Xét điện tích điểm q di chuyển dọc theo đường cong [L] từ M đến N trong điện trường của điện tích điểm Q [hình 1.31].
Công của lực điện trường trên quãng đường này là: \[ {{A}_{MN}}=\int\limits_{[L]}{\overrightarrow{F}.d\vec{s}}=\int\limits_{[L]}{q\overrightarrow{E}.d\vec{r}} \], trong đó \[ \overrightarrow{E} \] là cường độ điện trường do điện tích Q gây ra. Theo [1.20], ta có: \[ \overrightarrow{E}=k\frac{Q}{\varepsilon {{r}^{2}}}.\frac{{\vec{r}}}{r} \]
Do đó: \[{{A}_{MN}}=\int\limits_{[L]}{q.\frac{kQ}{\varepsilon{{r}^{2}}}.\frac{\vec{r}.d\vec{r}}{r}}=q\frac{kQ}{\varepsilon }\int\limits_{[L]}{\frac{\vec{r}.d\vec{r}}{{{r}^{3}}}}\]
Vì \[ \vec{r}.d\vec{r}=x.dx+y.dy+z.dz \] \[ =\frac{1}{2}d\left[ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right]=\frac{1}{2}d\left[ {{r}^{2}} \right]=rdr \]
Nên \[{{A}_{MN}}=q\frac{kQ}{\varepsilon }\int\limits_{[L]}{\frac{dr}{{{r}^{2}}}}=q\frac{kQ}{\varepsilon }\int\limits_{{{r}_{M}}}^{{{r}_{N}}}{\frac{1}{{{r}^{2}}}dr}=q\frac{kQ}{\varepsilon }\left[ \frac{1}{{{r}_{M}}}-\frac{1}{{{r}_{N}}} \right]\]
Vậy \[ {{A}_{MN}}=q\left[ \frac{kQ}{\varepsilon {{r}_{M}}}-\frac{kQ}{\varepsilon {{r}_{N}}} \right] \] [1.57]
[1.57] chứng tỏ rằng công AMN không phụ thuộc vào đường đi, chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối.
Trong trường hợp tổng quát, khi điện tích q di chuyển trong điện trường tĩnh bất kì, ta cũng chứng minh được công của lực điện trường tỉ lệ với điện tích dịch chuyển, không phụ thuộc vào hình dạng đường đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối. Nếu [L] là đường cong kín bất kì thì AMN = 0. Vậy lực điện trường là lực thế.
2. Khái niệm điện thế, hiệu điện thế
Đối với các trường lực thế, người ta xây dựng hàm vô hướng V[x,y,z] để mô tả vị trí của các điểm trong trường lực thế. Hàm V[x,y,z] được gọi là hàm thế. Trong Cơ học, hàm thế của trọng lực, lực đàn hồi là thế năng; nhưng trong Điện học, người ta chọn hàm thế của điện trường là điện thế.
Từ kết quả tính công của lực điện trường, người ta xây dựng khái niệm điện thế:
\[ {{V}_{M}}-{{V}_{N}}=\frac{{{A}_{MN}}}{q} \] [1.58]
Trong đó: VM là điện thế tại điểm M, VN là điện thế tại điểm N.
Từ đó ta có khái niệm về điện thế:
Điện thế V[x,y,z] là hàm vô hướng sao cho hiệu hai giá trị của hàm tại hai điểm M, N bất kì trong điện trường bằng công của lực điện trường sinh ra khi dịch chuyển một đơn vị điện tích dương từ điểm M đến điểm N.
Hiệu số: \[ {{V}_{M}}-{{V}_{N}}={{U}_{MN}} \] [1.59] được gọi là hiệu điện thế giữa hai điểm M và N.
