Phương pháp quy nạp toán học nâng cao năm 2024

Nội dung của phương pháp này là tiên đề quy nạp toán học: Cho một mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương $n$. Nếu:

1. Mệnh đề đúng với $n=1$.

2. Từ giả thiết mệnh đề đã đúng với $n=k(k \in \mathbb{N})$ suy ra được mệnh đề cũng đúng với $n=k+1$; thế thì mệnh đề cũng đúng với mọi số nguyên dương $n$.

Như vậy để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương $n$ bằng phương pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành theo ba bước:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với $n=1$.

Bước 2: Chứng mịnh mệnh đề đúng với $n=k+1$ nếu giả thiết rằng mệnh đề đúng với $n_{1}=k$ (gọi giả thiết này là giả thiết quy nạp).

Thầy cô giáo và các em học sinh có nhu cầu tải các tài liệu dưới dạng định dạng word có thể liên hệ đăng kí thành viên Vip của Website: tailieumontoan.com với giá 500 nghìn thời hạn tải trong vòng 6 tháng hoặc 800 nghìn trong thời hạn tải 1 năm. Chi tiết các thức thực hiện liên hệ qua số điện thoại (zalo ): 0393.732.038

Điện thoại: 039.373.2038 (zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ)

Kênh Youtube: https://bitly.com.vn/7tq8dm

Email: [email protected]

Group Tài liệu toán đặc sắc: https://bit.ly/2MtVGKW

Page Tài liệu toán học: https://bit.ly/2VbEOwC

Website: http://tailieumontoan.com

Tài liệu gồm 64 trang phân dạng, hướng dẫn phương pháp giải và tuyển chọn các bài tập trắc nghiệm, tự luận chuyên đề phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân thuộc chương 3 Đại số và Giải tích 11, tài liệu do thầy Trần Quốc Nghĩa biên soạn, các bài tập trắc nghiệm có đáp án.

Nội dung tài liệu: Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC + Dạng 1. Chứng minh đẳng thức bằng phương pháp quy nạp + Dạng 2. Chứng minh các bài toán chia hết bằng phương pháp quy nạp + Dạng 3. [Nâng cao] Chứng minh các bài toán bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp Vấn đề 2. DÃY SỐ + Dạng 1. Mở đầu về dãy số + Dạng 2. Xác định công thức của dãy số (un ) + Dạng 3. Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh dãy số thỏa mãn tính chất K + Dạng 4. Xét tính tăng, giảm (hay tính đơn điệu) và bị chặn của một dãy số BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2 [ads] Vấn đề 3. CẤP SỐ CỘNG + Dạng 1. Chứng minh ba số (dãy số) lập thành một cấp số cộng + Dạng 2. Xác định số hạng tổng quát của một cấp số cộng + Dạng 3. Tìm các phần tử của một cấp số cộng + Dạng 4. Ứng dụng các tính chất của một cấp số cộng + Dạng 5. Tính tổng BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 3 Vấn đề 4. CẤP SỐ NHÂN + Dạng 1. Tìm các phần tử của một cấp số nhân + Dạng 2. Xác định số hạng tổng quát của một cấp số nhân + Dạng 3. Ứng dụng các tính chất của một cấp số nhân + Dạng 4. Chứng minh ba số (dãy số) lập thành một cấp số nhân + Dạng 5. Tính tổng BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 4 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 4

• Dãy Số – Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Phương pháp quy nạp toán học là một quy tắc suy luận được sử dụng trong chứng minh các bệnh đề về bất kỳ một tập hợp nào đó được sắp xếp theo thứ tự. Vậy phương pháp quy nạp toán học được áp dụng giải các dạng bài tập nào? Cùng tìm hiểu trong bài viết ngày hôm nay của VUIHOC nhé!

1. Phương pháp quy nạp toán học là gì?

- Phương pháp quy nạp toán học là phương pháp chứng minh mệnh đề về bất kỳ môt tập hợp nào được sắp xếp theo thứ tự. Phương pháp này thường dùng để chứng minh các mệnh đề áp dụng cho tập hợp các số tự nhiên.

- Phương pháp quy nạp toán học là hình thức chứng minh trực tiếp, bao gồm 2 bước:

+ Bước 1: Được gọi là bước cơ sở khi chứng minh mệnh đề đúng cho tập số tự nhiên, đây là bước chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên đầu tiên.

