1. Các kiến thức cần nhớ
Hệ thức Vi-ét
Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,[a \ne 0].$ Nếu \[{x_1},{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình thì \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\]
Ví dụ: Phương trình \[2x^2-5x+2=0\] có \[ \Delta=9>0\] nên phương trình có hai nghiệm \[x_1;x_2\].
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ 5}}{2}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{2}{2}=1\end{array} \right..\]
Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
+] Xét phương trình bậc hai: $a{x^2} + bx + c = 0\,[a \ne 0].$
Nếu phương trình có \[a + b + c = 0\] thì phương trình có một nghiệm là \[{x_1} = 1,\] nghiệm kia là \[{x_2} = \dfrac{c}{a}.\]
Nếu phương trình có \[a - b + c = 0\] thì phương trình có một nghiệm là \[{x_1} = - 1,\] nghiệm kia là \[{x_2} = - \dfrac{c}{a}.\]
+] Tìm hai số biết tổng và tích của chúng : Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0$ [ĐK: ${S^2} \ge 4P$]
Ví dụ:
+ Phương trình \[2x^2-9x+7=0\] có \[a+b+c=2+[-9]+7=0\] nên có hai nghiệm \[x_1=1;x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{7}{2}\]
+ Phương trình \[2x^2+9x+7=0\] có \[a-b+c=2-9+7=0\] nên có hai nghiệm \[x_1=-1;x_2=-\dfrac{c}{a}=-\dfrac{7}{2}\]
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức liên quan giữa các nghiệm.
Phương pháp:
Bước 1 : Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.$. Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : $S = {x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}$ và $P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}$.
Bước 2 : Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng ${x_1} + {x_2}$ và tích ${x_1}{x_2}$, sau đó áp dụng bước 1.
Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gặp là :
+] $A = x_1^2 + x_2^2 = {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 2{x_1}{x_2}= {S^2} - 2P$
+] $B = x_1^3 + x_2^3$
$= {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^3} - 3{x_1}{x_2}\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]= {S^3} - 3SP$
+] $C = x_1^4 + x_2^4 = {\left[ {x_1^2 + x_2^2} \right]^2} - 2x_1^2x_2^2$
$= {\left[ {{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{\left[ {{x_1}{x_2}} \right]^2}= {\left[ {{S^2} - 2P} \right]^2} - 2{P^2}$
+] $D = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| $
$= \sqrt {{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 4{x_1}{x_2}} $.
+]
$E = {\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]^2} = {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 4{x_1}{x_2}$
$= {S^2} - 4P $.
Dạng 2 : Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm
Phương pháp :
Xét phương trình bậc hai : $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}\left[ {a \ne 0} \right]$.
+] Nếu phương trình có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}.$
+ ] Nếu phương trình có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$
+] Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình thì $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$.
Dạng 3 : Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử
Phương pháp :
Nếu tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left[ {a \ne 0} \right]$ có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ thì nó được phân tích thành nhân tử: $a{x^2} + bx + c = a\left[ {x - {x_1}} \right]\left[ {x - {x_2}} \right]$.
Dạng 4 : Tìm hai số khi biết tổng và tích
Phương pháp :
Để tìm hai số $x,y$ khi biết tổng $S = x + y$ và tích $P = xy$, ta làm như sau:
Bước 1: Xét điều kiện ${S^2} \ge 4P$. Giải phương trình ${X^2} - SX + P = 0$ để tìm các nghiệm ${X_1},{X_2}$.
Bước 2: Khi đó các số cần tìm $x,y$ là $x = {X_1},y = {X_2}$ hoặc $x = {X_2},y = {X_1}$.
Dạng 5 : Bài toán liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp :
Xét phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\left[ {a \ne 0} \right]\]. Khi đó:
1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu \[ \Leftrightarrow ac < 0\].
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\].
3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.\].
4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right.\].
5. Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ac < 0\\S < 0\end{array} \right.\].
Dạng 6 : Xác định điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp :
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\].
Tham số là gì ví dụ?
Trong kĩ thuật [đặc biệt trong thu thập dữ liệu] thuật ngữ "tham số" thỉnh thoảng để chỉ một vật được đo riêng lẻ. Thí dụ máy thu thập dữ liệu [flight data recorder] của một chuyến bay có thể thu thập 88 loại dữ liệu khác nhau, mỗi loại được gọi là "tham số".
Tham số có nghĩa là gì?
Trong lập trình và toán học, tham số [parameter] được hiểu là một giá trị được định nghĩa và truyền vào một hàm, phương thức, hay một thuật toán. Tham số đóng vai trò như một đối số để định nghĩa hoặc ảnh hưởng đến hành vi và kết quả của hàm hoặc thuật toán đó.
Tham số là gì lớp 7?
Tham số và đối số của hàm - Đối số là giá trị được truyền vào khi gọi hàm. - Khi gọi hàm, các tham số [parameter] sẽ được truyền bằng giá trị thông qua đối số [argument] của hàm, số lượng giá trị được truyền vào hàm bằng với số tham số trong khai báo của hàm.
Phương trình chứa tham số là gì?
Phương trình tham số thường được sử dụng để biểu diễn các tọa độ của các điểm thuộc đối tượng hình học như đường cong hoặc bề mặt, mà khi đó các đối tượng này được gọi là biểu diễn theo tham số hoặc tham số hóa. Phương trình biểu diễn đường cong có thể viết dưới dạng tham số của tọa độ x và y.