Đề bài
Biết \[{4^x} + {\rm{ }}{4^{ - x}} = {\rm{ }}23\].Hãy tính: \[{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng khai triển hằng đẳng thức\[{\left[ {{2^x} + {2^{ - x}}} \right]^2}\]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\begin{array}{l}{\left[ {{2^x} + {2^{ - x}}} \right]^2} \\= {\left[ {{2^x}} \right]^2} + {2.2^x}{.2^{ - x}} + {\left[ {{2^{ - x}}} \right]^2}\\= {4^x} + {4^{ - x}} + 2 = 23 + 2 = 25\\\Rightarrow {\left[ {{2^x} + {2^{ - x}}} \right]^2} = 25\\ \Rightarrow \left| {{2^x} + {2^{ - x}}} \right| = 5\end{array}\]
Mà \[{2^x} > 0;{2^{ - x}} > 0,\forall x\] nên \[{2^x} + {2^{ - x}} > 0\]
\[{{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}} = {\rm{ }}5}\].
Chú ý: Nhận thấy đề bài cho giả thiết có chứa \[4^x\] và \[4^{-x}\] nhưng biểu thức cần tính giá trị chỉ có\[2^x\] và \[2^{-x}\] nên ta cần bình phương biểu thức cần tính giá trị lên để làm xuất hiện \[{4^x} + {4^{ - x}}\]. Sau khi tính toán xong giá trị của \[{\left[ {{2^x} + {2^{ - x}}} \right]^2}\] ta lấy căn bậc hai và kết luận.