+ Bước 2: Được gọi là bước quy nạp, đây là bước chứng minh mệnh đề giả định đúng với mọi số tự nhiên bất kỳ.

\=> Sau khi chứng minh xong 2 bước này, các quy tắc suy luận khẳng định mệnh đề này là đúng với mọi số tự nhiên.

\>> Mời bạn tham khảo: Tổng hợp kiến thức toán 11

2. Áp dụng phương pháp quy nạp toán học chứng minh mệnh đề

- Để chứng minh các mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp từng số được thì ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1

+ Bước 2: Giả thiết mệnh đề đó đúng với mọi số tự nhiên bất kì n = k (K 1)

+ Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1

- Tổng quát: Xét mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n. Để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên với no cho trước, ta thực hiện các bước như sau:

+ Bước 1: Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = no

+ Bước 2: Giả sử n no đúng khi n = k ( k no)

+ Bước 3: Chứng minh P(n) đúng khi n = k + 1

\=> Theo nguyên lý quy nạp P(n) đúng với mọi n no

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi tốt nghiệp THPT sớm ngay từ bây giờ bạn nhé!

3. Các dạng bài tập áp dụng phương pháp quy nạp toán học

3.1 Dạng bài chứng minh đẳng thức - bất đẳng thức

Ví dụ 1: Chứng minh 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = n2 (1) với n N*

Lời giải:

- Khi n = 1 ta có mệnh đề (1): 1 = 12 = 1 ( luôn đúng)

- Giả sử mệnh đề (1) đúng khi n = k (k 1), ta phải chứng minh được:

Sk+1 = 1 + 3 + 5 +...+ (2k - 1) + 2[2(k + 1) - 1] = (k + 1)2

\=> Sk+1 = Sk + [2(k + 1) - 1] = k2 + 2k + 1 = (k+1)2

Vậy mệnh đề 1 luôn đúng với mọi n N*

Ví dụ 2: Chứng minh 2n > 2n + 1(1) luôn đúng với mọi số tự nhiên n 3

Lời giải:

- Khi n = 3 ta có 23 = 8 > 2.3 +1 = 7

- Giả sử (1) đúng với n = k 3 ( k N) => 2k > 2k + 1 (2)

\=> Ta cần chứng minh (2) đúng với n = k + 1

\=> 2k+1 > 2(k + 1) + 1 = 2k+1 > 2k + 3

- Nhân cả 2 vế của (2) với 2 ta có:

2.2k > 2k + 2k + 2 2k+1 > 2k + 2k + 2 (3)

Vì k 3 nên 2k 6. Do đó (3) 2k+1 > 2k + 6 + 2 => 2k+1 > 2k + 3

\=> Bất đẳng thức đúng với n = k + 1 => Điều cần chứng minh

Tham khảo ngay bộ tài liệu ôn tập kiến thức và tổng hợp phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi toán THPT Quốc Gia

3.2 Dạng bài toán chia hết

Ví dụ 1: Chứng minh un = n3 + 3n2 + 5n 3 (1) với mọi n N* và n 1

Lời giải:

- Với n = 1 ta có u1 = 13 + 3.12 + 5.1 = 9 3 => Mệnh đề đúng với n = 1

- Giả sử mệnh đề (1) đúng với n = k 1, k N => uk = k3 + 3k2 + 5k 3

- Ta cần chứng minh: uk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) 3

\=> uk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)

\= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3(k + 1)2 + 5k + 5

\= (k3 + 3k2 + 5k) + 3(k + 1)2 + 3k + 6

Vì k3 + 3k2 + 5k 3 ; 3(k + 1)2 3 ; 3k 3 và 6 3 => uk+1 3

\=> (1) luôn đúng với n = k +1 => Điều cần chứng minh.

Ví dụ 2: Chứng minh un = n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n nguyên dương

Lời giải:

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Thông qua những thông tin trong bài viết, hy vọng các em có thể nắm chắc kiến thức liên quan đến phương pháp quy nạp toán học trong chương trình toán 11 để áp dụng giải các dạng bài chứng minh mệnh đề chính xác nhất. Để học thêm nhiều bài giảng bổ ích và thú vị khác về môn toán hay các môn học khác, các em hãy truy cập ngay trang web vuihoc.vn để đăng ký tài khoản và bắt đầu quá trình học tập của mình nhé!