Danh mục: Toán học
... DF⇒ D thuộc tia phân giác của góc BÂC⇒ A, D, I thẳng hàng5] Ta có IBDDIBˆˆ= ⇒ DBI cân tại D.a] 3] , 1], 2], 4], 5] b] 3] , 2], 1], 4], 5] c] 3] , 1], 4], 2], 5] d] 1], 3] , 4], 2], 5] EABIFCD ... CBDCBIIBDˆˆˆ+=IABIBADIBˆˆˆ+=[DIBˆ là góc ngoài của ABI]Mà ][ˆˆ,ˆˆgtCBDIABCBIIBA ==Do đó IBDDIBˆˆ= 3] Gọi E, F là hình chiếu của D trên AB, AC4] Xét EDB [090ˆ=BED]...
- 2
- 619
- 0
1. Đường phân giác của tam giác
Trong tam giác \[ABC\], tia phân giác của góc \[A\] cắt cạnh \[BC\] tại điểm \[M\].
Khi đó, đoạn thẳng \[AM\] được gọi là đường phân giác [xuất phát từ đỉnh \[A\]]của tam giác \[ABC\]. Đôi khi ta cũng gọi đường thẳng \[AM\] là đường phân giác của tam giác \[ABC\].
Tương tự như vậy:
+ Tia phân giác của góc \[B\] cắt cạnh \[AC\] tại điểm \[N\]. Khi đó đoạn thẳng [hay đường thẳng] \[BN\] được gọi là đường phân giác [xuất phát từ đỉnh \[B\]] của tam giác \[ABC\].
+ Tia phân giác của góc \[C\] cắt cạnh \[AB\] tại điểm \[P\]. Khi đó đoạn thẳng [hay đường thẳng] \[CP\] được gọi là đường phân giác [xuất phát từ đỉnh \[C\]] của tam giác \[ABC\].
Như vậy, mỗi tam giác có 3 đường phân giác.
Xét tam giác \[ABC\] trên, 3 đường phân giác của tam giác là \[AM\], \[BN\] và \[CP\].
Ta có tính chất:
Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.
Ví dụ: Xét tam giác \[ABC\] cân tại \[A\], \[AM\] là đường phân giác xuất phát từ đỉnh \[A\]:
Ta chứng minh được \[AM\] là đường trung tuyến ứng với cạnh \[BC\], nghĩa là \[M\] là trung điểm \[BC\], như sau:
Xét \[\Delta ABM\] và \[\Delta ACM\] có:
\[AB=AC\] [do tam giác \[ABC\] cân tại \[A\]]
\[\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\] [do \[AM\] là phân giác góc \[A\]]
\[AM\] chung
\[\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\left[c.g.c\right]\]
Nên \[MB=MC\] [hai cạnh tương ứng]
Suy ra \[M\] là trung điểm \[BC\].
@1727170@
2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Định lí:
Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Chứng minh định lí: Xét tam giác \[ABC\], gọi \[I\] là giao điểm của hai đường phân giác xuất phát từ đỉnh \[B\] và đỉnh \[C\] của tam giác. Ta sẽ chứng minh \[AI\] là tia phân giác góc \[A\] và \[I\] cách đều 3 cạnh của tam giác \[ABC\] .
Vì \[I\] nằm trên tia phân giác \[BE\] của góc \[B\] nên theo định lí về tính chất của tia phân giác, ta có: \[IL=IH\] [1]
Vì \[I\] nằm trên tia phân giác \[CF\] của góc \[C\] nên theo định lí về tính chất của tia phân giác, ta có: \[IK=IH\] [2]
Từ [1] và [2] ta suy ra \[IL=IK=IH\]
Mặt khác, do \[IL=IK\], hay \[I\] cách đều hai cạnh \[AB,AC\] của góc \[A\]. Suy ra \[I\] nằm trên tia phân giác góc \[A\], hay \[AI\] chính là đường phân giác [xuất phát từ đỉnh \[A\]] của tam giác \[ABC\].
Tóm lại: 3 đường phân giác của tam giác \[ABC\] đồng quy tại điểm \[I\] và điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác, nghĩa là \[IL=IK=IH\].
Ví dụ 1: Cho tam giác \[MNP\] có \[I\] là giao điểm 2 tia phân giác góc \[N\] và góc \[P\]. Biết \[\widehat{NMP}=70^0\].
a] Tính góc \[\widehat{NIP}\]?
b] Tính góc \[\widehat{NMI}\]?
c] Điểm \[I\] có cách đều 3 cạnh của tam giác không? Vì sao?
Giải:
a] Xét trong tam giác \[MNP\] ta có: \[\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180^0\]
Mà \[\widehat{NMP}=70^0\] \[\Rightarrow\widehat{N}+\widehat{P}=180^0-70^0=110^0\]
Lại có: \[I\] là giao điểm 2 tia phân giác góc \[N\] và góc \[P\]
\[\Rightarrow\widehat{INP}=\dfrac{1}{2}\widehat{N};\widehat{IPN}=\dfrac{1}{2}\widehat{P}\]
\[\Rightarrow\widehat{INP}+\widehat{IPN}=\dfrac{1}{2}\left[\widehat{N}+\widehat{P}\right]=\dfrac{1}{2}.110^0=55^0\]
Xét trong tam giác \[INP\] ta có: \[\widehat{INP}+\widehat{IPN}+\widehat{NIP}=180^0\]
\[\Rightarrow\widehat{NIP}=180^0-55^0=125^0\]
b] Do \[I\] là giao điểm 2 tia phân giác góc \[N\] và góc \[P\]
Nên ta suy ra \[MI\] là tia phân giác góc \[M\] [tương tự cách chứng minh định lí]
\[\Rightarrow\widehat{NMI}=\dfrac{1}{2}\widehat{M}=\dfrac{1}{2}.70^0=35^0\]
c] Do \[I\] là giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác \[MNP\]
Theo định lí về tính chất 3 đường phân giác trong tam giác
suy ra \[I\] cách đều 3 cạnh của tam giác \[MNP\].