I. PHẦN TRẮC NGHIỆM [3,0 điểm].
Viết phương án đúng [A, B, C hoặc D] vào bài thi.
Câu 1. Khai triển hằng đẳng thức \[{\left[ {x - y} \right]^2}\] được kết quả là
A. \[{x^2} + xy + {y^2}\]
B. \[{x^2} - xy + {y^2}\]
C. \[{x^2} + 2xy + {y^2}\]
D. \[{x^2} - 2xy + {y^2}\]
Câu 2. Cho \[\dfrac{A}{{x - 1}} = \dfrac{x}{{1 - x}}\]. Khi đó \[A\] bằng
A. \[x\] B. \[1 - x\]
C. \[x - 1\] D. \[ - x\]
Câu 3. Kết quả của phép chia \[\left[ {2{x^2} + x} \right]:x\] là
A. \[2x\] B. \[2x + 1\]
C. \[2\] D. \[2{x^2} + 1\]
Câu 4. Rút gọn phân thức \[\dfrac{{2x - 2y}}{{x - y}}\] ta được kết quả là
A. \[x - y\] B. \[2x\]
C. \[2\] D. \[2\left[ {x - y} \right]\]
Câu 5. Cho hình bình hành \[ABCD\]. Khi đó
A. \[AC = BD\]
B. \[AB = AD\]
C. \[AB = CD\]
D. \[AC \bot BD\]
Câu 6. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài \[20m\], chiều rộng \[5m\]. Diện tích thửa ruộng bằng
A. \[100{m^2}\] B. \[25{m^2}\]
C. \[50{m^2}\] D. \[4{m^2}\]
II. PHẦN TỰ LUẬN [7,0 điểm].
Câu 7. [1,0 điểm] Phân tích đa thức thành nhân tử:
a] \[x\left[ {y - 1} \right] - 3\left[ {y - 1} \right]\]
b] \[4{x^2} - {y^2} + 8\left[ {y - 2} \right]\]
Câu 8. [1,5 điểm] Rút gọn biểu thức
a] \[{\left[ {x + y} \right]^2} - {x^2} - {y^2}\]
b] \[A = \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{{x^2} + x}}\] với \[x \ne 0,x \ne - 1\].
Câu 9. [1,0 điểm] Tìm \[x\] biết:
a] \[3x\left[ {x + 2} \right] - x\left[ {3x + 5} \right] = 5\]
b] \[{x^2} - 4 = 0\]
Câu 10. [2,5 điểm] Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] \[M\] là trung điểm của \[BC\]. Đường thẳng qua \[M\] song song với \[AB\] cắt \[AC\] tại \[D\], đường thẳng qua \[M\] song song với \[AC\] cắt \[AB\] tại \[E\].
a] Chứng minh rằng tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật.
b] Nếu \[AB = AC\] thì tứ giác \[ADME,BEDC\] là hình gì? Vì sao?
Câu 11. [1,0 điểm] Chứng minh rằng với mọi số nguyên \[m,n\] ta đều có \[{m^3}n - m{n^3}\] chia hết cho \[6\].
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM [23 điểm]
|
1D |
2D |
3B |
4C |
5C |
6A |
Câu 1 [NB]:
Phương pháp:
Sử dụng hằng thức số hai: \[{\left[ {A - B} \right]^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\].
Cách giải:
Ta có: \[{\left[ {x - y} \right]^2} = {x^2} - 2xy + {y^2}\].
Chọn D.
Câu 2 [TH]:
Phương pháp:
Biến đổi về hai phân thức cùng mẫu, cho tử bằng nhau.
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\dfrac{A}{{x - 1}} = \dfrac{x}{{1 - x}}\\ \Rightarrow \dfrac{A}{{x - 1}} = \dfrac{{ - x}}{{x - 1}}\\ \Rightarrow A = - x\end{array}\]
Chọn D.
Câu 3 [NB]:
Phương pháp:
Chia đa thức cho đơn thức: Ta chia từng đơn thức trong đa thức cho đơn thức và cộng các kết quả lại với nhau.
Cách giải:
\[\left[ {2{x^2} + x} \right]:x\]\[ = 2{x^2}:x + x:x = 2x + 1\].
Chọn B.
Câu 4 [TH]:
Phương pháp:
Rút gọn phân thức: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho nhân tử chung của tử và mẫu.
