Đề bài - đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - đề số 8 - chương 2 - hình học 9

Đề bài

Cho đường tròn (O; 5cm) và (O; 3cm) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Một đường thẳng qua A hợp với OO một góc 30˚ cắt (O) tại B và (O) tại C

a. Chứng minh : \(\widehat {AOB} = \widehat {AO'C}\) và OB // OC.

b. Chứng minh tiếp tuyến của (O) tại B và tiếp tuyến của (O) tại C song song với nhau.

c. Tiếp tuyến của (O) tại C cắt OO tại D. Tính CD và OD

d. DC cắt BO tại E. Tính \({S_{ABE}}\)

Lời giải chi tiết

a. Ta có các tam giác AOB và COA cân \( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat A_2} = \widehat B = \widehat C = 30^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {AO'C} = 180^\circ - 2.30^\circ\)\(\, = 120^\circ \)

Do đó OB // OC (cặp góc so le trong bằng nhau)

b. \(Bx OB, Cy OC\), mà \(OB // OC Bx // Cy\)

c. Ta có: \(\widehat {CO'D} = 60^\circ \) (kề bù với \(\widehat {AO'C} = 120^\circ \) )

Do đó OCD là nửa tam giác đều mà \(OC = 3cm\) (gt) \( OD = 6cm.\)

Theo định lí Pi-ta-go :

\(CD = \sqrt {O'{D^2} - O'{C^2}} = \sqrt {{6^2} - {3^2}} \)\(\,= \sqrt {27} = 3\sqrt 3 \,\left( {cm} \right)\)

d. Ta có: \(OD = OO + OD = 5 + 3 + 6 = 14\) (cm)

Xét tam giác OED có \(\widehat {EDO} = 30^\circ \,\left( {\text{vì }\widehat {CO'D} = 60^\circ } \right),\)

\(\widehat {EOD} = 60^\circ \) (kề bù với \(\widehat {BOA} = 120^\circ \)) nên OED vuông tại E.

Khi đó \(OE = {1 \over 2}OD = 7cm.\) Do đó \(EB = OE + OB = 7 + 5 = 12\) (cm).

Kẻ đường cao AH của BAE, ta có AHO là nửa tam giác đều có

\(\eqalign{ & OA = 5cm \Rightarrow OH = {5 \over 2}\left( {cm} \right) \cr & \Rightarrow AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {{5^2} - {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2}} = {{5\sqrt 3 } \over 2}({cm}) \cr} \)

Vậy : \({S_{ABE}} = {1 \over 2}BE.AH \)\(\,= {1 \over 2}.12.{{5\sqrt 3 } \over 2} \)\(\,= 15\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\)