Đề thi hsg toán 9 cẩm thủy 18-19 vòng 1 năm 2024

Trong ngày đầu của kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia, hơn 600 thí sinh thi môn Toán phải hoàn thành bốn bài, mỗi bài 5 điểm.

Thí sinh thi môn Toán tiếp tục làm bài thi số hai vào ngày mai.

Dưới đây là lời giải chi tiết đề Toán thi học sinh giỏi quốc gia năm 2024, ngày thứ nhất, của các thầy Võ Quốc Bá Cẩn, Nguyễn Lê Phước, Nguyễn Tiến Dũng [trường Archimedes Academy], thầy Nguyễn Văn Quý [Câu lạc bộ Toán CMATH], thầy Trần Đức Hiếu [trường THPT chuyên Hà Nội-Amsterdam]; các sinh viên Đào Phúc Long [Đại học Bách khoa Hà Nội], Trần Quang Độ [trường Đại học Sư phạm Hà Nội], Phan Quang Linh, Vũ Minh Đức [Câu lạc bộ Toán CMATH].

Đề thi và lời giải môn Toán thi học sinh giỏi quốc gia ngày thứ hai

Kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia diễn ra trong hai ngày 5-6/1 với hơn 5.800 thí sinh tham dự. Các môn thi gồm Toán, Vật lý, Hóa học, Sinh học, Tin học, Ngữ văn, Lịch sử, Địa lý, Tiếng Anh, Tiếng Pháp, Tiếng Nga và Tiếng Trung.

Tỷ lệ học sinh đạt giải sẽ chiếm 60% số thí sinh dự thi. Trong đó, số giải nhất, nhì, ba không vượt quá 60% tổng số giải; số giải nhất không vượt quá 5%.

Học sinh đạt giải được ưu tiên xét tuyển thẳng vào đại học, cao đẳng. Những thí sinh được vào vòng chọn đội tuyển Olympic quốc tế [Tin học, Hóa học, Toán học, Sinh học, Vật lý] sẽ được miễn thi tốt nghiệp THPT.

Thầy cô giáo và các em học sinh có nhu cầu tải các tài liệu dưới dạng định dạng word có thể liên hệ đăng kí thành viên Vip của Website: tailieumontoan.com với giá 500 nghìn thời hạn tải trong vòng 6 tháng hoặc 800 nghìn trong thời hạn tải 1 năm. Chi tiết các thức thực hiện liên hệ qua số điện thoại [zalo ]: 0393.732.038

Điện thoại: 039.373.2038 [zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ]

