Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. Mỗi tam giác có ba đường cao.
2. Tính chất ba đường cao của tam giác
Định lí: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác
3. Vẽ đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân.
Tính chất: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.
Nhận xét: Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường [đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao] trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
4. Đặc biệt đối với tam giác đều
Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp:
Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác.
Nếu \[H\] là giao điểm của hai đường cao kẻ từ \[B\] và \[C\] của \[\Delta ABC\] thì \[AH \bot BC.\]
Dạng 2: Bài toán về đường cao với tam giác, tam giác cân, tam giác đều
Phương pháp:
- Sử dụng tính chất vuông góc của đường cao đối với cạnh đối diện
- Sử dụng định lý “Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó” để một trong các đường trung tuyến, phân giác, đường cao, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng là các đường còn lại.
- Sử dụng nhận xét: Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường [đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao] trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Dạng 3: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
Phương pháp:
Nếu ba đường thẳng là ba đường cao của tam giác thì chúng cùng đi qua một điểm.
- Trả lời câu hỏi 1 Bài 9 trang 81 SGK Toán 7 Tập 2 Trả lời câu hỏi 1 Bài 9 trang 81 SGK Toán 7 Tập 2. Dùng eke vẽ 3 đường cao của tam giác ABC. Trả lời câu hỏi 2 Bài 9 trang 82 SGK Toán 7 Tập 2. Hãy phát biểu và chứng minh các trường hợp còn lại của nhận xét trên
Trong hình học, đường cao [tiếng Anh: altitude] của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. Cạnh đối diện này được gọi là đáy ứng với đường cao. Giao điểm của đường cao và đáy được gọi là chân của đường cao. Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy, và quá trình vẽ đường cao này được gọi là hạ vuông góc từ đỉnh đó. Đường cao là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu.
Độ dài đường cao được sử dụng để tính diện tích của một tam giác: diện tích tam giác bằng nửa tích đường cao nhân với đáy. Vì vậy, đường cao dài nhất vuông góc luôn với cạnh ngắn nhất của tam giác. Các đường cao cũng liên quan đến các cạnh của tam giác qua các hàm lượng giác.
Độ dài đường cao thường được ký hiệu là chữ h [viết tắt cho từ tiếng Anh height; có nghĩa là "chiều cao"] và thường viết xuống dưới là chữ đại diện cho độ dài của cạnh đường cao đó cắt. Ví dụ, đường cao vuông góc cạnh c sẽ được ký hiệu là .
Trong một [tam giác có hai cạnh bằng nhau], đường cao kẻ từ đỉnh cân - đường trung tuyến ứng với cạnh đáy - đường phân giác kẻ từ góc ở đỉnh trùng nhau.
Trong một tam giác vuông, đường cao có đáy là một cạnh góc vuông trùng với cạnh góc vuông còn lại. Đường cao với đáy là cạnh huyền chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài lần lượt là p và q, ta có quan hệ:
[định lý trung bình nhân]
Trực tâm[sửa | sửa mã nguồn]
Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trực tâm [tiếng Anh: orthocenter] của tam giác.
Ta có tính chất: "Khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm của một tam giác bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại".
Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông của nó.
Tính chất:
Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực xuất phát từ đỉnh đối diện của cạnh đó.
Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.
Định lý Carnot: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
Đường cao của tam giác cân bằng bao nhiêu?
- Đường cao trong tam giác cân là đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với điểm chia tỉ lệ các cạnh đáy theo tỉ lệ của căn bậc hai của cạnh bên [đối diện với đỉnh góc vuông]. - Giả sử tam giác ABC có đỉnh A là đỉnh vuông góc và AB = AC là cạnh đáy, AH là đường cao từ đỉnh A xuống cạnh đáy BC. Ta có công thức: AH = AB / 2.
Đường cao của tam giác cân có tính chất gì?
Vì đường cao trong tam giác cân là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy. Đường cao là đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác và vuông góc với cạnh đáy. Vì tam giác cân có hai cạnh đáy bằng nhau, nên đường cao trong tam giác cân sẽ chia cạnh đáy thành hai phần bằng nhau.
Đường cao của tam giác vuông bằng bao nhiêu?
Tóm lại, trong tam giác vuông, có mối liên quan giữa đường cao và cạnh huyền qua công thức Pythagoras, trong đó đường cao được tính bằng căn bậc hai của tích của hai cạnh góc vuông, chia cho độ dài cạnh huyền.
Đường cao trong tam giác đều cạnh a bằng bao nhiêu?
Độ dài đường cao trong tam giác đều có thể tính bằng công thức: độ dài đường cao = a√3/2, trong đó a là độ dài cạnh của tam giác đều.