Giải phương trình chứa căn bậc 3 lớp 9

Xem chi tiết >>> 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản và mở rộng

Phương trình chứa căn bậc 2 là phương trình có chứa đại lượng [ sqrt { f [ x ] } ]. Với dạng toán này, trước khi khởi đầu giải thì ta luôn phải tìm điều kiện kèm theo để biểu thức trong căn có nghĩa, tức là tìm khoảng chừng giá trị của [ x ] để [ f [ x ] geq 0 ] .

Phương pháp bình phương 2 vế được sử dụng để giải PT chứa căn bậc 2. Đây được xem là giải pháp đơn thuần và hay được sử dụng nhất, thường được dùng với những phương trình dạng : [ sqrt { f [ x ] } = g [ x ] ]

• Bước 1: Tìm điều kiện của [x] để [f[x] geq 0; g[x] geq 0]
• Bước 2: Bình phương hai vế, rồi rút gọn
• Bước 3: Giải tìm [x] và kiểm tra có thỏa mãn điều kiện hay không.

Ví dụ :

Giải phương trình : [ sqrt { x ^ 2-4 x + 3 } = 3 x – 7 ]

Cách giải:

ĐKXĐ : [ left { begin { matrix } x ^ 2-4 x + 3 geq 0 \ 3 x – 7 geq 0 end { matrix } right. Leftrightarrow left { begin { matrix } [ x-1 ] [ x-3 ] geq 0 \ 3 x geq 7 end { matrix } right. ] [ Leftrightarrowleft { begin { matrix } left [ begin { array } { l } x geq 3 \ x leq 1 end { array } right. \ xgeq frac { 7 } { 3 } end { matrix } right. Leftrightarrow xgeq 3 ] Bình phương 2 vế, ta có : [ x ^ 2-4 x + 3 = 3 x – 7 Leftrightarrow x ^ 2-7 x + 10 = 0 ] [ Leftrightarrow [ x-2 ] [ x-5 ] = 0 Leftrightarrow left [ begin { array } { l } x = 2 \ x = 5 end { array } right. ] Kiểm tra điều kiện kèm theo thấy [ x = 5 ] thỏa mãn nhu cầu

Kết luận : Nghiệm của phương trình đã cho là [ x = 5 ]

Phương pháp này sử dụng những bất đẳng thức cơ bản để chứng tỏ :
Vế trái [ geq ] Vế phải hoặc Vế trái [ leq ] Vế phải rồi sau đó “ ép ” cho dấu “ = ” xảy ra .

Ví dụ :

Giải phương trình : [ sqrt { 5 x – x ^ 2-4 } + sqrt { x-1 } = 2 sqrt { 2 } ]

Cách làm :

Điều kiện xác lập : [ left { begin { matrix } 5 x – x ^ 2-4 geq 0 \ x-1 geq 0 end { matrix } right. Leftrightarrow left { begin { matrix } [ x-1 ] [ x-4 ] leq 0 \ x geq 1 end { matrix } right. Leftrightarrow 1 leq x leq 4 ] Áp dụng BĐT [ sqrt { a } + sqrt { b } leq sqrt { 2 [ a + b ] } ], ta có : [ sqrt { 5 x – x ^ 2-4 } + sqrt { x-1 } leq sqrt { 2 [ 6 x – x ^ 2-5 ] } ] Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi : [ 5 x – x ^ 2-4 = x-1 Leftrightarrow [ x-1 ] [ x-3 ] = 0 ] [ Leftrightarrow left [ begin { array } { l } x = 1 \ x = 3 end { array } right. hspace { 1 cm } [ 1 ] ] Ta có : [ 6 x – x ^ 2-5 = – [ x ^ 2-6 x + 9 ] + 4 = 4 – [ x-3 ] ^ 2 leq 4 ] Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi [ x = 3 hspace { 1 cm } [ 2 ] ] Vậy : [ sqrt { 5 x – x ^ 2-4 } + sqrt { x-1 } leq sqrt { 2 [ 6 x – x ^ 2-5 ] } leq sqrt { 8 } = 2 sqrt { 2 } ]