Kênh Youtube: //bitly.com.vn/7tq8dm

Email: tailieumontoan.com@gmail.com

Group Tài liệu toán đặc sắc: //bit.ly/2MtVGKW

Page Tài liệu toán học: //bit.ly/2VbEOwC

Website: //tailieumontoan.com

• 1. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 [Zalo – Cô Trang] Bài 1: [5,0 điểm] Cho biểu thức: 2 1 1 : 2 1 1 1 x x x P x x x x x                . Với x  0, x  1. a] Rút gọn biểu thức P. b] Tìm x để 2 7 P  . c] So sánh: P2 và 2P. Bài 2: [4,0 điểm] a] Tìm , x y Z  thỏa mãn: 2 2 2 2 1 2 y x x y x y xy       b] Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . a b c a b c            Chứng minh rằng: 3 3 3 a b c   chia hết cho 3. Bài 3: [4,0 điểm] a] Giải phương trình sau: 2 2 4 20 25 6 9 10 20 x x x x x        b] Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1. Bài 4: [6,0 điểm] Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF. a] Chứng minh: CM vuông góc với EF. b] Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng. c] Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD Bài 5: [1,0 điểm] Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a b c a b c a b b c c a b c c a a b            -- Hết---- Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn Toán: Lớp 9 [Thời gian làm bài: 150 phút] ĐỀ CHÍNH THỨC
• 2. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 [Zalo – Cô Trang] ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 Bài Câu Nội dung Điểm 1 a Điều kiện: x  0, x  1.         3 2 1 1 : 2 1 1 1 2 1 1 : 2 1 1 1 2 [ 1] [ 1] 1 : 2 1 1 2 1 2 . 1 1 1 2 1 x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                        0,5 0,5 0,5 0,5 b Với x  0, x  1. Ta có: 2 7 2 2 7 1 1 7 6 0 [ 2][ 3] 0 P x x x x x x x x                  Vì 3 0 x   nên 2 0 x   4 x   [t/m] Vậy P = 2 7 khi x = 4 0,5 1,0 0,25 0,25 c Vì 0 1 1 x x x      0,25 0,25
• 3. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 [Zalo – Cô Trang] 2 2 2 0 2 1 0 2 [ 2] 0 2 0 2 x x P P P P P P P                 Dấu “=” xảy ra khi P = 2  x = 0 Vậy P2  2P 0,25 0,25 2 a   2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 0 1 [2 ] 1 y x x y x y xy y x x y x y xy x y y x                     Vì x, yZ nên x - 1Ư[-1] =  1; 1  +] Nếu x – 1 = 1 x = 2 Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1  y = 1 [t/m] hoặc y = 1 2  Z [loại] +] Nếu x – 1 = -1  x = 0 Khi đó 2y2 - y = 1  y = 1 [t/m] hoặc y = 1 2  Z [loại] Vậy 2 0 ; 1 1 x x y y           0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 b a] Từ giả thiết 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 [ ] a b c a b c 1 1 1 2[ ] 0 ab bc ca          Vì a, b, c  0 nên a + b + c = 0     3 3 3 3 3 3 3 3 a b c a b c a b 3ab[a b] c a b c 3abc                   0,5 0,5 0,5 0,25 0,25
• 4. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 [Zalo – Cô Trang] Vậy 3 3 3 a b c 3   với a, b, c Z  Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức x3 + y3 + z3 – 3xyz = [x + y + z][x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx] mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm. 3 a Đkxđ: x R   2 2 4 20 25 6 9 10 20 x x x x x        Vì 2 2 4 20 25 6 9 0 x x x x       với x   10x – 20 0 2 x    Ta có: 2 2 4 20 25 6 9 10 20 2 5 3 10 20 2 5 3 10 20 7 28 4[ / ] x x x x x x x x x x x x x t m                        Vậy phương trình có nghiệm là x = 4 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 b x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.   2 2 2 7[ ] 10 [ 2][ 5] 0 4 1 1 x y x y y x y x y y x y                       * x + y + 1 = - 4 khi x = - 5; y = 0 * x + y + 1 = - 1 khi x = - 2; y = 0 Vậy Amin = - 4 khi x= - 5; y = 0 Amax = - 1 khi x = -2; y = 0 0,5 0,5 0,5 0,5
• 5. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 [Zalo – Cô Trang] 4 a M F E C B A D N Ta có: ECD BCF  [cùng phụ với ECB] Chứng minh được: EDC =  FBC [cạnh góc vuông – góc nhọn]  CE = CF  ECF cân tại C Mà CM là đường trung tuyến nên CM EF 1,0 1,0 b * Vì  EDC =  FBC  ED = FB NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: BC2 = NB.BF a2 = NB.DE [đpcm] *CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên EF 2 CM  AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên EF 2 AM   CM = AM  M thuộc đường trung trực của AC. Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC  B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC [đpcm]. 0,5 0,5 0,5 0,5 c Đặt DE = x [x > 0]  BF = x SACFE = SACF + SAEF =   1 AF AE CB 2   0,5 0,25
• 6. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 [Zalo – Cô Trang]   1 [AB BF] AE AD 2 1 [a x].DE 2 1 [a x]x 2         SACFE = 3.SABCD 2 2 2 1 [a x]x 3a 6a ax x 0 2        [2a x][3a x] 0     Do x > 0; a > 0  3a + x > 0 2a x 0     x = 2a  A là trung điểm của DE  AE = a Vì AE //BC nên 1 AN AE NB BC    N là trung điểm của AB. Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD 0,5 0,5 0,25 5 * Vì a, b, c > 0 nên 1 a a a c a b a b a b c         . Tương tự: ; b b a c c b b c a b c c a a b c           2 a b c a b b c c a        [1] * Ta có: [ ] a a b c a b c    Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có: [ ] [ ] 0 2 2 1 [ ] a b c a b c a b c a b c           2 2 [ ] a a a a a b c a b c b c a b c           Tương tự: 2 2 ; b b c c a b c a c a b c b a         0,5
• 7. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 [Zalo – Cô Trang] 2 a b c b c c a a b        Dấu ‘ =” xảy ra khi a = b + c; b = c + a; c = a +b tức là a = b = c [vô lý]. 2 a b c b c c a a b        [2] Từ [1] [2] ta có đpcm. 0,5