Đối với phương trình
1.Công thức nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,[a \ne 0]$
Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\,\,[a \ne 0]$
và biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$.
TH1. Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
TH2. Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}$.
TH3. Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1}} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}$, ${x_{2}} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$.
Chú ý: Nếu phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\, [a \ne 0]\] có \[a\] và \[c\] trái dấu, tức là \[ac < 0\]. Do đó \[\Delta = {b^2} - 4ac > 0\]. Vì thế phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc hai một ẩn
Phương pháp:
Phương trình bậc hai một ẩn [ hay gọi tắt là phương trình bậc hai] là phương trình có dạng:
$a{x^2} + bx + c = 0\,\,[a \ne 0]$ trong đó $a,b,c$ là các số thực cho trước, $x$ là ẩn số.
Dạng 2: Giải phương trình bậc hai một ẩn không dùng công thức nghiệm
Phương pháp:
Ta thường sử dụng các cách sau:
Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng vế trái là một bình phương, vế còn lại là một số hoặc một bình phương.
Cách 2: Đưa phương trình về dạng phương trình tích.
Dạng 3: Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng công thức nghiệm.
Phương pháp:
Xét phương trình bậc hai: $a{x^2} + bx + c = 0\,\,[a \ne 0]$
Bước 1: Xác định các hệ số $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$
Bước 2: Kết luận
- Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{a}$
- Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$.
Dạng 4: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp:
Xét phương trình bậc hai: $a{x^2} + bx + c = 0\,\,[a \ne 0]$
1. PT có nghiệm kép $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta = 0\end{array} \right.$
2. PT có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.$
3. PT vô nghiệm $ \Leftrightarrow a \ne 0;\,\Delta < 0$.
- Trả lời câu hỏi 1 Bài 4 trang 44 Toán 9 Tập 2
Trả lời câu hỏi Bài 4 trang 44 Toán 9 Tập 2 . Hãy điền những biểu thức thích hợp vào các ô trống […] dưới đây:
- Trả lời câu hỏi 2 Bài 4 trang 44 Toán 9 Tập 2
Trả lời câu hỏi 2 Bài 4 trang 44 Toán 9 Tập 2. Hãy giải thích vì sao khi delta > Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay
Báo lỗi - Góp ý
>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Các phương pháp tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là :” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ”; “so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 ”.
ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Giải phương trình, tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng trong chương trình THCS, nhất là bồi dưỡng toán 9
Các em cần phải nắm được các kiến thức về công thức nghiệm phương trình bậc 2, định lý Vi-ét, các kiến thức có liên quan, các em cần có sự say mê, hứng thú với loại này và có điều kiện tiếp cận với nhiều dạng bài tập điển hình.
Các phương pháp tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là :” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ”; “so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 ”.
A- Dấu của các nghiệm của phương trình bậc hai
Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc hai \[a{{x}^{2}}+bx+c=0[a\ne 0]\]: có nghiệm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\] thì \[S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a};\] \[P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\].
Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2 :
– Có 2 nghiệm dương là: \[\Delta \ge 0;P>0;S>0\]
– Có 2 nghiệm âm là: \[\Delta \ge 0;P>0;S0\] thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu. Để thỏa mãn đề bài ta phải có \[S>0\]. Giải điều kiện \[P>0;S>0;\] ta được m > 2 và m < 0 không xảy ra.
Kết luận: \[m\le 2\].
Cách 3: Giải phương trình [1]: \[\Delta ={{m}^{2}}-4[2m-4]={{[m-4]}^{2}}\ge 0\forall m\]
Ta có: \[{{x}_{1}}=\frac{-m-[m-4]}{2}=2-m\]; \[{{x}_{2}}=\frac{-m+[m-4]}{2}=-2\]
Do \[{{x}_{2}}=-20\forall m\]
\[P=2m+3;S=-\left[ m+4 \right]\]. Điều kiện để phương trình [2] có 2 nghiệm đều âm là :
Vậy với \[m\le \frac{-3}{2}\] thì phương trình [2] có ít nhất một nghiệm không âm tức là [1] có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.
Cách 2:
Giải phương trình [1] ta được: \[{{x}_{1}}=\frac{-m+\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\]; \[{{x}_{2}}=\frac{-m-\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\].
Ta thấy \[{{x}_{1}}>{{x}_{2}}\] nên chỉ cần tìm m để \[{{x}_{1}}\ge 2\]. Ta có:
\[\frac{-m+\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\ge 2\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}+4}\ge m+4\] [3]
- Nếu \[m\le -4\] thì [3] có vế phải âm, vế trái dương nên [3] đúng.
- Nếu \[m>-4\] thì [3] \[\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4={{m}^{2}}+8m+16\Leftrightarrow m\le \frac{-3}{2}\]. Ta được \[-4\le m\le \frac{-3}{2}\].
Gộp \[m\le -4\] và \[-4\le m\le \frac{-3}{2}\Rightarrow m\le \frac{-3}{2}\] là giá trị cần tìm của m.
Ví dụ 2:
Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2:
\[3{{x}^{2}}-4x+2\left[ m-1 \right]=0\] [1]
Giải
Cách 1: đặt \[y=x-2\Rightarrow x=y+2\] thay vào [1] ta được:
\[3{{\left[ y+2 \right]}^{2}}-4\left[ y+2 \right]+2\left[ m-1 \right]=0\Leftrightarrow 3{{y}^{2}}+8y+2m+2=0\] [2]
Cần tìm m để phương trình [2] có 2 nghiệm âm phân biệt. Ta giải điều kiện:
Kết luận: Với \[-1
Cách 2:
Xét phương trình [1]. Giải điều kiện:
Giải [2] được \[m0\Leftrightarrow \frac{2\left[ m-1 \right]}{3}-2.\frac{4}{3}+4>0\Leftrightarrow m>-1\]
Giải [4]: \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-40\Leftrightarrow m