VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Các phương pháp giải phương trình mũ và logarit, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Các phương pháp giải phương trình mũ và logarit: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT I. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ GIẢI PT MŨ VÀ LOGARIT: Phương pháp: Việc lựa chọn điều kiện f[x] > 0 hoặc g[x] > 0 tuỳ thuộc vào độ phức tạp của f[x] > 0 và g[x] > 0. Bài toán 1: Giải các phương trình sau: Phương trình được biến đổi về dạng: Phương trình có ba nghiệm phân biệt x nên ta biến đổi phương trình về dạng: Trong lời giải trên: Với phương trình ta cần chọn phần tử trung gian c để biến đổi phương trình. Bài toán 2: Giải các phương trình sau: Phương trình được biến đổi về dạng: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1, x = 4. Vậy, phương trình có nghiệm là x = 1. Bài toán 3: Giải các phương trình sau: Phương trình được biến đổi về dạng: Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 0. Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Nhận xét: Trong lời giải trên: Ở câu chúng ta đã sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để chuyển phương trình về dạng tích. Và từ đó, nhận được hai phương trình mũ dạng 2. Ở câu 2 chúng ta đã sử dụng phương pháp biến đổi dần để loại bỏ được logarit. Cách thực hiện này giúp chúng ta tránh được phải đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình.
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PT MŨ VÀ LOGARIT: Phương pháp Phương pháp dùng ẩn phụ là việc sử dụng một [hoặc nhiều] ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình hoặc hệ phương trình với một [hoặc nhiều] ẩn phụ. Các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau đối với phương trình mũ: Mở rộng: Với ab = 1 thì khi đặt t = a, điều kiện hẹp t > 0. Khi đó chia hai vế của phương trình cho. Đặt t điều kiện t > 0. Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử thực hiện theo các bước sau: Chia hai vế của phương trình. Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t > 0 cho trường hợp đặt t = a vì: Nếu đặt t = a thì t > 0 là điều kiện đúng. Nếu đặt t = 2 thì t > 0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều kiện cho t phải là t > 2. Điều này đặc biệt quan trong cho lớp các bài toán có chứa tham số. b. Các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau đối với phương trình logarit: Dạng 1: Nếu đặt t = log, với x > 0 thì log x = t. Dạng 2: Trong nhiều bài toán có chứa ta thường đặt ẩn phụ dần với t = log.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Phương pháp hàm số giải phương trình lôgarit, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Phương pháp hàm số giải phương trình lôgarit: Phương pháp giải: Biến đổi phương trình để sử dụng một trong các tính chất sau: Tính chất l: Nếu hàm số y = f[x] luôn đồng biến [hoặc luôn nghịch biến] trên [a; b] thì phương trình f[x] = k có không quá một nghiệm trên [a; b]. Khi đó nếu co [a; b] là nghiệm của phương trình thì nó là nghiệm duy nhất. Tính chất 2: Nếu hàm số y = f[x] luôn đồng biến và hàm số y = g[x] luôn nghịch biến [hoặc hàm số y = f[x] luôn nghịch biến và hàm số y = g[x] luôn đồng biến] trên [a; b] thì phương trình f[x] = g[x] có không quá một nghiệm trên [a; b]. Khi đó nếu [a; b] là nghiệm của phương trình thì nó là nghiệm duy nhất. Tính chất 3: Nếu hàm số y = f[x] luôn đồng biến [hoặc luôn nghịch biến] trên [a; b] thì f[u] = f[v]. Ví dụ: Giải phương trình: log y [x – 2] = logy [-1]. Điều kiện của phương trình. Dễ thấy t = 1 là một nghiệm của [*]. Xét hàm số f [t] = 1 nên f [t] là hàm nghịch biến trên R, g [t] = 1 là hàm hằng. Suy ra phương trình [*] có một nghiệm duy nhất t = 1. Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là c = 4.
