[1]
Tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, vng góc và
trùng nhau
I. Bài tốn tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau và vnggóc
+ Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b
- Hai đường thẳng cắt nhau [d cắt d’] khi
a a
'
- Hai đường thẳng song song với nhau [d // d’] khi
'
'
a a
b b
- Hai đường thẳng vng góc [
d
d
'
] khi a.a’- Hai đường thẳng trùng nhau khi
'
'
a a
b b
+ Nếu bài toán cho 2 hàm số bậc nhất y = ax + b và y = a’x + b’ thì phải thêm điềukiện a0, ' 0a
II. Bài tập ví dụ về bài tốn tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùngnhau và vng góc
Bài 1: Cho hai hàm số y = kx + m -2 và y = [5 - k].x + [4 - m]. Tìm m, k để đồ thị củahai hàm số:
a, Trùng nhau
b, Song song với nhau
c, Cắt nhau
Lời giải:
Để hàm số y = kx + m - 2 là hàm số bậc nhất khi k 0
Để hàm số y = [5 - k]x + [4 - m] là hàm số bậc nhất khi 5 k 0 k 5
a, Để đồ thị của hai hàm số trùng nhau
5
5
2
2
4
3
k
k
k
m
m
m
[2]
Vậy với
5
;
3
k
m
thì đồ thị của hai hàm số trùng nhau
b, Để đồ thị của hai hàm số song song với nhau
5
5
2
2 4
3
k
k
k
m
m
m
Vậy vớik
m
thì đồ thị của hai hàm số song song với nhau
c, Để đồ thị của hai hàm số cắt nhau
5
5
2
5
2
k
k
k
k
Vậy với
5
2
k
thì hai đồ thị hàm số cắt nhau
Bài 2: Cho hàm số y = [2m - 3]x + m - 5. Tìm m để đồ thị hàm số:a, Tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân
b, Cắt đường thẳng y = 3x - 4 tại một điểm trên Oy
c, Cắt đường thẳng y = -x - 3 tại một điểm trên Ox
Lời giải:
Để hàm số là hàm số bậc nhất
3
2
3 0
2
m
m
Gọi giao điểm của hàm số với trục Ox là A. Tọa độ của điểm A là
5
;0
2
3
m
A
m
Độ dài của đoạn
5
Gọi giao điểm của hàm số với trục Oy là B. Tọa độ của điểm B là
B
0;
m
5
Độ dài của đoạn
OB
m
5
[3]
Để tam giác OAB là tam giác vuông cân
1
5
5
2
3
2
m
tm
m
m
m
m
tm
Vậy với m = 1 hoặc m = 2 thì đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân
b, Gọi A là điểm đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x - 4 tại một điểm trên trục Oy
[trục tung]
A
0;
b
Thay tọa độ điểm A vào đồ thị hàm số y = 3x - 4 ta có b = 4
Điểm A[0; 4] thuộc đồ thị hàm số y = [2m - 3]x + m - 5 nên ta có
4
2
m
3 .0
m
5
m
5 4
m
9
tm
Vậy với m = 9 thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x - 4 tại một điểm trên trụctung
c, Gọi B là điểm đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = - x - 3 tại một điểm trên trục Ox
[trục hoành]
B a
;0
Thay tọa độ điểm B vào đồ thị hàm số y = - x - 3 ta có a = - 3
Điểm B[-3; 0] thuộc đồ thị hàm số y = -x - 3 nên ta có:
4
0
3 2
3
5
5
4 0
5
m
m
m
m
tm
Vậy với
4
5
m
thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x - 3 tại một điểm trên trụchoành
Bài 3: Cho hai đường thẳng [d1]: y = [m + 1]x + 2 và [d2]: y = 2x + 1. Tìm m để haiđường thẳng cắt nhau tại một điểm có hồnh độ và tung độ trái dấu
Lời giải:
[4]
1
2 2
1
2 2
1
1 2
1
1
1
1
1
m
x
x
mx x
x
x m
x m
x
m
Với
1
1
3
2.
1
1
1
1
m
x
y
m
m
m
Để hoành độ và tung độ trái dấu thì x.y < 0
21
3
3
.
0
0
1
1
1
m
m
m
m
m
[tử và mẫu trái dấu]
Mà
21 0 1 3 0 3
m m m m
Vậy với m > 3 thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hồnh độ và tung độ tráidấu
Bài 4: Tìm m để đồ thị của hàm số y = [m - 2]x + m + 3 và các đồ thị của các hàm số y= -x + 2 và y = 2x - 1 đồng quy
Lời giải:
Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số y = -x + 2 và y = 2x - 1. Khi đó tọa độ của điểm
A là nghiệm của hệ phương trình:
2
1
2
1
1
y
x
x
y
x
y
Vậy A[1; 1]
Ba đường thẳng đồng quy nên đồ thị hàm số y = [m - 2]x + m + 3 đi qua điểm A[1; 1]
Thay tọa độ điểm A vào phương trình ta có: 1 = 1.[m - 2] + m + 3 hay m = 0
[5]
III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểmcố định
Bài 1: Cho hàm số y = 2x + 3k và y = [2m + 1]x + 2l - 3. Tìm điều kiện của m và k đểđồ thị của hai hàm số là:
a, Hai đường thẳng cắt nhau
b, Hai đường thẳng song song với nhau
c, Hai đường thẳng trùng nhau
Bài 2: Cho hàm số y = mx + 4 và y = [2m - 3]x - 2. Tìm m để đồ thị của hai hàm số đãcho là:
a, Hai đường thẳng song song với nhau
b, Hai đường thẳng cắt nhau
c, Hai đường thẳng trùng nhau
d, Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung
Bài 3: Cho hai hàm số y = 2x + m - 3 và y = 5x + 5 - 3m. Tìm m để đồ thị của hai hàmsố trên cắt nhau tại một điểm trên trục tung
Bài 4: Cho hai hàm số y = [m - 1]x + 3 và y = [3 - m]x + 1
a, Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm só là hai đường thẳng song song vớinhau
b, Với giá trị nào của m thì đồ thị của 2 hàm số là hai đường thẳng cắt nhau
Bài 5: Cho hàm số y = mx - 2 [m khác 0]. Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắthai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.
Bài 6: Cho hàm số y = x + m. Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng x -y + 3 = 0
Bài 7: Tìm m để đường thẳng y = x + m2 + 1 và đường thẳng y = 5 + [m - 1]x cắt nhautại
a, Một điểm trên trục hoành
[6]
Bài 8: Cho hai hàm số bậc nhất y = [m - 1]x + 3 và y = [3 - m]x + 1
a, Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng song song vớinhau
b, Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng cắt nhau
Bài 9: Cho đường thẳng [d1]: y = x + 2 và đường thẳng [d2]: y = -2x + 2a, Tìm tọa độ giao điểm của [d1] và [d2] bằng phép tính
b, Gọi giao điểm của [d1] và [d2] với trục Ox lần lượt là A và B. Tính diện tích và chuvi của tam giác ABC
Bài 10: Cho hàm số y = [2m - 1]x + n. Tìm m và n để đồ thị hàm số trên song song vớiđường thẳng y = 2x và đi qua A [1; 2]
Bài 11: Cho hàm số y = [m -1]x + 5 có đồ thị là đường thẳng [d] và đường thẳng [d1]:y = -x + 3, [d2]: y = x - 1. Tìm m để ba đường thẳng [d1], [d2], [d3] đồng quy