Máy tính Tam giác Pascal tạo nhiều hàng, các hàng cụ thể hoặc tìm các mục riêng lẻ trong Tam giác Pascal
Tam giác Pascal là gì
Tam giác Pascal là sự sắp xếp hình tam giác của các số trong hàng [n] và cột [k] sao cho mỗi số [a] trong một hàng và cột nhất định được tính bằng n giai thừa, chia cho k giai thừa nhân với n trừ k giai thừa. công thức là
\[ a_{n,k} \equiv \frac{n. }{[k. [n - k]. ]} \equiv \binom{n}{k} \]Lưu ý rằng ký hiệu hàng và cột bắt đầu bằng 0 thay vì 1. Vì vậy, biểu thị số ở hàng đầu tiên là a0,0, hàng thứ hai là a1,0, a1,1, hàng thứ ba là a2,0, a2,1, a2,2, v.v. Ngoài ra, đối với bất kỳ phần tử nào, số cột nhỏ hơn hoặc bằng số hàng của nó, k ≤ n
Tam giác Pascal được sử dụng để làm gì?
Tam giác Pascal rất hữu ích trong việc tính toán
- khai triển nhị thức
- xác suất
- tổ hợp
Trong khai triển nhị thức của [x + y]n, các hệ số của mỗi số hạng giống như các phần tử của hàng thứ n trong tam giác Pascal. Ví dụ: nếu bạn có [x + y]4 thì các hệ số của mỗi số hạng xy giống như các số ở hàng 4 của tam giác. 1, 4, 6, 4, 1. Hãy nhớ rằng khi không có hệ số thì cũng giống như có hệ số bằng 1
[x + y]4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Trong các bài toán xác suất, trong đó cơ hội xảy ra một trong hai kết quả của một biến cố là bằng nhau, tổng số kết quả của n biến cố là tổng của các phần tử ở hàng thứ n của tam giác
Ví dụ tính tổng các số ở hàng thứ 3 của tam giác Pascal. 1 + 3 + 3 + 1 = 8. Vì vậy, nếu bạn tung đồng xu 3 lần liên tiếp, sẽ có 8 kết quả có thể xảy ra cho chuỗi mặt ngửa/sấp của bạn. H H H, H H T, H T H, T H H, H T T, T H T, T T H, T T T
Sau đó, bạn có thể xác định xác suất để bạn nhận được 1 mặt ngửa và 2 mặt ngửa trong 3 lần tung đồng xu liên tiếp là bao nhiêu. 3/8 = 37. 5%
Trong các bài toán tổ hợp, tam giác Pascal cho biết số cách khác nhau để chọn k mục trong tổng số n. Bạn sẽ tìm thấy số này trong cột thứ k của hàng thứ n của tam giác
Giả sử bạn muốn biết có bao nhiêu cách khác nhau để chọn 2 ngày trong 5 ngày trong tuần. Đi đến hàng thứ 5 của tam giác Pascal bên dưới và nhìn vào cột thứ 2. Số thứ 2 của hàng thứ 5 là 10. [Hãy nhớ rằng, hàng đầu tiên của tam giác được tính là 0 và số đầu tiên trong bất kỳ hàng nào được tính là 0. ]
Máy tính kết hợp cho 2 mẫu từ 5 đối tượng
Ví dụ. Tam giác Pascal Hàng từ 0 đến 5
Các mẫu trong Tam giác Pascal
- Mỗi mục là tổng của hai mục trên nó. Cộng các đường chéo phía trên bên trái và phía trên bên phải để tính toán một mục nhập. Khi đường chéo trên không tồn tại, hãy sử dụng 0
- Mục thứ hai và mục thứ hai đến mục cuối cùng trong mỗi hàng là số của hàng đó [vì hàng đầu tiên là hàng 0]. Sau 0, các số hàng là số tự nhiên, số đếm hoặc số nguyên dương
- Các mục của tam giác đối xứng qua cột giữa không bao gồm cột giữa
- Tổng các phần tử của bất kỳ hàng nào gấp hai lần tổng của hàng trước nó
Để biết thêm các mẫu của Tam giác Pascal, xem
Người giới thiệu
Stover, Christopher và Weisstein, Eric W. "Tam giác Pascal. " Từ MathWorld--Một tài nguyên web Wolfram
Một trong những Mẫu số thú vị nhất là Tam giác Pascal [được đặt tên theo Blaise Pascal, một nhà toán học và triết gia nổi tiếng người Pháp]
Để tạo hình tam giác, hãy bắt đầu bằng "1" ở trên cùng, sau đó tiếp tục đặt các số bên dưới hình tam giác theo mẫu hình tam giác.