Do đó, để thỏa mãn nhu cầu phương trình đã cho thì [ [ 1 ] [ 2 ] ] phải thỏa mãn nhu cầu, hay [ x = 3 ]

Với những phương trình dạng : [ sqrt { f [ x ] } pm sqrt { g [ x ] } = k ] ta hoàn toàn có thể đặt ẩn phụ [ left { begin { matrix } a = sqrt { f [ x ] } \ b = sqrt { g [ x ] } end { matrix } right. ] rồi giải hệ phương trình hai ẩn [ a, b ]

Ví dụ :

Giải phương trình : [ sqrt { x ^ 2 + 5 } – sqrt { x ^ 2-3 } = 2 ]

Cách giải:

Điều kiện xác lập : [ left [ begin { array } { l } x geq sqrt { 3 } \ x leq – sqrt { 3 } end { array } right. ] Đặt [ left { begin { matrix } a = sqrt { x ^ 2 + 5 } \ b = sqrt { x ^ 2-3 } end { matrix } right. ] ta có : [ left { begin { matrix } a-b = 2 \ a ^ 2 – b ^ 2 = 8 end { matrix } right. Leftrightarrow left { begin { matrix } a-b = 2 \ [ a-b ] [ a + b ] = 8 end { matrix } right. ] [ Leftrightarrow left { begin { matrix } a-b = 2 \ a + b = 4 end { matrix } right. Leftrightarrow left { begin { matrix } a = 3 \ b = 1 end { matrix } right. ] Thay vào ta tìm được [ x = 1 ] [ thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo ]

Vậy nghiệm của phương trình là [ x = 1 ]

Với dạng bài này, ta lập phương hai vế để phá bỏ căn thức rồi rút gọn sau đó quy về tìm nghiệm của phương trình : [ g ^ 3 [ x ] – f [ x ] = 0 ]

Ví dụ:

Giải phương trình : [ sqrt [ 3 ] { 3 x – 4 } = x-2 ]

Cách giải:

Lập phương 2 vế phương trình ta có : [ 3 x – 4 = [ x-2 ] ^ 3L eftrightarrow x ^ 3-6 x ^ 2 + 9 x – 4 = 0 ] [ Leftrightarrow [ x-1 ] ^ 2 [ x-4 ] = 0 ]

[ Leftrightarrow left [ begin { array } { l } x = 1 \ x = 4 end { array } right. ]

Với dạng bài này ta lập phương 2 vế, phương trình trở thành : [ A + B + 3 sqrt [ 3 ] { AB } [ sqrt [ 3 ] { A } + sqrt [ 3 ] { B } ] = C ] Thay [ sqrt [ 3 ] { A } + sqrt [ 3 ] { B } = sqrt [ 3 ] { C } ] vào ta được : [ sqrt [ 3 ] { ABC } = C-A-B [ 2 ] ] Phương trình trở về dạng [ sqrt [ 3 ] { f [ x ] } = g [ x ] ] .

Chú ý : Sau khi giải ra nghiệm, ta cần thử lại vào phương trình đã cho vì phương trình [ [ 2 ] ] chỉ là hệ quả của phương trình bắt đầu

Ví dụ :

Giải phương trình :
[ sqrt [ 3 ] { 3 x – 4 } + sqrt [ 3 ] { x + 3 } = sqrt [ 3 ] { 4 x – 1 } ]

Cách giải:

Lập phương 2 vế ta được : [ [ 3 x – 4 ] + [ x + 3 ] + 3 sqrt [ 3 ] { [ 3 x – 4 ] [ x + 3 ] }. [ sqrt [ 3 ] { 3 x – 4 } + sqrt [ 3 ] { x + 3 } ] = 4 x – 1 ] [ Rightarrow 3 sqrt [ 3 ] { [ 3 x – 4 ] [ x + 3 ] }. sqrt [ 3 ] { 4 x – 1 } = 0 ] [ Rightarrow 3 sqrt [ 3 ] { [ 3 x – 4 ] [ x + 3 ] }. sqrt [ 3 ] { 4 x – 1 } = 0 Rightarrow left [ begin { array } { l } x = frac { 4 } { 3 } \ x = – 3 \ x = frac { 1 } { 4 } end { array } right. ] Thử lại thấy cả 3 nghiệm đều thỏa mãn nhu cầu .

