Giải bài toán đồ thị bằng cách đặt hàm phụ

Chào các bạn.

Trong quá trình ôn thi Đại học, mình rất hay tìm tòi các cách giải trực quan đối với các bài toán cả Hình học lẫn Đại số. Và lần này, mình có phát hiện một số thứ hay ho trong các bài toán đồ thị hàm số, cụ thể là phương pháp biến đổi đồ thị.

Đây có thể không phải là bài viết về phương pháp giải nhanh bằng casio mà bạn mong chờ. Đây chỉ là là bài viết chia sẻ cách nhìn trực quan của mình đối với một số dạng bài đồ thị.

Loạt bài viết thích hợp nhất cho những bạn đã nắm các kiến thức về đồ thị hàm số và đang trong quá trình luyện đề với mục tiêu cao. Nếu bạn chỉ mới học về hàm số thì mình không khuyến khích lắm...

Mình xin giới thiệu một loạt bài viết tới 1. Trị tuyệt đối và ghép trị (bài viết này). 2. Bình phương: anh em của trị tuyệt đối. 3. Sự thật về các phép biến đổi đồ thị. 4. ??? Phụ lục

Phần 1. Trị tuyệt đối​

Kiến thức cơ bản

Từ đồ thị hàm số $y = f(x)$, ta có thể vẽ đồ thị các hàm số cơ bản sau:

Hàm số $y = f(x) + a$

Để vẽ đồ thị hàm số $y = f(x) + a$, ta dịch đồ thị lên một đoạn $a$ đơn vị.

Trong trường hợp $a < 0$, ta dịch đồ thị xuống một đoạn $a$ đơn vị.

Hàm số $y = f(x + a)$

Để vẽ đồ thị hàm số $y = f(x + a)$, ta dịch đồ thị qua trái một đoạn $a$ đơn vị.

Trong trường hợp $a < 0$, ta dịch đồ thị qua phải một đoạn $a$ đơn vị.

Mẹo: 2 trường hợp này rất dễ nhầm lẫn. Nếu khi gặp $f(x - 1)$ mà ta không biết phải dịch đồ thị qua trái hay qua phải, hãy thử vẽ 2 đường thẳng $y = x$ và $y = x - 1$ rồi quan sát sự dịch chuyển.

Hàm số $y = |f(x)|$

Để vẽ đồ thị hàm số $y = \left| f(x) \right|$, ta lật đồ thị qua trục $Ox$ (hay lật qua $y = 0$) (Tức là giữ lại phần đồ thị bên trên trục $Ox$, lấy đối xứng phần bên dưới qua trục $Ox$).

Hàm số $y = f(|x|)$

Để vẽ đồ thị hàm số $y = f\left(\left| x \right| \right)$, ta lấy đối xứng đồ thị qua trục $Oy$ (hay lấy đối xứng qua $x = 0$) (Tức là chỉ giữ lại phần đồ thị bên phải trục $Oy$, lấy đối xứng phần bên phải qua trục $Oy$ để được phần bên trái).

Dưới đây là một cái hình tổng hợp hết tất cả những gì mình ghi bên trên.

Mở rộng

Mình xin giới thiệu thêm vài dạng hàm số trước khi qua mục mới:

Hàm số $y = af(x)$ và $y = f(ax)$

Để vẽ đồ thị hàm số $y = a f(x)$, ta co dãn đồ thị $y = f(x)$ theo chiều dọc sao cho mỗi điểm có tung độ là $y$ sẽ trở thành $ay$. Tương tự, để vẽ đồ thị hàm số $y = f(ax)$, ta co dãn đồ thị $y = f(x)$ theo chiều dọc sao cho mỗi điểm có hoành độ là $x$ sẽ trở thành $\dfrac{x}a$.

Để ý rằng, sự co hay dãn đồ thị sẽ không làm thay đổi số lượng cực trị của hàm số. Vì thế các bài toán liên quan tới hai hàm số này ta sẽ chuyển hết về $y = f(x)$ cho dễ làm. Có thế ghi là "Hàm số $y = f(2x)$ có cùng số cực trị với hàm số $y = f(x)$" chẳng hạn, hoặc đặt $t = ax$ để đưa về $y = f(t)$...

Hàm số $y = |f(x) - a| + a$

Để vẽ đồ thị hàm số $y = |f(x) - a| + a$, ta lật đồ thị $y = f(x)$ qua $y = a$. Bạn có thể hiểu như sau: Từ đồ thị $f(x)$: - Dịch đồ thị xuống dưới $a$ đơn vị, được $g(x) = f(x) - a$. - Lật đồ thị qua $Ox$ được $h(x) = |g(x)| = |f(x) - a|$. - Dịch đồ thị lên trên $a$ đơn vị được $k(x) = h(x) + a = |f(x) - a| + a$.

Sau khi làm các bước như trên thì bạn sẽ thấy kết quả là đồ thị sẽ bị lật qua $y = a$.