Mỗi số là các số ngay phía trên nó được cộng lại với nhau.
[Ở đây tôi đã nhấn mạnh rằng 1+3 = 4]
Các mẫu trong tam giác
đường chéo
Tất nhiên, đường chéo đầu tiên chỉ là "1"
Đường chéo tiếp theo có các số đếm [1,2,3, v.v.]
Đường chéo thứ ba có các số tam giác
[Đường chéo thứ tư, không tô đậm, có các số tứ diện. ]
đối xứng
Tam giác cũng đối xứng. Các số ở bên trái có các số trùng khớp ở bên phải, giống như hình ảnh phản chiếu
Tổng ngang
Bạn nhận thấy gì về các khoản tiền ngang?
Có một mô hình?
Chúng nhân đôi mỗi lần [lũy thừa 2]
Số mũ của 11
Mỗi dòng cũng là lũy thừa [số mũ] của 11
- 110=1 [dòng đầu tiên chỉ là "1"]
- 111=11 [dòng thứ hai là "1" và "1"]
- 112=121 [dòng thứ ba là "1", "2", "1"]
- vân vân
Nhưng điều gì xảy ra với 115 ? . Các chữ số chỉ chồng lên nhau, như thế này.
Điều tương tự cũng xảy ra với 116 , v.v.
hình vuông
Đối với đường chéo thứ hai, bình phương của một số bằng tổng các số bên cạnh nó và bên dưới cả hai số đó
ví dụ
- 32 = 3 + 6 = 9,
- 42 = 6 + 10 = 16,
- 52 = 10 + 15 = 25,
- ...
Có một lý do tốt, quá. bạn có thể nghĩ về nó? . 42=6+10, 6=3+2+1, và 10=4+3+2+1]
Dãy Fibonacci
Hãy thử điều này. tạo một mẫu bằng cách đi lên rồi đi dọc, sau đó cộng các giá trị [như hình minh họa]. bạn sẽ nhận được dãy Fibonacci.
[Dãy Fibonacci bắt đầu bằng "0, 1" và sau đó tiếp tục bằng cách cộng hai số trước đó, ví dụ: 3+5=8, sau đó là 5+8=13, v.v.]
Tỷ lệ cược và Chẵn
Nếu chúng ta tô màu các số Lẻ và Chẵn, chúng ta sẽ có một mẫu giống như Tam giác Sierpinki
đường dẫn
Mỗi mục nhập cũng là số lượng đường dẫn khác nhau từ trên xuống
Ví dụ. chỉ có một con đường duy nhất từ trên xuống tới "1" bất kỳ
Và chúng ta có thể thấy có 2 đường dẫn khác nhau đến "2"
Đi lên cũng vậy, có 3 con đường khác nhau từ 3
Đến lượt của bạn, xem bạn có thể tìm thấy tất cả các đường dẫn xuống "6" không
Sử dụng Tam giác Pascal
Đầu và đuôi
Tam giác Pascal cho chúng ta thấy có bao nhiêu cách kết hợp giữa mặt ngửa và mặt sấp. Điều này sau đó có thể cho chúng ta thấy xác suất của bất kỳ sự kết hợp nào
Ví dụ: nếu bạn tung một đồng xu ba lần, thì chỉ có một tổ hợp sẽ cho ba mặt ngửa [HHH], nhưng có ba tổ hợp sẽ cho hai mặt ngửa và một mặt sấp [HHT, HTH, THH], cũng có ba kết hợp cho một . Đây là mẫu "1,3,3,1" trong Tam giác Pascal
Tung kết quả có thể [được nhóm]Tam giác Pascal1H
T1, 12HH
HT TH
TT1, 2, 13HHH< . vân vân.