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là : [ frac { 4 } { 3 } ; – 3 ; frac { 1 } { 4 } ]

Để giải phương trình chứa căn bậc 4 thì ta cần năm rõ hằng đẳng thức sau đây :
[ [ x + y ] ^ 4 = x ^ 4 + 4 x ^ 3 y + 6 x ^ 2 y ^ 2 + 4 x y ^ 3 + y ^ 4 ]

Ví dụ :

Giải phương trình : [ sqrt [ 4 ] { x ^ 4-4 x ^ 3 + 17 } – x + 1 ]

Cách giải :

Điều kiện xác lập : [ left { begin { matrix } x ^ 4-4 x ^ 3 + 17 geq 0 \ x geq 1 end { matrix } right. ] Phương trình đã cho tương tự với : [ sqrt [ 4 ] { x ^ 4-4 x ^ 3 + 17 } = x-1 Rightarrow x ^ 4-4 x ^ 3 + 17 = [ x-1 ] ^ 4 ] [ Rightarrow x ^ 4-4 x ^ 3 + 17 = x ^ 4 – 4 x ^ 3 + 6 x ^ 2 – 4 x + 1 ] [ Rightarrow 6 x ^ 2-4 x – 16 = 0 Rightarrow [ x-2 ] [ 3 x + 4 ] = 0 ] [ Rightarrow left [ begin { array } { l } x = 2 \ x = – frac { 4 } { 3 } end { array } right. ]

Kết hợp điều kiện kèm theo ta được nghiệm của phương trình đã cho là [ x = 1 ]

Về cơ bản, cách giải bất phương trình chứa căn thức không khác cách giải PT chứa căn nhiều, nhưng trong khi trình diễn tất cả chúng ta cần quan tâm về dấu của bất phương trình .

Các bước làm cũng tương tự cách giải PT chứa căn

Ví dụ :

Giải bất phương trình : [ x-3-sqrt { 5 – x } geq 0 ]

Cách giải:

Điều kiện xác lập : [ left { begin { matrix } x-3 geq 0 \ 5 – x geq 0 end { matrix } right. Leftrightarrow left { begin { matrix } x geq 3 \ x leq 5 end { matrix } right. Leftrightarrow 3 leq x leq 5 ] Bất phương trình đã cho tương tự với : [ x-3 geq sqrt { 5 – x } Leftrightarrow x ^ 2-6 x + 9 geq 5 – x ] [ Leftrightarrow x ^ 2-5 x + 4 geq 0 Leftrightarrow [ x-4 ] [ x-1 ] geq 0 ] [ Leftrightarrow left { begin { matrix } x geq 4 \ x leq 1 end { matrix } right. ]

Kết hợp điều kiện kèm theo ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là [ x in mathbb { R } | xgeq 4 ]

Đây là chiêu thức nâng cao, dùng để giải những bài toán bất PT chứa căn khó. Phương pháp này dựa trên việc vận dụng những đẳng thức sau : [ sqrt { a } – sqrt { b } = frac { a-b } { sqrt { a } + sqrt { b } } ] [ sqrt { a } + sqrt { b } = frac { a-b } { sqrt { a } – sqrt { b } } ] [ sqrt [ 3 ] { a } – sqrt [ 3 ] { b } = frac { a-b } { sqrt [ 3 ] { a ^ 2 } + sqrt [ 3 ] { ab } + sqrt [ 3 ] { b ^ 2 } } ]

[ sqrt [ 3 ] { a } + sqrt [ 3 ] { b } = frac { a + b } { sqrt [ 3 ] { a ^ 2 } – sqrt [ 3 ] { ab } + sqrt [ 3 ] { b ^ 2 } } ]

Ví dụ :

Giải bất phương trình : [ sqrt { x + 5 } – sqrt { 2 x + 3 } geq x ^ 2-4 ]

Cách giải:

