- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
Bước 1: Tìm y'
Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi y' ≥ 0 ∀ x ∈ K
Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi y' ≤ 0 ∀x ∈ K
Bước 2: Cô lập tham số m đưa về dạng m≥g[x] hoặc m ≤ g[x]
Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của g[x]
Bước 4: Kết luận
m ≥ g[x] ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≥
m ≤ g[x] ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≤
Một số hàm số thường gặp
Hàm đa thức bậc ba: y = f[x] = ax3 + bx2 + cx + d [a ≠ 0]
⇒ f'[x] = 3ax2 + 2bx + c
Với a > 0 và f'[x] có hai nghiệm phân biệt x1 < x2
Hàm số đồng biến trên [α; β] khi và chỉ khi β ≤ xc hoặc α ≥ x2
Hàm số nghịch biến trên [α; β] khi và chỉ khi x1 ≤ α < β ≤ x2
Với a 0 và -d/c ∉ K
Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad - bc < 0 và -d/c ∉ K
Quảng cáo
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3/3 - mx2+[1 - 2m]x- 1 đồng biến trên [1; +∞]
Hướng dẫn
TXĐ: D = R
Ta có y' = x2 - 2mx + 1 - 2m
Hàm số đã cho đồng biến trên [1; +∞]⇔ ∀ x ∈[1; +∞],y' ≥ 0
⇔ ∀ x ∈ [1; +∞], x2 -2mx + 1 - 2m ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈[1; +∞], x2 + 1 ≥ 2m[x + 1]
⇔ ∀ x ∈[1; +∞],2m ≤ [x2 + 1]/[x + 1] [do x + 1 > 0 khi x > 1]
Xét hàm số f[x] = [x2 + 1]/[x + 1], x ∈ [1; +∞]
f'[x] = [x2 + 2x - 1]/[x + 1]2 >0 với mọi x
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên để 2m ≤ f[x],∀ x ∈[1; +∞] thì 2m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1/2
Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = [2x - 1]/[x - m] nghịch biến trên khoảng [2; 3]
Hướng dẫn
TXĐ: D=R\{m}.
Ta có y'= [-2m + 1]/[x - m]2 . Để hàm số nghịch biến trên khoảng [2; 3] thì hàm só phải xác định trên khoảng [2; 3] và y' < 0 ∀ x ∈ [2; 3].
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là
Ví dụ 3: Tìm các giá trị m để hàm số y = mx3 - x2 + 3x + m - 2 đồng biến trên [-3 ; 0]
Hướng dẫn
TXĐ: D = R
Ta có y'= 3mx2 - 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng [-3; 0] khi và chỉ khi:
y' ≥ 0,∀ x ∈[-3; 0] [Dấu '' = '' xảy ra tại hữu hạn điểm trên [-3; 0]]
⇔ 3mx2 - 2x + 3 ≥ 0, ∀ x ∈[-3; 0]
⇔ m ≥[2x-3]/[3x2 ] = g[x] ∀ x ∈[-3;0]
Ta có: g'[x] = [-2x + 6]/[3x3 ]; g'[x] = 0 ⇔ x = 3
Bảng biến thiên
Vậy m ≥
Quảng cáo
Câu 1: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = mx2 - [m + 6]x nghịch biến trên khoảng [-1; +∞]
Ta có:
y' = 2mx - [m + 6]. Theo yêu cầu bài toán ta có y' ≤ 0,∀ x ∈[-1; +∞].
⇒ 2mx - [m + 6] ≤ 0 ⇔ m ≤
Xét hàm số g[x] = với x ∈ [-1;+∞].
Bảng biến thiên
Vậy -2 ≤ m ≤ 0.
Câu 2: Cho hàm số y = x3-3mx2+3[m2 - 1]x - 2m + 3. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng [1; 2].
Tập xác định: D = R
Đạo hàm y'=3x2-6mx+3[m2-1]
Hàm số nghịch biến trên khoảng [1; 2]⇔ y' ≤ 0 ∀ x ∈[1; 2]
Ta có Δ'= 9m2-9[m2-1]= 9 > 0 ∀m
Suy ra y' luôn có hai nghiệm phân biệt x1 = m - 1; x2 = m + 1[x1 0 ∀ x ∈[4; +∞]]
Xét hàm
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên của h[x] suy ra,∀ x ∈[4; +∞],h[x] ≤ m
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng [π/4; π/2] khi và chỉ khi:
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m ≤ 0
Câu 7: Tìm m để hàm số
Ta có:
Hàm số đã cho đồng biến trên [1; +∞] ⇔
x2 + 2mx - 4m ≥ 0,∀ x ∈[1; +∞]⇔
Kết hợp với đk m > -1 ta được -1 < m ≤ 1/2.
Quảng cáo
Câu 8: Với giá trị nào của m thì hàm số y=√[x2+2mx+m2+1] đồng biến trên khoảng [1; +∞].
Đặt f[x] = x2 + 2mx + m2 + 1;
ta có Δ[f[x]]'=m2-m2-1 = -1 < 0;a = 1 > 0 nên f[x]> 0 ∀ x ∈R.
Ta có
Hàm số đồng biến trên khoảng [1; +∞] khi và chỉ khi y ' ≥ 0 ∀ x > 1
⇔ x + m ≥ 0 ⇔ m ≥ -x
Xét g[x] = -x ; g'[x]= - 1 < 0 ∀x1
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có m ≥ -1.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
tinh-don-dieu-cua-ham-so.jsp