1. Căn bậc hai
a. Khái niệm: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2=a.
Ví dụ 1. Số 16 là số không âm, căn bậc hai của 16 là số x sao cho x2=16.
Do đó căn bậc hai của 16 là 4 và −4.
b. Tính chất:
- Số âm không có căn bậc hai.
- Số 0 có đúng một căn bậc hai đó chính là số 0, ta viết 0=0.
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau; số dương ký hiệu là a, số âm ký hiệu là −a .
Ví dụ 2.
- Số −12 là số âm nên không có căn bậc hai.
- Số 64 có hai căn bậc hai là 8 và −8.
- Số 15 có hai căn bậc hai là 15 và -15.
2. Căn bậc hai số học
a. Định nghĩa: Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
Ví dụ 3. Căn bậc hai số học của 36 là 36 [= 6].
- Căn bậc hai số học của 7 là 7.
Chú ý. Với a ≥ 0, ta có:
Nếu x=a thì x ≥ 0 và x2=a;
Nếu x ≥ 0 và x2=a thì x=a.
- Ta viết x=a⇔x≥0,x2=a.
Ví dụ 4. Tìm căn bậc hai số học của các số sau đây: 25; 81; 225; 324.
Lời giải:
Ta có:
• 25=5 vì 5 > 0 và 52=25;
• 81=9 vì 9 > 0 và 92=81;
• 225=15 vì 15 > 0 và 152=225;
• 324=18 vì 18 > 0 và 182=324.
b. Phép khai phương:
- Phép khai phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm [gọi tắt là khai phương].
- Khi biết một căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc hai của nó.
Ví dụ 5.
- Căn bậc hai số học của 9 là 3 nên 9 có hai căn bậc hai là 3 và −3.
- Căn bậc hai số học cuả 256 là 16 nên 256 có hai căn bậc hai là 16 và −16.
3. So sánh các căn bậc hai số học
Định lí. Với hai số a và b không âm, ta có: a