Điều kiện : [ left { begin { matrix } x geq – 5 \ x geq – frac { 3 } { 2 } end { matrix } right. Leftrightarrow xgeq – frac { 3 } { 2 } ] Ta có : [ sqrt { x + 5 } – sqrt { 2 x + 3 } = frac { [ x + 5 ] – [ 2 x + 3 ] } { sqrt { x + 5 } + sqrt { 2 x + 3 } } = frac { 2 – x } { sqrt { x + 5 } + sqrt { 2 x + 3 } } ] [ x ^ 2-4 = [ x-2 ] [ x + 2 ] ] Vậy bất phương trình đã cho tương tự với : [ frac { 2 – x } { sqrt { x + 5 } + sqrt { 2 x + 3 } } geq [ x-2 ] [ x + 2 ] ] [ Leftrightarrow [ x-2 ] [ x + 2 + frac { 1 } { sqrt { x + 5 } + sqrt { 2 x + 3 } } ] leq 0 ] Từ ĐKXĐ có [ x geq frac { 3 } { 2 } Rightarrow x + 2 geq frac { 1 } { 2 } > 0 ] Vậy nên : [ x + 2 + frac { 1 } { sqrt { x + 5 } + sqrt { 2 x + 3 } } geq 0 ] Vậy bất phương trình đã cho tương tự với : [ x-2 leq 0 Leftrightarrow x leq 2 ] Kết hợp Điều kiện xác lập ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là :

[ – frac { 3 } { 2 } leq x leq 2 ]

Đây là giải pháp đơn thuần và thường được sử dụng trong những bài toán hệ PT chứa căn. Để giải hệ phương trình chứa căn bằng chiêu thức thế, ta làm theo những bước sau :

• Bước 1: Tìm Điều kiện xác định
• Bước 2: Chọn một phương trình đơn giản hơn trong số hai phương trình, biến đổi để quy về dạng: [x =f[y]]
• Bước 3: Thay [x =f[y]] vào phương trình còn lại rồi giải phương trình theo ẩn [y]
• Bước 4: Từ [y] thay vào [x =f[y]] để tìm ra [x]. Đối chiều với ĐKXĐ rồi kết luận

Ví dụ :

Giải hệ phương trình :
[ left { begin { matrix } sqrt { x + 1 } = y + 2 \ sqrt { x + 2 y – 1 } = 2 y + 1 end { matrix } right. ]

Cách giải:

Điều kiện xác lập : [ left { begin { matrix } xgeq – 1 \ y geq – 2 \ x geq 1-2 y \ y geq – frac { 1 } { 2 } end { matrix } right. Leftrightarrow left { begin { matrix } xgeq – 1 \ x geq 1-2 y \ y geq – frac { 1 } { 2 } end { matrix } right. ] Từ PT [ 1 ] ta có : [ x + 1 = [ y + 2 ] ^ 2 = y ^ 2 + 4 y + 4 ] [ Leftrightarrow x = y ^ 2-4 y + 3 hspace { 1 cm } [ * ] ] Thay vào PT [ 2 ] ta được : [ sqrt { y ^ 2 + 4 y + 3 + 2 y – 1 } = 2 y + 1 ] [ Leftrightarrow y ^ 2 + 6 y + 2 = 4 y ^ 2 + 4 y + 1 ] [ Leftrightarrow 3 y ^ 2 – 2 y – 1 = 0 ] [ Leftrightarrow [ 3 y + 1 ] [ y-1 ] = 0 Leftrightarrow left [ begin { array } { l } y = 1 \ y = – frac { 1 } { 3 } end { array } right. ] Thay vảo [ [ * ] ] ta được : [ left [ begin { array } { l } y = 1 ; x = 8 \ y = – frac { 1 } { 3 } ; x = frac { 1 } { 9 } end { array } right. ]

Kết hợp điều kiện kèm theo xác lập thấy cả hai cặp nghiệm đều thỏa mãn nhu cầu .

