Khái niệm và các bài toán về số nguyên tố, hợp số đã được làm quen với các bạn học sinh lớp 6. Khái niệm tuy đơn giản nhưng các bài toán xoay quanh khái niệm này nhiều khi không đơn giản. Chỉ tiếc là nội dung này chỉ tập trung ở lớp 6, còn lớp 7, 8 và sau nữa thì bỏ qua,
- A natural number $a$ that is divisible by $b$ is called a multiple of $b$ and $b$ is called a factor [or divisor] of $a$. Một số tự nhiên $a$ chia hết cho $b$ được gọi là bội số của $b$ và $b$ được gọi là ước số của $a$. Ví dụ $3$ là ước số của $15$.
- A prime number is an integer that has only two factors: $1$ and the number itself. For example, $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$, $\ldots$, are prime numbers. Một số nguyên tố là số nguyên chỉ có hai ước số: là $1$ và chính nó. Ví dụ, $2, 3,5, 7, 11, 13, 17$ là các số nguyên tố.
- Composite numbers are integers that have more two two factors, such as $4, 6, 8, 9, 10, 12$, $\ldots$. Hợp số là các số nguyên có nhiều hơn hai ước số.
- Prime factorisation: quá trình phân tích một số nguyên ra thừa số nguyên tố.
- Standard index notation: ký hiệu chuẩn tắc khi phân tích ra thừa số nguyên tố, ví dụ $18=2\times 3^2$.
- Khi phân tích một số ra thừa số nguyên tố cần sử dụng các quy tắc chia hết đơn giản.
Ví dụ 1. Các số $30$ và $17$ chia cho số tự nhiên $a$ khác $1$ thì cho cùng số dư $r$. Tìm số $a$ và $r$. Both $30$ and $17$ give the same remainder $r$ when divided by $a$ which is distinct from $1$. Find the value of $a$ and $r$.
Solution. By definition of congruence, $30-17$ is divisible by $a$, which implies that $a$ divides $13$. The number $13$ is a prime. Since $a\not=1$, we conclude that $a=13$. Notice that $30=13\times 2+4$, and $17=13\times 1+4$. Answer: $a=13$, $r=4$.
Ví dụ 2. A group of students standing around a large circle on the ground are counted and numbered clockwise using whole numbers: $1, 2, 3, \ldots$. A particular student in the group is numbered twice: $24$ and $900$ in the counting. If the number of students is $x$ and $x$ is more than $20$, what is the minimum value of $x$? Một nhóm học sinh đứng quanh một vòng tròn và được đánh số từ $1, 2,3, \ldots$ theo chiều kim đồng hồ. Một học sinh trong nhóm được đánh số hai lần với hai số $24$ và $900$ trong lần đếm kể trên.Biết rằng số học sinh trong nhóm là $x$ và $x$ lớn hơn $20$, hỏi giá trị nhỏ nhất của $x$ là bao nhiêu?
Solution. Since both $24$ and $900$ give the same remainder when divided by $x$. In other words, the difference $900-24$ is divisible by $x$. That is, $x$ divides $786$. By prime factorisation, $786=2^2\times 3\times 73$. The least factor greater than $20$ of $876$ is $73$. Ans: $73$ students.
Ví dụ 3. Find the whole number $n$ such that
$$1+2+3+\cdots+n=378.$$
Solution. Sử dụng công thức tính tổng $1+2+3+\cdots+n=\frac{n[n+1]}2$. Từ đó, ta cần tìm $n$ nguyên sao cho $n[n+1]=2\times 378$. Phân tích ra thừa số nguyên tố cho ta $3\times 378=2^2\times 3^3\times 7=27\times 28$. Suy ra $n=27$. Đáp số: $n=27$.
Ví dụ 4. The product of three consecutive whole numbers is $13800$. What is the least number? Tích của ba số nguyên liên tiếp là $13800$. Hỏi số nhỏ nhất là bao nhiêu?
Solution. By prime factorisation, $13800=2^3\times 3\times 5^2\times23=23\times 24\times 25$. Answer: $23$.
Ví dụ 5. The product of three consecutive whole numbers is $7980$. What is the sum of the three numbers?
Solution. Factorisation gives $7980=19\times 20\times 21$. The sum is $19+20+21=60$. Ans: $60$.
Ví dụ 6. The symbol $n!$ denotes the product of all integers from $1$ to $n$. For example, $6!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6$. The prime factorisation of $800!$ written in its standard index notation contains $5^n$ as factor. What is the value of $n$?
Solution. We need to count the number of multiples of $5, 5^2, 5^3, 5^4$ that are between $1$ and $800$, possibly inclusive. The number of multiple of $5$ as such is $\frac{800-5}5+1=160$. Similarly, the number of multiples of $5^2$ is $\frac{800-25}{25}+1=32$. The number of multiples of $5^3$ is $\frac{750-125}{125}+1=6$, and the number of multiples of $5^4$ is just one [$125$]. The answer is $$160+32+6+1=199.$$
đang cập nhật thêm các thí dụ ...