Tam giác \[ABC\] có độ dài các cạnh \[AB = m,\, AC = n\] và \[AD\] là đường phân giác. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của tam giác \[ABD \]và diện tích của tam giác \[ACD\] bằng \[\dfrac{m}{n}.\]
Hướng dẫn:
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để chứng minh.
Bài giải
Kẻ \[AH \bot BC \,\,\,[H \in BC]\]
\[S_{\triangle{ABD}} = \dfrac{1}{2}BD.AH \,\,\,\,\,\, [1] \\ S_{\triangle{ACD}} = \dfrac{1}{2}CD.AH \,\,\,\,\,\, [2]\]
Lấy \[[1]\] chia cho \[[2]\] ta được:
\[\dfrac{S_{\triangle{ABD}}}{S_{\triangle{ACD}}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}BD.AH}{\dfrac{1}{2}CD.AH} = \dfrac{BD}{CD} \,\,\,\,\, [3]\]
Lại có: \[AD\] là đường phân giác của \[\widehat{BAC}\] [giả thiết]
\[\Rightarrow \dfrac{BD}{AB} = \dfrac{DC}{AC}\] [tính chất đường phân giác trong tam giác]
\[\Leftrightarrow \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} \,\,\,\,\, [4]\]
Từ \[[1], \, [2], \, [3]\] và \[[4] \Rightarrow \dfrac{S_{\triangle{ABD}}}{S_{\triangle{ACD}}} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{m}{n}\] [đpcm]