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình gồm 2 ẩn [ x ; y ] sao cho khi ta đổi khác vai trò [ x ; y ] cho nhau thì hệ phương trình không đổi khác : [ left { begin { matrix } f [ x ; y ] = 0 \ g [ x ; y ] = 0 end { matrix } right. ] Với :

[ left { begin { matrix } f [ x ; y ] = f [ y ; x ] \ g [ x ; y ] = g [ y ; x ] end { matrix } right. ]

Đối với dạng toán này, cách giải vẫn giống như những bước giải hệ phương trình đối xứng loại 1, quan tâm có thêm bước tìm ĐKXĐ

• Bước 1: Tìm Điều kiện xác định
• Bước 2: Đặt [S = x + y; P = xy] [với [S^2 geq 4P]]. Khi đó, ta đưa hệ về hệ mới chứa [S;P] .
• Bước 3: Giải hệ mới tìm [S;P]. Chọn [S;P] thỏa mãn [S^2 geq 4P]
• Bước 4: Với [S;P] tìm được thì [x;y] là nghiệm của phương trình: [t^2 -St +P =0] [ sử dụng định lý Vi-ét đảo để giải ]

Chú ý : Một số màn biểu diễn đối xứng qua [ S ; P ] :

Nếu [ [ x ; y ] = [ a ; b ] ] là nghiệm thì [ [ x ; y ] = [ b ; a ] ] cũng là nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :
[ left { begin { matrix } x + y-sqrt { xy } = 3 \ sqrt { x + 1 } + sqrt { y + 1 } = 4 end { matrix } right. ]

Cách giải :

ĐKXĐ : [ left { begin { matrix } x geq – 1 \ y geq – 1 \ xy geq 0 end { matrix } right. hspace { 1 cm } [ * ] ] Đặt [ S = x + y hspace { 5 mm } ; P = xy ] với [ left { begin { matrix } S ^ 2 geq 4P \ Pgeq 0 \ S geq – 2 end { matrix } right. hspace { 1 cm } [ * * ] ] Bình phương 2 vế PT [ 2 ] hệ phương trình đã cho tương tự với : [ left { begin { matrix } x + y-sqrt { xy } = 3 \ x + y + 2 + sqrt { x + y + xy + 1 } = 16 end { matrix } right. ] [ Leftrightarrow left { begin { matrix } S – sqrt { P } = 3 \ S + 2 + 2 sqrt { S + P + 1 } = 16 end { matrix } right. ] [ Leftrightarrow left { begin { matrix } P = S ^ 2 – 6S + 9 \ S – 14 = – 2 sqrt { S + P + 1 } end { matrix } right. ] với [ 3 leq Sleq 14 ] Thay [ P = S ^ 2 – 6S + 9 ] từ PT [ 1 ] vào PT [ 2 ] ta có : [ S-14 = – 2 sqrt { S ^ 2-5 S + 10 } ] [ Leftrightarrow S ^ 2-28 S + 196 = 4 [ S ^ 2-5 S + 10 ] ] [ Leftrightarrow 3S ^ 2 + 8S-156 = 0 Leftrightarrow [ S-6 ] [ 3S + 26 ] = 0 ] [ Leftrightarrow left { begin { matrix } S = 6 \ S = – frac { 26 } 3 { } end { matrix } right. ] Kết hợp ĐKXĐ ta được [ S = 6 Rightarrow P = 9 ] Vậy [ x ; y ] là nghiệm của phương trình : [ t ^ 2-6 t + 9 = 0 Leftrightarrow t = 3 ]

Vậy [ x = y = 3 ] [ thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo ] .

Xem chi tiết >>> Các phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2

Xem thêm >>> Chuyên đề Hệ phương trình đẳng cấp cơ bản và nâng cao

Xem thêm: [SGK Scan] ✅ Phương trình dường thẳng

Bài viết trên đây của duongleteach.com đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về PT chứa căn thức cũng như phương pháp giải phương trình chứa căn, bất phương trình, hệ PT chứa căn. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề phương trình chứa căn thức. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết cụ thể qua bài giảng dưới đây :
[ Nguồn : duongleteach.com ]

Source: //camnangbep.com
Category: Học tập

Bài viết mới nhất