Hàm số $y = f(|x - a| + a)$

Tương tự như trên, để vẽ đồ thị hàm số $y = f(|x - a| + a)$, ta lấy đối xứng đồ thị $y = f(x)$ qua $x = a$.

Phương pháp xử lý trị tuyệt đối lồng nhau (ghép trị)

Trị tuyệt đối bên ngoài $f(x)$

Chẳng hạn, từ đồ thị hàm số $y = f(x)$ ta phải làm thế nào để được đồ thị hàm số $y = ||f(x) - 3| + 2| - 4$? Phương pháp làm là đi từ trong ra ngoài: - Từ $f(x)$, ta sẽ tạo ra $|f(x) - 3|$ bên trong bằng cách lật đồ thị qua $y = 3$, thu được $$g(x) = |f(x) - 3| + 3.$$ - Từ $g(x)$, ta sẽ tạo ra $||f(x) - 3| + 2|$ hay $|g(x) - 1|$ bằng cách lật đồ thị qua $y = 1$, thu được $$h(x) = |g(x) - 1| + 1 = ||f(x) - 3| + 2| + 1.$$ - Từ $h(x)$, ta dịch đồ thị xuống $5$ đơn vị, tạo thành $$y = h(x) - 5 = ||f(x) - 3| + 2| - 4.$$

Trường hợp lồng trị tuyệt đối bên ngoài $f(x)$ khá là ít gặp.

Trị tuyệt đối bên trong $f(x)$

Chẳng hạn, từ đồ thị hàm số $y = f(x)$ ta phải làm thế nào để được đồ thị hàm số $y = f(||x - 3| + 2| - 4)$? Phương pháp làm là đi từ ngoài vào trong, nói đúng hơn là ngược với các bước làm khi trị tuyệt đối nằm bên ngoài $f(x)$. Ở đây ta phải dịch đồ thị trước, sau đó mới lấy đối xứng sau! - Từ $f(x)$, ta sẽ dịch đồ thị một đoạn $3 - 2 + 4$ đơn vị, tạo thành $$g(x) = f(x - 3 + 2 - 4).$$ - Từ $g(x)$, lấy đối xứng đồ thị qua $x = 3 - 2$ ta được $$h(x) = g(|x - 3 + 2| + 3 - 2) = f(|x - 3 + 2| - 4).$$ - Từ $h(x)$, lấy đối xứng đồ thị qua $x = 3$ ta được $$k(x) = h(|x - 3| + 3) = f(||x - 3| + 2| - 4).$$

Tóm tắt lại, cách làm là: Bỏ hết trị, tịnh tiến đồ thị $\rightarrow$ Lấy đối xứng từ ngoài vào trong.

Ví dụ

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $|f(|3x - 2|) + 1| = m$ có 8 nghiệm phân biệt? (Sưu tầm).

Ý tưởng đơn giản nhất là từ đồ thị $f(x)$, ta biến đổi thành đồ thị $|f(|3x - 2|) + 1| = m$. Ta thực hiện các bước như sau: - Đặt $t = 3x$ thì ta tìm $m$ để phương trình $|f(|t - 2|) + 1| = m$ có 8 nghiệm phân biệt. - Từ $f(x)$ ta dịch đồ thị qua phải một đoạn $2$ đơn vị, tạo thành $f(x - 2)$. - Lấy đối xứng đồ thị qua $x = 2$ ta được $f(|x - 2|)$. - Lấy đối xứng đồ thị qua $y = -1$ ta được $|f(|x - 2|) + 1| - 1$. - Dịch đồ thị lên một đoạn $1$ đơn vị ta được $|f(|x - 2|) + 1|$.

Ghi chú: 2 bước cuối cùng có thể thay bằng: - Dịch đồ thị xuống lên đoạn $1$ đơn vị ta được $f(|x - 2|) + 1$. - Lấy đối xứng đồ thị qua $y = 0$ ta được $|f(|x - 2|) + 1|$.

Đồ thị thu được:

Để ý rằng, thay vì dịch đồ thị thì mình đã dịch hệ trục $Oxy$ để không phải vẽ lại toàn bộ đồ thị. (Sẽ viết cụ thể hơn). Bây giờ, để phương trình ban đầu có 8 nghiệm phân biệt tức đồ thị cắt đường thẳng $y = m$ tại $8$ điểm phân biệt thì $m = 1$ (do $m$ nguyên).

Kết thúc phần 1

Đến đây, mình mong bạn sẽ bỏ túi được những điều sau trước khi qua phần 2: - Kiến thức về dịch đồ thị (phép cộng, trừ) và kéo dãn đồ thị (phép nhân, chia). - Kiến thức về lật hay lấy đối xứng đồ thị qua một đường thẳng (trị tuyệt đối). - Cách kết hợp các phép biến đổi đồ thị để thu được hàm số mong muốn. - Mẹo dịch đồ thị hàm số nhanh.

Hẹn gặp lại các bạn tại phần 2! (Sớm nhất là tuần sau).