Ta có: \[ {{A}_{MN}}=q\left[ {{V}_{M}}-{{V}_{N}} \right]=q{{U}_{MN}} \] [1.60]
Lưu ý:
+ Tại một điểm M trong điện trường, điện thế VM có thể có nhiều giá trị khác nhau. Các giá trị đó sai khác nhau một hằng số C, tùy thuộc vào việc chọn gốc điện thế. Trong thực hành, người ta thường chọn gốc điện thế tại mặt đất hoặc vỏ máy; trong lí thuyết, người ta thường chọn gốc điện thế ở vô cùng [rất xa vị trí khảo sát], khi đó điện thế tại M sẽ đơn trị: \[ {{V}_{M}}=\frac{{{A}_{M\infty }}}{q} \] [1.61]
+ Hiệu điện thế giữa hai điểm M và N bất kì trong điện trường luôn có giá trị xác định, không phụ thuộc vào việc chọn gốc điện thế; nó đặc trưng cho khả năng thực hiện công của lực điện trường giữa hai điểm đó. Từ [1.59], suy ra: \[ {{U}_{MN}}=-{{U}_{NM}} \] [1.62]
+ Điện thế, hiệu điện thế là các đại lượng vô hướng, có tính cộng được. Giá trị của điện thế, hiệu điện thế có thể dương, âm hoặc bằng không.
+ Trong hệ SI, đơn vị đo điện thế, hiệu điện thế là vôn [V].
3. Điện thế do các hệ điện tích gây ra
a] Từ công thức công của lực điện trường [1.57] và công thức khái niệm điện thế [1.58] ta suy ra, điện thế tại điểm M do điện tích điểm Q gây ra là: \[ {{V}_{M}}=\frac{kQ}{\varepsilon {{r}_{M}}}+C \] [1.63] với rM là khoảng cách từ điện tích Q đến điểm M; C là hằng số.
Nếu chọn gốc điện thế ở vô cùng thì: \[ {{V}_{M}}=\frac{kQ}{\varepsilon {{r}_{M}}} \] [1.64]
b] Điện thế gây bởi hệ điện tích điểm
Điện thế tại điểm M do hệ điện tích điểm Q1, Q2, Q3, …, Qn gây ra bằng tổng các điện thế do từng điện tích thành phần gây ra tại M.
\[ {{V}_{M}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{V}_{i}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{k{{Q}_{i}}}{\varepsilon {{r}_{iM}}}}+C \] [1.65]
Trong đó Vi là điện thế do điện tích Qi gây ra tại M; riM là khoảng cách từ điện tích Qi đến điểm M.
Nếu chọn gốc điện thế ở vô cùng thì: \[ {{V}_{M}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{k{{Q}_{i}}}{\varepsilon {{r}_{iM}}}} \] [1.66]
c] Điện thế gây bởi vật mang điện
Để tính điện thế tại điểm M do một vật mang điện hay hệ điện tích phân bố liên tục trong miền \[ \left[ \Omega \right] \] đó gồm vô số phần tử nhỏ, sao cho điện tích dq của mỗi phần tử đó được coi là điện tích điểm [hình 1.33].
Mỗi điện tích điểm dq gây ra tại điểm M điện thế \[dV=\frac{kdq}{\varepsilon r}\]. Từ đó suy ra, điện thế do toàn hệ gây ra tại M là: \[ {{V}_{M}}=\int\limits_{\Omega }{dV}=\int\limits_{\Omega }{\frac{kdq}{\varepsilon r}}+C \] [1.67]
Trong đó r là khoảng cách từ yếu tố điện tích dq đến điểm khảo sát M. Nếu chọn gốc điện thế ở vô cùng thì hằng số C trong [1.67] sẽ bằng không.
Tùy theo dạng hình học của miền \[ \left[ \Omega \right] \], nói cách khác, tùy theo dạng phân bố điện tích trên vật mang điện là phân bố khối, phân bố mặt hay phân bố đường mà dq được tính bởi các công thức:
\[ dq=\rho dV \] hay \[ dq=\sigma dS \] hay \[ dq=\lambda d\ell \] [1.68]
trong đó, \[ \rho \] là mật độ điện khối, \[ \sigma \] là mật độ điện mặt, \[ \lambda \] là mật độ điện dài; dV là yếu tố thể tích, dS là yếu tố diện tích, \[ d\ell \] là yếu tố chiều dài.
Trường hợp tổng quát, các giá trị của mật độ điện khối \[ \rho \], mật độ điện mặt \sigma và mật độ điện dài \[ \lambda \] phụ thuộc vào từng vị trí của yếu tố điện tích dq. Trong trường hợp đặc biệt, khi hệ điện tích phân bố đều trong miền \[ \left[ \Omega \right] \] thì \[ \rho \], \[ \sigma \] và \[ \lambda \] là các hằng số.
