Đề bài
Tìm hai số tự nhiên, biết tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1. Lập hệ phương trình:
- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2. Giải hệ phương trình vừa thu được.
Bước 3. Kết luận
-Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn.
- Kết luận bài toán.
Ở bài này ta chú ý rẳng nếu \[a\] chia cho \[b\] được thương là \[q\] và dư \[r\] \[\left[ {0 \le r < b} \right]\] thì ta có \[a = b.q + r.\]
Lời giải chi tiết
Bước 1: Gọi số lớn là \[x;\] số nhỏ là \[y\,.\] Điều kiện là \[x > y;\,x;y \in \mathbb{N}.\]
Theo điều kiện thứ nhất, tổng của hai số bằng \[1006\] nên ta có phương trình \[x + y = 1006\]
Theo điều kiện thứ hai, khi lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương là \[2\] và số dư là \[124\] nên ta có phương trình \[x = 2y + 124\] với điều kiện \[y > 124\].
Do đó, ta có hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1006\\x = 2y + 124\end{array} \right.\]
Bước 2: Giải hệ phương trình này
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1006\\x = 2y + 124\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y + 124 + y = 1006\\x = 2y + 124\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 294\\x = 2.294 + 124\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 294\\x = 712\end{array} \right.\,\left[ {TM} \right]\end{array}\]
Bước 3: Các số tìm được \[294;712.\]
Vậy số lớn là \[712\] và số nhỏ là \[294.\]
Chú ý: Nói chia \[a\] cho \[b\] [\[a,b\] nguyên dương] được thương là \[q\] và dư \[r,\] tức là ta có đẳng thức \[a = bq + r\] với \[0 \le r < b.\]