Ma trận nghịch đảo được ứng dụng trong việc giải phương trình tuyến tính A = B. Khi đó nghiệm của phương trình X= A-1. B với điểu kiện ma trận A khả nghịch. Nếu ma trận A không khả nghịch hoặc không vuông thì phương trình tuyến tính có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
- Ứng dụng của ma trận nghịch đảo vào bài toán kinh tế:
Được ứng dụng trong bảo mật mật mã thông tin, tin nhắn. Mã hóa các chữ cái thành một chuỗi các số nhị phân để truyền tải thông điệp nào đó. Được ứng dụng trong thực tiễn như: nghiên cứu , sản xuất, kinh tế, khoa học – kĩ thuật.
- Ví dụ
Ví dụ 1. Giải quyết bài toán kinh tế:
Một nhà nông chăn tổng 100 con gia súc và gia cầm bao gồm 3 loại : lợn , gà và vịt. Biết rằng tổng số chân của cả 3 loại là 220, tổng số gà gấp 2 lần tổng số vịt. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu con?
Lời giải
Gọi số lợn là x, số gà là y, số vịt là z
Theo đề bài ra ta có hệ phương trình:
[*]
Từ [*] ta có :
A = ; X = ; B =
\=> [*] trở thành A=B [1]
Det[A]=6 ≠ 0 => ; = .C
Xác định ma trận phụ hợp C:
Ta có : = .Det[] = = -
\= .Det] = - = - = .Det[] = = 4
Tương tự ta tính được : = 3 = -2 = -
\= 0 = 2 = -
\=> C = =
=. C=. =
Nhân vào bên trái cả 2 vế của phương trình [1] ta được :
. A. X =. B
X =. B =. =
\=>
Vậy số lợn là 10 con , số gà là 60 con , số vịt là 30 con.
Ví dụ 2. Bài toán mật mã:
Bài 2: Cho ma trận A= và một sự tương ứng giữa các ký tự và các số như sau:
Một bạn trai muốn gửi dòng tin nhắn cho bạn gái. Để đảm bảo bí mật, anh ta dùng tương ứng trên chuyền tin nhắn của mình thành một dãy số và viết dãy số này thành ma trận B. Theo nguyên tắc: Lần lượt từ trái sang phải mỗi chữ số là một vị trí trên dòng của B. Sau khi tính D=B và chuyển D về dãy số thì tìm được dãy:
Trong đại số tuyến tính, một ma trận khả nghịch hay ma trận không suy biến là một ma trận vuông và có ma trận nghịch đảo trong phép nhân ma trận.
Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]
Ma trận đơn vị[sửa | sửa mã nguồn]
- Ma trận đơn vị cấp n trên vành có đơn vị V là ma trận vuông cấp n trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử khác bằng không.
- Tính chất của ma trận đơn vị: với mọi ma trân vuông cùng cấp AE=EA=A.
Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó[sửa | sửa mã nguồn]
- Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghịch trên V nếu tồn tại ma trận A' cùng cấp n sao cho A A' = A' A = E. Khi đó A' được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu là A−1.
Các tính chất[sửa | sửa mã nguồn]
- Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A là phần tử khả nghịch trong vành V.
- Nếu A là ma trận trên một trường F thì A là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0.
- Ma trận đơn vị là ma trận khả nghịch.
- Nếu A, B là các ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và
- Tập hợp tất cả các ma trận vuông khả nghịch cấp n tạo thành một nhóm với
Tìm ma trận nghịch đảo[sửa | sửa mã nguồn]
Định thức con và phần bù đại số[sửa | sửa mã nguồn]
- Cho ma trận vuông A cấp n và phần tử aij. Định thức của ma trận cấp n-1 suy ra từ A bằng cách xóa đi dòng thứ i, cột thứ j được gọi là định thức con của A ứng với phần tử aij, ký hiệu là Mij.
- Định thức con Mij với dấu bằng [-1]i+j được gọi là phần bù đại số của phần tử aij, ký hiệu là Aij.
Ví dụ: Cho ma trận
. Khi đóTương tự A12=0; A13=0; A21=-3;A22=3;A23=0;A31=-1;A32=-1;A33=2;
Công thức tính ma trận nghịch đảo[sửa | sửa mã nguồn]
Nếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được tính bằng công thức:
Các bước tìm ma trận nghịch đảo[sửa | sửa mã nguồn]
Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]
Cho . Tính ,
Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép khử Gauss-Jordan[sửa | sửa mã nguồn]
Phép khử Gauss-Jordan là một phương pháp tìm ma trận nghịch đảo.
- Bước 1: Tính định thức của ma trận A
suy ra tồn tại ma trận nghịch đảo , chuyển sang bước 2.
- Bước 2: Tìm ma trận chuyển vị A' của A.
- Bước 3: Tìm ma trận phụ hợp A* của A'.
- Bước 4: Tính ma trận nghịch đảo .
Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]
- Phép nhân ma trận
- Ma trận đơn vị
- Ma trận giả đảo
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
- Hazewinkel, Michiel biên tập [2001], “Inversion of a matrix”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Bernstein, Dennis S. [2009]. Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas [ấn bản 2]. Princeton University Press. ISBN 978-0691140391 – qua Google Books.
- Petersen, Kaare Brandt; Pedersen, Michael Syskind [ngày 15 tháng 11 năm 2012]. [PDF]. tr. 17–23.
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]
- Sanderson, Grant [ngày 15 tháng 8 năm 2016]. “Inverse Matrices, Column Space and Null Space”. Essence of Linear Algebra – qua YouTube.
- Strang, Gilbert. “Linear Algebra Lecture on Inverse Matrices”. MIT OpenCourseWare.
- Symbolic Inverse of Matrix Calculator with steps shown
- Moore-Penrose Inverse Matrix