Cách giải:
\[\dfrac{{2x - 2y}}{{x - y}} = \dfrac{{2\left[ {x - y} \right]}}{{x - y}} = 2\].
Chọn C.
Câu 5 [NB]:
Phương pháp:
Sử dụng tính chất hình bình hành:
- Hai cạnh đối song song và bằng nhau.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Cách giải:
\[ABCD\] là hình bình hành thì \[AB = CD\].
Chọn C.
Câu 6 [TH]:
Phương pháp:
Diện tích hình chữ nhật: \[S = ab\].
Cách giải:
Diện tích thửa ruộng là: \[S = 20.5 = 100\left[ {{m^2}} \right]\].
Chọn A.
PHẦN II. TỰ LUẬN [7,0 điểm].
Câu 7 [TH]:
Phương pháp:
Phân tích đa thức bằng cách nhóm các hạng tử thích hợp rồi đặt nhân tử chung, kết hợp dùng hằng đẳng thức.
Cách giải:
a] \[x\left[ {y - 1} \right] - 3\left[ {y - 1} \right]\]\[ = \left[ {y - 1} \right]\left[ {x - 3} \right]\].
b] \[4{x^2} - {y^2} + 8\left[ {y - 2} \right]\]
\[\begin{array}{l} = 4{x^2} - {y^2} + 8y - 16\\ = 4{x^2} - \left[ {{y^2} - 8y + 16} \right]\\ = {\left[ {2x} \right]^2} - {\left[ {y - 4} \right]^2}\\ = \left[ {2x - y + 4} \right]\left[ {2x + y - 4} \right]\end{array}\]
Câu 8 [VD]:
Phương pháp:
a] Khai triển hằng đẳng thức và rút gọn.
b] Qui đồng mẫu thức và rút gọn phân thức.
Cách giải:
a] \[{\left[ {x + y} \right]^2} - {x^2} - {y^2}\]
\[\begin{array}{l} = {x^2} + 2xy + {y^2} - {x^2} - {y^2}\\ = \left[ {{x^2} - {x^2}} \right] + \left[ {{y^2} - {y^2}} \right] + 2xy\\ = 0 + 0 + 2xy\\ = 2xy\end{array}\]
b] \[A = \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{{x^2} + x}}\] với \[x \ne 0,x \ne - 1\].
\[\begin{array}{l}A = \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x\left[ {x + 1} \right]}}\\A = \dfrac{x}{{x\left[ {x + 1} \right]}} + \dfrac{1}{{x\left[ {x + 1} \right]}}\\A = \dfrac{{x + 1}}{{x\left[ {x + 1} \right]}} = \dfrac{1}{x}\end{array}\]
Vậy \[A = \dfrac{1}{x}\].
Câu 9 [VD]:
Phương pháp:
a] Rút gọn vế trái, sử dụng qui tắc chuyển vế tìm \[x\].
b] Phân tích đa thức thành nhân tử và sử dụng \[AB = 0\] thì \[A = 0\] hoặc \[B = 0\].
Cách giải:
a] \[3x\left[ {x + 2} \right] - x\left[ {3x + 5} \right] = 5\]
\[\begin{array}{l}3{x^2} + 6x - \left[ {3{x^2} + 5x} \right] = 5\\3{x^2} + 6x - 3{x^2} - 5x = 5\\x = 5\end{array}\]
Vậy \[x = 5\].
b] \[{x^2} - 4 = 0\]
\[\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right] = 0\]
TH1: \[x - 2 = 0\]
\[\begin{array}{l}x = 0 + 2\\x = 2\end{array}\]
TH2: \[x + 2 = 0\]
\[\begin{array}{l}x = 0 - 2\\x = - 2\end{array}\]
Vậy \[x = 2\] hoặc \[x = - 2\].
Câu 10 [VD]:
Phương pháp:
a] Sử dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
b] Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình vuông: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
Cách giải:
a] Chứng minh rằng tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật.
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}ME//AC\\AB \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow ME \bot AB\] [từ vuông góc đến song song]
\[ \Rightarrow \widehat {MEA} = {90^0}\]
Lại có: \[\left\{ \begin{array}{l}MD//AB\\AB \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow MD \bot AC\] [từ vuông góc đến song song]
\[ \Rightarrow \widehat {MDA} = {90^0}\].
