụng công thức đạo hàm lớp 11Quy tắc cơ bản để áp dụng công thức đạo hàm lớp 11 chính là công thức tính y’ đầy đủ giúp chúng ta tính toán, giải các bài tập một cách chính xác và nhanh chóng. Quy tắc cơ bản để áp dụng công thức như sau: Công thức Đạo hàm tổng quanCông thức tổng quan bao gồm 3 dạng: Đạo hàm của f(u) với u là hàm số, (f(x))’ với x là biến số và đạo hàm của một số phân thức hữu tỉ. Công thức Đạo hàm sơ cấpCông thức sơ cấp: Công thức Đạo hàm cấp caoCông thức cấp cao: Công thức Đạo hàm lượng giácCông thức y’ của các hàm lượng giác và hàm lượng giác ngược: Bảng công thức Đạo hàm mới nhất 2023Bảng công thức mới nhất 2023: Các dạng bài tập liên quanĐể giúp các em học sinh nắm bắt và hiểu rõ các công thức đạo hàm và ứng dụng như thế nào, chúng tôi đưa ra tổng hợp các dạng bài tập liên quan có kèm theo ví dụ dưới đây. Tích cực luyện tập bài tập sẽ giúp các em ghi nhớ kiến thức và giải bài tập thành thạo. Dạng 1: Dạng bài tập đạo hàm áp dụng khái niệm, định nghĩa đạo hàmÁp dụng khái niệm và định nghĩa giải các bài tập liên quan là dạng bài toán cơ bản và đơn giản. Cụ thể: Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số căn cứ và tiếp điểmĐây là dạng bài tập cơ bản khá phổ biến, đề bài cho sẵn tiếp điểm M(x0, y0), phương trình tiếp tuyến của hàm số của đồ thị đường cong (C): y=f(x), có dạng y=y’(x0)(x-x0) + y0. Đây là dạng bài tập có lời giải đơn giản, học sinh chỉ cần thay thế các dữ liệu cho sẵn và tính toán để được đáp án chính xác. Ví dụ: Cho một hàm số y= x3 + 3mx2 + ( m+1)x + 1 (1), trong đó m là một tham số thực. Hãy tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm có hoành độ x = -1 và đi qua điểm A(1;2). Đáp án: TXD: Đ = R y’ = f'(x)= 3×2 + 6mx + m + 1 Với x0 = -1 => y0= 2m -1, f'( -1) = -5m + 4 Phương trình tiếp tuyến tại M(-1; 2m – 1) : y= ( -5m + 4 ) ( x+1) + 2m -1 (d) Ta có A ( 1;2) ∈ (d) <=> ( -5m + 4).2 + 2m – 1 = 2 => m = 5/8 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức dựa vào điều kiện liên quan đến đạo hàm có sẵnDạng bài tập này yêu cầu học sinh tính toán, chứng minh các đẳng thức dựa vào các điều kiện có sẵn liên quan đến đạo hàm. Cụ thể: Dạng 4: Phương trình và bất phương trìnhĐể tìm được kết quả chính xác của dạng toán này, học sinh cần kết hợp nhiều công thức đạo hàm và nguyên hàm và giải phương trình hay ất phương trình đã cho. Dạng 5: Cho hệ số góc, viết phương trình tiếpDạng bài tập này cho biết Δ có hệ số góc là k, yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) : y = f( x ) Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm. Tính y’ => y'(x0) Phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k => y’ = (x0 ) = k (i) x0 => y0 = f(x0) => Δ : y = k (x – x0 )+ y0 Lưu ý: Hệ số góc k = y'(x0 ) của tiếp tuyến Δ thường cho kiểu gián tiếp như sau: Ví dụ: Cho hàm số y=x3 +3 × 2 – 9x + 5 ( C). Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C ). Đáp án: Ta có y’ = f'( x ) = 3×2 + 6x – 9 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy f'( x0) = 3 x02 + 6 x0 – 9 Ta có 3 x02 + 6×0– 9 =3 ( x02+ 2×0 +1) – 12 = 3 (x0+1)2– 12 > – 12 Vậy min f( x0)= – 12 tại x0= -1 => y0=16 \=> Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y= -12( x+1)+16 <=> y= -12x + 4 Dạng 6: Áp dụng công thức đạo hàm, nguyên hàm giải bài tậpMuốn giải được bài tập dạng 6, học sinh cần nắm vững công thức y’ lớp 11 đã được học. Trong quá trình thực hiện, các em cần lưu ý rút gọn hàm số sau đó mới tiến hành tìm y’ của hàm số đó. Dạng 7: Tính đạo hàm cấp cao (thông thường từ cấp 2 trở lên)Muốn tính y’ cấp cao, học sinh cần nắm vững và áp dụng công thức tính từ cấp 2 hoặc công thức y(n) = (y(n-1))’. Lưu ý: Để tính y’ cấp n, các em cần thực hiện tính y’ từ cấp 1, 2, 3… để tìm ra công thức tính y’ cấp n. Mọi người cũng hỏiCông thức đạo hàm là gì trong toán lớp 11?Trả lời: Công thức đạo hàm trong toán lớp 11 dùng để tính đạo hàm của một hàm số. Đạo hàm tại một điểm cho biết tốc độ thay đổi của hàm số tại điểm đó. Công thức đạo hàm cơ bản dùng cho hàm số f(x) là f'(x) = lim (h->0) [f(x + h) - f(x)] / h. Làm thế nào để tính đạo hàm của một hàm số lớp 11?Trả lời: Để tính đạo hàm của một hàm số lớp 11, ta sử dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản như quy tắc tổng, quy tắc tích, và quy tắc hợp. Áp dụng các quy tắc này cho từng thành phần của hàm số và sau đó kết hợp kết quả để tính đạo hàm tổng quát. Công thức đạo hàm có ứng dụng gì trong toán lớp 11?Trả lời: Công thức đạo hàm có nhiều ứng dụng trong toán học và các ngành khoa học khác. Nó được sử dụng để tìm điểm cực trị của hàm số, tính tốc độ thay đổi của biến số, giải bài toán tối ưu hóa và phân tích hình dáng đồ thị hàm số. Làm thế nào để nắm vững việc sử dụng công thức đạo hàm trong toán lớp 11?Trả lời: Để nắm vững việc sử dụng công thức đạo hàm, cần hiểu rõ các quy tắc đạo hàm cơ bản và thường xuyên thực hành bằng cách giải các bài tập đạo hàm đa dạng. Tìm hiểu cách áp dụng đạo hàm trong các tình huống thực tế sẽ giúp nâng cao khả năng giải quyết bài toán. |
