Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền [edit]
Định lí 1:
Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
\[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], có: \[AH \bot BC;\ H\in BC\]
\[\Rightarrow AB^2=BH.BC;\ AC^2=HC.BC\]
Hay \[b^2 = a.b’;\ c^2 = a.c’\]
Chứng minh:
Xét \[\Delta AHC\] và \[\Delta ABC\] có:
\[\widehat{C}\] chung
\[\widehat{AHC}=\widehat{BAC}=90^o\]
Vậy \[\Delta AHC \sim \Delta BAC\ [g.g] \]
\[\Rightarrow \dfrac{HC}{AC}=\dfrac{AC}{BC}\]
\[\Rightarrow AC^2=BC.HC\] hay \[b^2=a.b’. \]
Tương tự, ta có: \[c^2=a.c’. \]
Ngoài ra, hai hệ thức trên còn được phát biểu dựa vào khái niệm trung bình nhân như sau:
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
Một số hệ thức liên quan tới đường cao [edit]
Định lí 2:
Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
\[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], có: \[AH \bot BC;\ H\in BC\]
\[\Rightarrow AH^2=BH.HC\] hay \[h^2=b’.c’\]
Chứng minh:
Xét \[\Delta AHB\] và \[\Delta CHA\] có:
\[\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\]
\[\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\ [\]Vì cùng phụ với \[\widehat{ABC}]\]
Vậy \[\Delta BHA \sim \Delta AHC\ [g.g] \]
\[\Rightarrow \dfrac{BH}{AH}=\dfrac{AH}{HC}\]
\[\Rightarrow AH^2=HC.HB\] hay \[h^2=b’.c’\]
Ngoài ra, hai hệ thức trên còn được phát biểu dựa vào khái niệm trung bình nhân như sau:
Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền là trung bình nhân của hai đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Định lí 3:
Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
\[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], có: \[AH \bot BC;\ H\in BC\]
\[\Rightarrow AH.BC=AB.AC\]
Chứng minh:
Cách 1: Dựa vào tam giác đồng dạng
Xét \[\Delta AHC\] và \[\Delta ABC\] có:
\[\widehat{C}\] chung
\[\widehat{AHC}=\widehat{BAC}=90^o\]
Vậy \[\Delta AHC \sim \Delta BAC\ [g.g] \]
\[\Rightarrow \dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AC}{BC}\]
\[\Rightarrow AH.BC=AC.AB\] hay \[h.a=b.c\]
Cách 2: Dựa vào công thức tính diện tích tam giác
Gọi \[S_{ABC}\] là diện tích tam giác \[ABC\]
\[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] có \[AH\] là đường cao
\[\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}AH.BC\]
\[\Rightarrow S_{ABC}=AC.AB=AH.BC\]
\[\Rightarrow S_{ABC}=b.c=h.a\]
Định lí 4:
Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
\[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], có: \[AH \bot BC;\ H\in BC\]
\[\Rightarrow \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{AB^2}\]
Hay \[\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}.\]
Chứng minh:
Từ định lí 3:
Ta có biến đổi:
\[h^2.a^2=b^2.c^2\]
\[\Rightarrow h^2= \dfrac{b^2.c^2}{a^2}\]
\[\Rightarrow \dfrac{1}{h^2}=\dfrac{a^2}{b^2.c^2}=\dfrac{b^2+c^2}{b^2c^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}.\]
Qui ước:
Trong các ví dụ và các bài tập tính toán bằng số của chương này, các số đo độ dài ở mỗi bài nếu không ghi đơn vị ta quy ước là cùng đơn vị đo.
VD về bài toán:Trong tam giác ABC có M thuộc AC. Vẽ hình chiếu của M trên BC
Lời giải:Hình chiếu của M trên BC nghĩa là từ M kẻ đường thắng cắt vuông góc với BC
1. Hình chiếu là gì?
Hình chiếu của một đoạn thẳng trên một đường thẳng là khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng kẻ từ 2 điểm của đoạn thẳng đó vuông góc với đường thẳng cho trước
còn hình chiếu của một điểm là giao điểm của đường thẳng cho trước với đường thẳng kẻ từ điểm đó vuông góc với đường thẳng cho trước.
2. Tam giác hình chiếu là gì?
Trong hình học, tam giác hình chiếu hay còn gọi là tam giác bàn đạp của một điểm P đối với tam giác cho trước có ba đỉnh là hình chiếu của P lên ba cạnh tam giác đó.
Xét tam giác ABC, một điểm P trên mặt phẳng không trùng với ba đỉnh A, B, C. Gọi các giao điểm của ba đường thẳng qua P kẻ vuông góc với điểm ba cạnh tam giác BC,CA,AB là L, M, N khi đó LMN là tam giác bàn đạp ứng với điểm P của tam giác ABC. Ứng với mỗi điểm P ta có một tam giác bàn đạp khác nhau, một số ví dụ:
- Nếu P = trực tâm, khi đó LMN = Tam giác orthic.
- Nếu P = tâm nội tiếp, khi đó LMN = Tam giác tiếp xúc trong.
- Nếu P = tâm ngoại tiếp, khi đó LMN = Tam giác trung bình.
P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, tam giác bàn đạp sẽ suy biến thành một đường thẳng. Khi P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì tam giác bàn đạp của nó suy biến thành đường thẳng Simson, đường thẳng này đặt tên theo nhà toán học Robert Simson.
Định lý Cartnot về ba đường thẳng vuông góc với ba cạnh tam giác đồng quy ta có hệ thức sau:
3. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại H. trên d lấy điểm B không trùng với H. khi đó :
- Đoạn thẳng AH : gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng d.
- Điểm H : gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
- Đoạn thẳng AB : gọi là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
- Đoạn thẳng HB : gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.
Định lí 1 :
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Định lí 2 :
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó :
- đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
- đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
- Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, ngược lại, Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.