1. Phép biến hình
- Điểm \[M'\] gọi là ảnh của điểm \[M\] qua phép biến hình \[F\] , hay \[M\] là điểm tạo ảnh của điểm \[M'\], kí hiệu \[M' = f\left[ M \right]\]
- Nếu \[\left[ H \right]\] là một hình nào đó thì \[\left[ {H'} \right]\] gồm các điểm \[M'\] là ảnh của \[M \in {\rm H}\] được gọi là ảnh của \[\left[ {\rm H} \right]\] qua phép biến hình \[F\] .
- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
2. Phép tịnh tiến
a. Định nghĩa
\[{T_{\overrightarrow v }}[M] = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'} = \overrightarrow v \]
b. Tính chất
- Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm \[M,N\] thành hai điểm \[M',N'\] thì \[\overrightarrow {M'N'} = \overrightarrow {MN} \] , từ đó suy ra \[M'N' = MN\]
- Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
- Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
c. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ $\left[ {Oxy} \right]$ cho vectơ \[\overrightarrow v = \left[ {a;b} \right],M\left[ {x;y} \right]\].
Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow v :{T_{\overrightarrow v }}[M] = M'\left[ {x';y'} \right]\] có biểu thức tọa độ: \[\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\]
3. Phép đối xứng trục
a. Định nghĩa
Phép đối xứng qua một đường thẳng \[a\] là phép biến hình biến điểm \[M\] thành điểm \[M'\] đối xứng với \[M\] qua đường thẳng \[a\]. Kí hiệu : ${D_a}$ [\[a\]là trục đối xứng]
b. Tính chất
+] \[{D_a}\left[ M \right] = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {{M_0}M'} = - \overrightarrow {{M_0}M} \] với \[{M_0}\] là hình chiếu của \[M\] trên \[a\].
+] \[{D_a}\left[ M \right] = M \Leftrightarrow M \in a\]
+] \[{D_a}\left[ M \right] = M' \Leftrightarrow {D_a}\left[ {M'} \right] = M\], \[a\] là trung trực của đoạn \[MM'\].
- Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
- Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
- Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
c. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\]: \[{D_a}:M\left[ {x;y} \right] \to M'\left[ {x';y'} \right]\]
- Nếu \[a \equiv Ox \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x'\\y = - y'\end{array} \right.\]
- Nếu \[a \equiv Oy \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = y'\end{array} \right.\]
4. Phép đối xứng tâm
a. Định nghĩa
Cho điểm \[I\]. Phép biến hình biến điểm \[I\] thành chính nó, biến mỗi điểm \[M\] khác \[I\] thành \[M'\] sao cho \[I\] là trung điểm \[MM'\] được gọi là phép đối xứng tâm \[I\]. Kí hiệu: \[{D_I}\] [\[I\] là tâm đối xứng]
\[{D_I}\left[ M \right] = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'} = - \overrightarrow {IM} \]
b. Tính chất
- Nếu \[{D_I}\left[ M \right] = M'\] và \[{D_I}\left[ N \right] = N'\] thì \[\overrightarrow {M'N'} = - \overrightarrow {MN} \] , từ đó suy ra \[M'N' = MN\]
- Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nóm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
- Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
- Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
c. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho \[{I_0}\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\], gọi \[M\left[ {x;y} \right]\] và \[M'\left[ {x';y'} \right]\] với \[{D_I}\left[ M \right] = M' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_0} - x\\y' = 2{y_0} - y\end{array} \right.\]
5. Phép quay
a. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho điểm $O$ cố định và góc lượng giác $\alpha $ không đổi. Phép biến hình biến mỗi điểm \[M\]
thành điểm $M'$ sao cho $OM = OM'$ và $\left[ {OM,OM'} \right] = \alpha $ được gọi là phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha $.
Kí hiệu: ${Q_{\left[ {O,\alpha } \right]}}$[$O$ là tâm phép quay, $\alpha $ là góc quay lượng giác].
${Q_{\left[ {O,\alpha } \right]}}\left[ M \right] = M' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM = OM'\\\left[ {OM,OM'} \right] = \alpha \end{array} \right.$
b. Tính chất
- Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác [chiều kim đồng hồ].
- Với $k \in \mathbb{Z}$ ta luôn có: ${Q_{\left[ {O,2k\pi } \right]}}$ là phép đồng nhất; ${Q_{\left[ {O,\left[ {2k + 1} \right]\pi } \right]}}$ là phép đối xứng tâm.
- Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
- Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
- Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự.
c. Biểu thức tọa độ
$\left\{ \begin{array}{l}x' - {x_0} = \left[ {x - {x_0}} \right]\cos \varphi - \left[ {y - {y_0}} \right]\sin \varphi \\y' - {y_0} = \left[ {x - {x_0}} \right]\sin \varphi + \left[ {y - {y_0}} \right]\cos \varphi \end{array} \right.$
Đặc biệt:
+] $\varphi = 90^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - y\\y' = x\end{array} \right.$
+] Nếu $\varphi = - 90^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = y\\y' = - x\end{array} \right.$
+] Nếu $\varphi = 180^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = - y\end{array} \right.$
6. Phép vị tự
a. Định nghĩa
Cho điểm $O$ cố định và số $k \ne 0$ không đổi. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm \[M'\] sao cho \[\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \] được gọi là phép vị tự tâm $O,$ tỉ số $k.$
Kí hiệu: \[{V_{\left[ {O,k} \right]}}\] [$O$ là tâm vị tự, $k$ là tỉ số vị tự]
\[{V_{\left[ {o,k} \right]}}\left[ M \right] = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \]
b. Tính chất
- Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm $M, N$ tùy ý theo thứ tự thành \[M',\,N'\] thì
\[\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN} \] và \[M'N' = \left| k \right|MN\].
- Phép vị tự tỉ số $k:$
+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng.
+ Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
+ Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.
+ Biến đường tròn bán kính ${\rm{R}}$ thành đường tròn có bán kính $\left| k \right|.R$
c. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] cho phép vị tự ${V_{\left[ {I,k} \right]}}$ tâm $I\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$ biến điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] thành \[M'\left[ {x';y'} \right]\].
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x' = kx + \left[ {1 - k} \right]{x_0}\\y' = ky + \left[ {1 - k} \right]{y_0}\end{array} \right.\]
7. Phép đồng dạng
a. Định nghĩa
Một phép biến hình \[F\] được gọi là phép đồng dạng tỉ số \[k\,\,\,\left[ {k > 0} \right]\] nếu với hai điểm bất kỳ \[M,N\] và ảnh \[M',N'\] tương ứng của chúng ta luôn có \[M'N' = kMN.\]
Nhận xét:
- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số \[k = 1\].
- Phép vị tự tỉ số \[k\] là phép đồng dạng tỉ số \[\left| k \right|\].
- Nếu thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì ta được một phép đồng dạng.
b. Tính chất
- Phép đồng dạng tỉ số \[k\]:
+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toán thứ tự giữa chúng.
+ Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
+ Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.
+ Biến một đường tròn bán kính \[R\] thành đường tròn bán kính \[\left| k \right|.R\].
8. Phép dời hình và hai hình bằng nhau
- Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
- Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Những câu hỏi liên quan
Số phát biểuđúng:
1. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó
2. Phép biến hình biến mỗiđiểm M thành chính nó dọi là phép đồng nhất
3. Phép đối xứng trục, phép quay, phép tịnh tiến đều bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
4. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó
5. Phép vị tự là một phép đồng dạng
6. Phép biến hình F’ có được nhờ thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự là phép đồng dạng
7. Phép biến hình F’ có được nhờ thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự là phép dời hình
A.4
B.5
C. 6
D.7
Số phát biểuđúng là:
a] Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
b] Phép biến hình biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng nó là phép tịnh tiến
c] Phép tịnh tiến biến tứ giác thành tứ giác bằng nó
d] Phép tịnh tiến biến đường tròn thành chính nó
e] Phép đồng nhất biến mọi hình thành chính nó
f] Phép dời hình là 1 phép biến hình không làm thay đồi khoảng cách giữa hai điểm bất kì
g] Phép chiếu lên đường thẳng không là phép dời hình
h] Với bất kì 2 điểm A, B và ảnh A’, B’ của chúng qua 1 phép dời hình, ta luôn có A’B = AB’.
i] Nếu phép dời hình F biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì trọng tâm tam giác ABC biến thành trọng tâm tam giác A’B’C’.
k] Phép tịnh tiến theo vectơ là phép đồng nhất.
l] Nếu phép dời hình biến điểm A thành điểm B [ B ≠ A ] thì nó cũng biến điểm B thành A
m] Nếu phép dời hình biến điểm A thành điểm B và biến điểm B thành điểm C thì AB = BC
A.5
B.6
C.7
D.8
Cho B là điểm nằm giữa A và C. A’,B’,C’ lần lượt là ảnh của A,B,C qua phép tịnh tiến. Khẳng định nào sau đây đúng:
A. A’B’ = A’C’ + B’C’
B. B’C’ = A’B’ + A’C’
C.A’C’ = A’B’ + B’C’
D. A’C’ > A’B’ + B’C’
Trong mặt phẳng Oxy, cho v → = [ 2 ; 0 ] và điểm M[1; 1].
a] Tìm tọa độ của điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ v →
b] Tìm tọa độ của điểm M" là ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v → và phép đối xứng qua trục Oy.
Cho hai mặt phẳng [α] và [β]. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [α] và [β] là nhỏ nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.