HHT, HTH, THH
HTT, THT, TTH
TTT1, 3, 3, 14HHHH
HHHT, HHTH, HTHH, THHH
HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH
HTTT, THTT, TTHT, TTTH
TTTT1, 4, 6, 4, 1 .. etc ...
Ví dụ. Xác suất để có được đúng hai mặt ngửa với 4 lần tung đồng xu là bao nhiêu?
Có 1+4+6+4+1 = 16 [hoặc 24=16] kết quả có thể xảy ra và 6 trong số đó cho đúng hai mặt ngửa. Vậy xác suất là 6/16, hay 37. 5%
kết hợp
Hình tam giác cũng cho chúng ta thấy có thể có bao nhiêu Sự kết hợp của các đối tượng
Ví dụ. Bạn có 16 quả bóng bi a. Có bao nhiêu cách khác nhau mà bạn có thể chọn chỉ 3 trong số chúng [bỏ qua thứ tự bạn chọn chúng]?
Câu trả lời. đi xuống đầu hàng 16 [hàng trên cùng là 0], rồi dọc theo 3 vị trí [vị trí đầu tiên là 0] và giá trị ở đó là câu trả lời của bạn, 560
Đây là một đoạn trích ở hàng 16
1 14 91 364 ... 1 15 105 455 1365 ... 1 16 120 560 1820 4368 ...
Công thức cho bất kỳ mục nào trong tam giác
Trên thực tế, có một công thức từ Kết hợp để tìm ra giá trị tại bất kỳ vị trí nào trong tam giác Pascal
Nó thường được gọi là "n chọn k" và được viết như thế này
n. k. [n−k]. = [nk]
ký hiệu. "n chọn k" cũng có thể được viết là C[n,k], nCk hoặc nCk
!
Cái " . " là "giai thừa" và có nghĩa là nhân một chuỗi các số tự nhiên giảm dần. ví dụ.
- 4. = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
- 7. = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
- 1. = 1
Vì vậy, Tam giác Pascal cũng có thể là
một tam giác "n chọn k" như thế này.
[Lưu ý rằng hàng trên cùng là hàng 0
và cột ngoài cùng bên trái cũng là 0]
Ví dụ. Hàng 4, số 2 trong Tam giác Pascal là "6"
hãy xem nếu công thức hoạt động
[42] = 4. 2. [4−2]. = 4. 2. 2. = 4×3×2×12×1×2×1 = 6
Có nó hoạt động. Hãy thử một giá trị khác cho chính mình
Điều này có thể rất hữu ích. bây giờ chúng ta có thể tìm trực tiếp bất kỳ giá trị nào trong Tam giác Pascal [mà không cần tính toàn bộ tam giác phía trên nó]
đa thức
Tam giác Pascal cũng cho chúng ta thấy các hệ số trong khai triển nhị thức
Khai triển nhị thức lũy thừa Tam giác Pascal 2[x + 1]2 = 1 x 2 + 2x + 11, 2, 13[x + 1]3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 11, 3, 3, 14[x + 1]4 . vân vân.
15 dòng đầu tiên
Để tham khảo, tôi đã bao gồm hàng 0 đến 14 của Tam giác Pascal
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
Người Trung Quốc biết về nó
Bản vẽ này có tên là "Biểu đồ phương pháp cũ của bảy hình vuông nhân". Xem hình ảnh đầy đủ
Đó là từ mặt trước của cuốn sách "Ssu Yuan Yü Chien" [Tứ đại gương quý] của Chu Shi-Chieh, được viết vào năm 1303 sau Công nguyên [hơn 700 năm trước, và hơn 300 năm trước Pascal. ], và trong cuốn sách nói rằng hình tam giác đã được biết đến hơn hai thế kỷ trước đó
Quincunx
Một cỗ máy nhỏ tuyệt vời được tạo ra bởi Sir Francis Galton là Tam giác Pascal được làm từ các chốt. Nó được gọi là Quincunx
Các quả bóng được thả vào chốt đầu tiên và sau đó nảy xuống đáy của hình tam giác, nơi chúng được gom vào các thùng nhỏ
Lúc đầu, nó trông hoàn toàn ngẫu nhiên [và đúng như vậy], nhưng sau đó chúng tôi thấy các quả bóng xếp chồng lên nhau theo một mô hình đẹp. phân phối bình thường