Tứ giác \[ADME\] có: \[\widehat A = {90^0}\left[ {gt} \right]\], \[\widehat {MEA} = \widehat {MDA} = {90^0}\left[ {cmt} \right]\] nên là hình chữ nhật [dhnb].
Vậy tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật.
b] Nếu \[AB = AC\] thì tứ giác \[ADME,BEDC\] là hình gì? Vì sao?
Tam giác \[ABC\] có \[M\] là trung điểm \[BC\] và \[ME//AC\] nên \[E\] là trung điểm của \[AB\].
\[ \Rightarrow ME\] là đường trung bình của \[\Delta ABC\] \[ \Rightarrow ME = \dfrac{1}{2}AC\] [tính chất] [1]
Lại có: \[M\] là trung điểm \[BC\] và \[MD//AB\] nên \[D\] là trung điểm của \[AC\].
\[ \Rightarrow MD\] là đường trung bình của \[\Delta ABC\] \[ \Rightarrow MD = \dfrac{1}{2}AB\] [tính chất] [2]
Mà \[AB = AC\left[ {gt} \right]\] nên từ [1] và [2] suy ra \[ME = MD\].
Hình chữ nhật \[ADME\] có \[ME = MD\] nên là hình vuông [hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông].
Ta có: \[D,E\] là trung điểm của \[AC,AB\] nên \[DE\] là đường trung bình của \[\Delta ABC\] \[ \Rightarrow DE//BC\] nên tứ giác \[DEBC\] là hình thang.
Mà \[AB = AC \Rightarrow \Delta ABC\] cân tại \[A\] \[ \Rightarrow \widehat B = \widehat C\].
Hình thang \[DEBC\] có \[\widehat B = \widehat C\] nên là hình thang cân [hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân].
Vậy \[ADME\] là hình vuông, \[DEBC\] là hình thang cân.
Câu 11 [VDC]:
Phương pháp:
- Đặt \[A = {m^3}n - m{n^3}\].
- Đưa \[A\] về dạng tích, chứng minh \[A \vdots 3\] và \[A \vdots 2\] suy ra điều phải chứng minh.
Cách giải:
Đặt \[A = {m^3}n - m{n^3}\]\[ = mn\left[ {{m^2} - {n^2}} \right]\]\[ = mn\left[ {m - n} \right]\left[ {m + n} \right]\]
+] Chứng minh \[A \vdots 3\].
- Nếu \[m = 3k\] hoặc \[n = 3k\] thì \[A \vdots 3\]
- Nếu \[m = 3k + 1,n = 3l + 1\] thì:
\[m - n = 3k + 1 - 3l - 1\] \[ = 3\left[ {k - l} \right] \vdots 3\] \[ \Rightarrow A \vdots 3\]
- Nếu \[m = 3k + 1,n = 3l + 2\] thì:
\[m + n = 3k + 1 + 3l + 2\] \[ = 3\left[ {k + l + 1} \right] \vdots 3\] \[ \Rightarrow A \vdots 3\]
- Nếu \[m = 3k + 2,n = 3l + 1\] thì:
\[m + n = 3k + 2 + 3l + 1\] \[ = 3\left[ {k + l + 1} \right] \vdots 3\] \[ \Rightarrow A \vdots 3\]
- Nếu \[m = 3k + 2,n = 3l + 2\] thì:
\[m - n = 3k + 2 - 3l - 2\] \[ = 3\left[ {k - l} \right] \vdots 3\] \[ \Rightarrow A \vdots 3\]
Do đó với mọi \[m,n \in \mathbb{Z}\] thì \[A \vdots 3\] [1]
+] Chứng minh \[A \vdots 2\].
Nếu \[m = 2k\] hoặc \[n = 2k\] thì \[A \vdots 2\].
Nếu \[m = 2k + 1,n = 2l + 1\] thì \[m + n = 2k + 1 + 2l + 1\] \[ = 2k + 2l + 2 = 2\left[ {k + l + 1} \right] \vdots 2\]
\[ \Rightarrow A = mn\left[ {m - n} \right]\left[ {m + n} \right] \vdots 2\].
Do đó với mọi \[m,n \in \mathbb{Z}\] thì \[A \vdots 2\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[A \vdots 6\] [do \[\left[ {2;3} \right] = 1\]]. [đpcm]
HẾT