Vì log y = 4 nên phương trình [2] có một nghiệm 46. Xét hàm số f[z] = log 7, ta có: f'[x] = 1 > 0, VT nên f [x] đồng biến trên tập xác định. Do đó phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất c = 4. Phân tích kĩ thuật, ta cần tìm a, b, c sao cho c = a [x – 1] + [2x – 1]. Đồng nhất hai vế, ta tìm được a = 1, c = -24. Khi đó phương trình đã cho có dạng log. Xét hàm số g[t] = log t trên khoảng ta có, g[t] là hàm nghịch biến trên khoảng. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
14:27:1218/12/2018
Để có thể giải được các phương trình và bất phương trình logarit các em cần nắm vững kiến thức về hàm số logarit đã được chúng ta ôn ở bài viết trước, nếu chưa nhớ các tính chất của hàm logarit các em có thể xem lại Tại Đây.
I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình Logarit cơ bản
+ Phương trình logax = b [0 b:
- Nếu a>1 thì logax > b ⇔ x > ab
- Nếu 0 0, chúng ta cần phải chú ý đến đặc điểm của PT, BPT logarit đang xét [có chứa căn, có ẩn ở mẫu hay không] khi đó ta phải đặt điều kiện cho các PT, BPT này có nghĩa.
3. Giải phương trình, bất PT logarit bằng phương pháp mũ hoá
+ Đôi khi ta không thể giải một phương trình, bất PT logarit bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể đặt x = at PT, BPT cơ bản [phương pháp này gọi là mũ hóa]
+ Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường chứa nhiều cơ số khác nhau
II. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VÀ BẤT PT LOGARIT
* Giải PT, BPT Logarit áp dụng phương pháp cùng cơ số
Bài tập 1: Giải các phương trình sau
a] log3[2x+1] = log35
b] log2[x+3] = log2[2x2-x-1]
c] log5[x-1] = 2
d] log2[x-5] + log2[x+2] = 3
* Lời giải:
a] ĐK: 2x+1 > 0 ⇔ x>[-1/2]
PT ⇔ 2x+1 = 5 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 [thoả ĐK]
b] ĐK: x+3>0, 2x2 - x - 1 > 0 ta được: x>1 hoặc [-3] 1
Ta có: log5[x-1] = 2 ⇔ x-1 = 52 ⇔ x = 26 [thoả]
d] ĐK: x-5 > 0 và x + 2 > 0 ta được: x > 5
Ta có: log2[x-5] + log2[x+2] = 3 ⇔ log2[x-5][x+2] = 3 ⇔ [x-5][x+2] = 23
⇔ x2 - 3x -18 = 0 ⇔ x = -3 [loại] hoặc x = 6 [thoả]
* Giải phương trình Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài tập 2: Giải các phương trình sau
a]
b]
c]
d]
e] 1 + log2[x-1] = log[x-1]4
* Lời giải:
a] ĐK: x>0
Ta đặt t=log3x khi đó PT ⇔ t2 + 2t - 3 = 0 ⇔ t =1 hoặc t = -3
Với t = 1 ⇔ log3x = 1 ⇔ x = 3
Với t = -3 ⇔ log3x = -3 ⇔ x = 3-3 = 1/27
b] 4log9x + logx3 - 3 = 0 ĐK: 0 0
Các mẫu của phân thức phải khác 0: [5+log3x]≠0 và [1 +log3x]≠0 ⇔ log3x ≠ -5 và log3x ≠ -1
Ta đặt t = log3x [t ≠ -1, t ≠ -5] khi đó:
⇔ [1+t] +2[5+t]=[1+t][5+t] ⇔ 3t + 11 = t2 + 6t + 5 ⇔ t2 + 3t - 6 = 0
⇔
thay t=log3x ta được kết quả: x =3t1 và x =3t2
d]
PT⇔
Đặt t=log2x Ta được PT: t2 + t - 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2
Với t = 1 ⇔ x = 2
Với t = -2 ⇔ x = 1/4
e] 1 + log2[x-1] = log[x-1]4
ĐK: 03 với điều kiện này ta mũ hóa 2 vế của PT đã cho ta được PT:
b] log2[5 – 2x] = 2 – x
ĐK: 5 - 2x > 0 ⇔ 2x < 5
PT ⇔
Đặt t=2x [t>0,t0 và 2-x>0 ⇔ -1 9
Với t < 4 ta có: logx < 4 ⇔ x < 104
Với t > 9 ta có: logx > 9 ⇔ x > 109
Kết hợp với điều kiện bất phương trình có tập nghiệm là:
Bài tập 5: Giải các bất phương trình [các em tự giải]
a]
b]
c]
d]