- LG a
- LG b
Cho dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\]xác định bởi
\[\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}}\,\,{\rm{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\]
LG a
Chứng minh rằng \[{u_n} > 0\]với mọin.
Phương pháp giải:
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Lời giải chi tiết:
Chứng minh bằng quy nạp: \[{u_n} > 0\] với mọin. [1]
- Với n = 1 ta có \[{u_1} = 1 > 0\]
- Giả sử [1] đúng với \[n = k \ge 1\]nghĩa là \[{u_k} > 0\]ta cần chứng minh [1] đúng vớin = k + 1
Ta có \[{u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}}\].Vì \[{u_k} > 0\]nên \[{u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}} > 0\]
-Kết luận:\[{u_n} > 0\]với mọin.
LG b
Biết \[\left[ {{u_n}} \right]\]có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Phương pháp giải:
Đặt \[\lim u_n =a\] rồi thay vào công thức truy hồi tìm \[a\] và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Đặt
\[\eqalign{
& \lim {u_n} = a \cr
& {u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr
& \Rightarrow \lim {u_{n + 1}} = \lim {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr
& \Rightarrow a = {{2a + 3} \over {a + 2}} \Rightarrow a = \pm \sqrt 3 \cr}\]
Vì \[{u_n} > 0\]với mọin, nên \[\lim {u_n} = a \ge 0\]. Từ đó suy ra \[\lim {u_n} = \sqrt 3 \].