4. Mặt đẳng thế
Tập hợp các điểm trong điện trường có cùng giá trị điện thế V tạo thành mặt đẳng thế. Để tìm dạng của mặt đẳng thế, ta giải phương trình:
\[ V[x,y,z]=V[\vec{r}]=C=const \] [1.71]
[1.71] xác định một họ các mặt đẳng thế. Với mỗi giá trị của C ta có một mặt đẳng thế tương ứng.
Ví dụ, để tìm dạng của mặt đẳng thế trong điện trường do điện tích điểm Q gây ra, ta giải phương trình: \[ V=\frac{kQ}{\varepsilon r}=C \] và thu được nghiệm: \[ r=\frac{kQ}{\varepsilon C}=const \]. Từ kết quả này suy ra rằng, các mặt đẳng thế là các mặt cầu, tâm là điện tích Q.
Hình [1.36] biểu diễn các mặt đẳng thế của vài hệ điện tích khác nhau [đường có mũi tên là đường sức điện trường, đường không có mũi tên biểu diễn các mặt đẳng thế giao với mặt phẳng hình vẽ].
Quy ước vẽ mặt đẳng thế: vẽ các mặt đẳng thế sao cho độ chênh lệch \[ \Delta V \] giữa hai mặt đẳng thế bất kỳ là như nhau [chẳng hạn như hình 1.36a]. Suy ra: nơi nào điện trường mạnh các mặt đẳng thế sẽ sít nhau; nơi nào điện trường yếu các mặt đẳng thế sẽ xa nhau; điện trường đều, các mặt đẳng thế là những mặt phẳng song song cách đều nhau.
Tính chất của mặt đẳng thế
Các mặt đẳng thế không cắt nhau. Thật vậy, nếu chúng cắt nhau thì tại giao điểm sẽ đồng thời có hai giá trị khác nhau của điện thế [vô lý].
Khi điện tích di chuyển trên mặt đẳng thế thì lực điện trường không thực hiện công. Thật vậy, nếu điện tích q di chuyển từ M đến N trên mặt đẳng thế, nghĩa là VM = VN, thì công của lực điện trường là \[ {{A}_{MN}}=q\left[ {{V}_{M}}-{{V}_{N}} \right]=0 \].
Vectơ cường độ điện trường \[ \overrightarrow{E} \] tại mọi điểm trên mặt đẳng thế luôn vuông góc với mặt đẳng thế đó. Thật vậy, giả sử điện tích q di chuyển trên mặt đẳng thế theo một đoạn \[ d\vec{s} \] bất kỳ, thì công của lực điện trường là: \[ dA=\overrightarrow{F}d\vec{s}=q\overrightarrow{E}d\vec{s}=0 \]. Suy ra \[ \overrightarrow{E}d\vec{s}=0 \] hay \[ \overrightarrow{E}\bot d\vec{s} \].
Mà \[d\vec{s}\] là vi phân đường đi theo một hướng bất, nên \[\overrightarrow{E}\] phải vuông góc với mọi đường \[d\vec{s}\] trên mặt đẳng thế – nghĩa là \[\overrightarrow{E}\] phải vuông góc với mặt đẳng thế. Vậy, đường sức điện trường phải vuông góc với mặt đẳng thế.
5. Thế năng của điện tích trong điện trường
Trong Cơ học ta đã biết rằng, công của lực thế giữa hai điểm bất kỳ bằng độ giảm thế năng của vật giữa hai điểm đó: \[ {{A}_{MN}}={{W}_{tM}}-{{W}_{tN}} \] [1.72]
So sánh [1.72] với [1.60] ta suy ra thế năng của điện tích q tại các điểm M và N trong điện trường là \[ {{W}_{tM}}=q{{V}_{M}} \] và \[ {{W}_{tN}}=q{{V}_{N}} \].
Tổng quát, ta có: \[ {{W}_{tM}}=q{{V}_{M}} \] hay \[ {{W}_{t}}[x,y,z]=qV[x,y,z] \] [1.73]
Trong đó \[ V[x,y,z]={{V}_{M}} \] là điện thế tại điểm M[x,y,z]; WtM là thế năng của điện tích q tại điểm M trong điện trường.