Giới hạn nào không phải là giới hạn vô định năm 2024
|
* Quy tắc "nhà giàu không cần đồng lẻ" : khi n-> oo, thì ta chỉ giữ lại số hạng có bậc lớn nhất, còn lại những thằng khác ném hết đi. Ví dụ: [TEX]n^2+n[/TEX] thì chỉ giữ lại [TEX]n^2[/TEX]. Đơn giản thế này, ta có 1 triệu (n), ta thấy mình "hơi giàu" so với người đang chỉ có vài nghìn, nhưng 1 người khác có [TEX]n^2[/TEX], tức là 1000 tỷ. Ông này sẽ nhìn 1 triệu của ta không khác gì đống giấy bạc lẻ, không đáng đếm xỉa. Đó là lí do vì sao n bị quẳng đi so với [TEX]n^2[/TEX], nó quá bé! * Nhận diện giới hạn vô định: Giới hạn vô định là giới hạn có dạng khi mà ta dùng quy tắc nhà giàu, nó về dạng oo-oo=0. Ví dụ : [tex]lim \sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+n}=lim\sqrt{n^2}-lim\sqrt{n^2}=0[/tex] Ấy thế gọi nó là vô định. Nhưng thế này thì không phải vô định này: [tex]lim (\sqrt{4n^2+2n}-\sqrt{n^2+n})=lim (\sqrt{4n^2}-\sqrt{n^2})=limn[/tex] Nó khác 0 nên không phải vô định. Vậy gặp vô định thì khi đó ta phải dùng liên hợp, để khử bỏ phần vô định. Khi khử xong ta có thể dùng lại quy tắc nhà giàu để tính. * Chú ý: quy tắc nhà giàu để làm trắc nghiệm, hoặc là kiểm nghiệm đáp án nhanh khi ta là tự luận. Chứ còn tự luận thì các bạn cứ phải đặt n bậc cao nhất ra ngoài, rồi áp dụng cái [tex]lim\frac{1}{n^k}=0[/tex] để tính. Vì đây là bộ bảo thế, mình phải theo. Bản thân mình thấy cách viết thế tốn thời gian và giấy mực mà không có ý nghĩa gì cả. * Cách liên hợp: đôi khi ta có thể liên hợp ngay, còn không thì phải thêm bớt ( đặc biệt có các căn khác bậc thì phải thêm bớt ) . Quy tắc thêm bớt là cứ làm sao cho sau khi liên hợp, ta khử được thằng bậc cao nhất ở trong căn, là thành công. Các hằng đẳng thức phải nhớ để thêm bớt liên hợp: [TEX]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/TEX] [TEX]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/TEX] [TEX]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/TEX] * Bài ví dụ : Tính các giới hạn sau: 1. [tex]lim(\sqrt{n^2+n}-n)[/tex] Giải: Đây là dạng vô đinh, và có căn bậc 2, nên phải liên hợp theo: [TEX]a^2-b^2[/TEX] Ta thấy [TEX]a^2=n^2+n[/TEX], ta cần có [TEX]-n^2[/TEX] để triệt tiêu bậc cao nhất, vừa khớp với [TEX]-n[/TEX] đã có. Vậy [tex]lim(\sqrt{n^2+n}-n)=lim\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=lim\frac{n}{n+n}=\frac{1}{2}[/tex] 2. [tex]lim(\sqrt{4n^2+2n+1}-\sqrt{4n^2+n})[/tex] Giải: đây là dạng vô định, ta cần triệt tiêu [TEX]4n^2[/TEX] khi dùng liên hợp, do đó lượng b ta cần ở đây là [TEX]2n[/TEX] Vậy: [tex]lim(\sqrt{4n^2+2n+1}-\sqrt{4n^2+n})=lim((\sqrt{4n^2+2n+1}-2n)-(\sqrt{4n^2+n}-2n))[/tex] \=[tex]lim(\frac{2n+1}{\sqrt{4n^2+2n+1}+2n}-\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n})=lim(\frac{2n}{\sqrt{4n^2}+2n}-\frac{n}{\sqrt{4n^2}+2n})=\frac{1}{4}[/tex] 3. [tex]lim(\sqrt{4n^2+n}-\sqrt[3]{8n^3+9n^2+9n+1})[/tex] Giải: Ta thấy đây là dạng vô định : 2n-2n=0, cần thêm bớt để liên hợp. Ở căn đầu tiên ta cần triệt tiêu [TEX]4n^2[/TEX], nên lượng cần thêm bớt là [TEX]2n[/TEX], nó sẽ tự khớp với căn bậc 3 còn lại. Vậy: [tex]lim((\sqrt{4n^2+n}-2n)-(\sqrt[3]{8n^3+9n^2+9n+1}-2n))=lim(\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n}-\frac{9n^2+9n+1}{\sqrt[3]{(8n^3+9n^2+9n+1)^2}+2n\sqrt[3]{(8n^3+9n^2+9n+1)^2}+4n^2})[/tex] Đến đây biểu thức nhìn cồng kềnh nhất là ở mẫu của thằng căn bậc 3, ta dùng quy tắc nhà giàu thì nó tối giản nhanh, chỉ còn: [tex]\sqrt[3]{(8n^3)^2}+2n\sqrt[3]{8n^3}+4n^2=12n^2[/tex] Vậy ta có kết quả cần tính bằng: [tex]lim(\frac{n}{\sqrt{4n^2}+2n}-\frac{9n^2}{12n^2})=\frac{-1}{2}[/tex] Về vấn đề giới hạn hàm số, các dạng vô định và cách khử dạng vô định – quy tắc L’hospitale GV. Ngô An Hòa Kỳ. I/- NÓI VỀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH Có tất cả 7 dạng vô định, được mô tả như sau:
có dạng vô định (∞ - ∞) khi:
có dạng vô định (0. ∞) khi:
). có dạng vô định ( ) khi:
có dạng vô định ( ) khi:
có dạng vô định 00 khi:
có dạng vô định ∞0 khi:
có dạng vô định 1∞ khi: II/- QUY TẮC L’HOSPITALE
Khi gặp một trong hai dạng vô định trên, ta sẽ biến đổi tương đương như sau: và tiếp tục biến đổi tương đương như vậy đến khi nào khử triệt để các dạng vô định và xác định được giới hạn. Tuy nhiên, định lý L’hospitale chỉ là ĐIỀU KIỆN CẦN để xác định giới hạn (f/g), trường hợp trong quá trình biến đổi nảy sinh một hàm tương đương, mà hàm này không tồn tại giới hạn (!!!). Ta chưa thể kết luận được gì về sự tồn tại giới hạn (f/g)!
L’hospitale để khử. Như vậy, ta cần biến đổi để chuyển các dạng vô định khác về một trong 2 dạng đã nêu, cụ thể như sau: 2.1 (∞ - ∞). Ta dùng biến đổi đại số bình thường, nhân lượng liên hiệp. 2.2 (0. ∞) \= (dạng 0/0) = (dạng ∞/∞). |
