Bafit tập phương pháp quy nạp toán học sgk năm 2024
|
Tài liệu gồm 14 trang phân dạng và hướng dẫn giải chi tiết các bài toán về phương pháp quy nạp toán học và dãy số. Show $1 – Phương pháp quy nạp toán học: A – Tóm tắt SGK B – Giải toán C – Bài tập rèn luyện D – Hướng dẫn, đáp số [ads] $2 – Dãy số A – Tóm tắt SGK B – Giải toán + Dạng 1: Xác định các số hạng của dãy số + Dạng 2: Xác định số hạng tông quát (SHTQ) của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi + Dạng 3: Chứng minh dãy số tăng, giảm (xét tính đơn điệu) + Dạng 4: Xét tính bị chặn C – Bài tập rèn luyện D – Hướng dẫn, đáp số
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] BÀI VIẾT LIÊN QUANMột sản phẩm của công ty TNHH Giáo dục Edmicro CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC EDMICRO MST: 0108115077 Địa chỉ: Tầng 5 Tòa nhà Tây Hà, số 19 Đường Tố Hữu, Phường Trung Văn, Quận Nam Từ Liêm, Thành phố Hà Nội, Việt Nam
Lớp học
Tài khoản
Thông tin liên hệ(+84) 096.960.2660
Follow us Phương pháp quy nạp được sử dụng để giải quyết những bài toán yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của biến n. 2. Các bước chứng minh đối với phương pháp quy nạp toán họcBước 1: Bước cơ sở
Bước 2: Bước quy nạp
Khi đó, A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của n. Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có: 4 + 9 + 14 + 19 + ... + (5n - 1) = . (1) Giải + Với n = 1, ta có: 4 = (đúng) Vậy, (1) đúng khi n = 1. + Giả sử (1) đúng khi n = k. Tức là: 4 + 9 + 14 + 19 + ... + (5k - 1) = . Ta cần chứng minh (1) đúng khi n = k + 1. Tức là: 4 + 9 + 14 + 19 + ... + (5k - 1) + [5(k + 1) - 1] = . Thật vậy, ta có: 4 + 9 + 14 + 19 + ... + (5k - 1) + [5(k + 1) - 1] \= + [5(k + 1) - 1] \= \= \= \= Vậy, (1) đúng với mọi số nguyên dương n. 3. Một số lưu ý về phương pháp quy nạp toán họcĐối với những bài toán yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n p (p là một số nguyên dương cho trước) bằng phương pháp quy nạp ta thực hiện như sau: + Bước 1: Chứng minh A(n) là một mệnh đề đúng khi n = p. + Bước 2: Giả sử A(n) đúng khi n = k (k p). Ta chứng minh A(n) đúng khi n = k + 1. Khi đó, mệnh đề A(n) đúng với mọi số nguyên dương n p. Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 2, ta luôn có: 3n > 2n + 1. (2) Giải + Với n = 2, ta có: 32 = 9 và 22 + 1 = 23 = 8. Vì 9 > 8 nên (2) đúng khi n = 2. + Giả sử (2) đúng khi n = k (k 2). Nghĩa là: 3k > 2k + 1. Ta cần chứng minh (2) đúng khi n = k + 1. Nghĩa là: 3k+1 > 2(k + 1) + 1. Thật vậy, ta có: 3k + 1 = 3.3k và 2(k + 1) + 1 = 2.2k + 1. Mà 3k > 2k + 1 nên 3.3k > 3.2k + 1 Lại có: 3.2k + 1 > 2.2k + 1 Suy ra: 3.3k > 2.2k + 1 hay 3k + 1 > 2(k + 1) + 1. Vậy, (2) đúng với mọi số nguyên dương n 2. 4. Bài tập phương pháp quy nạp toán học4.1. Bài tập tự luậnBài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có: 3 + 6 + 9 + 12 + ... + 3n = . (1) ĐÁP ÁN + Với n = 1, ta có: 3 = . Vậy, (1) đúng khi n = 1. + Giả sử (1) đúng khi n = k, nghĩa là: 3 + 6 + 9 + 12 + ... + 3k = . Ta cần chứng minh (1) đúng khi n = k + 1, nghĩa là: 3 + 6 + 9 + 12 + ... + 3k + 3(k + 1) = . Thật vậy, ta có: 3 + 6 + 9 + 12 + ... + 3k + 3(k + 1) \= + 3(k + 1) \= + \= \= Vậy, (1) đúng với mọi số nguyên dương n. Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3, ta luôn có: n2 > 2n + 1. (2) ĐÁP ÁN + Khi n = 3, ta có: 32 = 9 và 2.3 + 1 = 7. Vì 9 > 7 nên (2) đúng khi n = 3. + Giả sử (2) đúng khi n = k (k 3). Nghĩa là: k2 > 2k + 1. Ta cần chứng minh (2) đúng khi n = k + 1. Nghĩa là: (k + 1)2 > 2(k + 1) + 1. Thật vậy, ta có: (k + 1)2 > 2(k + 1) + 1 k2 + 2k + 1 > 2k + 3 k2 + 2k + 1 - 2k - 3 > 0 k2 - 2 > 0 (đúng) Vậy, (2) đúng với mọi số nguyên dương n 3. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3, ta luôn có: 3n > 3n + 4. (3) ĐÁP ÁN + Với n = 3, ta có: 33 = 27 và 3.3 + 4 = 13. Mà 27 > 13 nên mệnh đề (3) đúng khi n = 3. + Giả sử mệnh đề (3) đúng với n = k (k 3). Nghĩa là: 3k > 3k + 4. Ta cần chứng minh mệnh đề (3) đúng với n = k + 1, nghĩa là: 3k + 1 > 3(k + 1) + 4. Thật vậy, xuất phát từ mệnh đề đúng là 3k > 3k + 4, nhân cả hai vế với 3 ta thu được: 3.3k > 3.(3k + 4) 3k + 1 > 9k + 12. Mà 3(k + 1) + 4 = 3k + 7. Trong khi đó, 9k + 12 > 3k + 7. Nên 3k + 1 > 3k + 7 hay 3k + 1 > 3(k + 1) + 4. Vậy, mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n 3. 4.2. Câu hỏi trắc nghiệmBài 4: Trong phương pháp quy nạp, khi muốn chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi số nguyên dương n p. Ở bước 1, chúng ta cần:
Chọn câu B Bài 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào không đúng với số nguyên dương n 3 trong việc chứng minh quy nạp ở bước 1?
+ Đối với câu A, khi n = 3 ta có: 32 = 9 và 2.3 + 1 = 7. Vì 9 > 7 nên A đúng. + Đối với câu B, khi n = 3 ta có: 33 = 27 và 4.3 - 1 = 11. Vì 27 > 11 nên B đúng. + Đối với câu C, khi n = 3 ta có: 3.23 = 24 và 24 > 5 nên C đúng. + Đối với câu D, khi n = 3 ta có: 32 - 3 = 6 và 6.3 = 18. Vì 6 < 18 nên D sai. Chọn câu D Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể hiểu về phương pháp quy nạp. Đồng thời có thể vận dụng vào việc giải quyết những bài tập cụ thể liên quan. |
