Bài 1 [3 điểm]:
Tính:
a] \[A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 9x + 14}}{{x - 2}}\]
b] \[B = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sqrt[3]{{8{x^3} + 1}} - x} \right]\]
c] \[C = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 3} \right]}^ - }} \frac{{\left| {{x^2} + 7x + 12} \right|}}{{x + 3}}\]
Bài 2 [1 điểm]:
Định \[a\] để hàm số sau đây liên tục tại \[{x_0} = - 4\]: \[f\left[ x \right] = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 4}}{{\sqrt {x + 13} - 3}}\,\,\,\left[ {x > - 4} \right]\\{x^2} + 2a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {x \le - 4} \right]\end{array} \right.\]
Bài 3 [1 điểm]:
Tìm đạo hàm của hàm số \[y = f\left[ x \right] = \sqrt {\frac{1}{x} + \tan x} \].
Bài 4 [1 điểm]:
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right] = \frac{{2x + 5}}{{x - 3}}\] có đồ thị \[\left[ C \right]\]. Viết phương trình tiếp tuyến \[\left[ \Delta \right]\] của đồ thị \[\left[ C \right]\] biết \[\left[ \Delta \right]\] song song với đường thẳng \[\left[ D \right]:y = - 11x\].
Bài 5 [4 điểm]:
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[\Delta ABC\] vuông cân tại \[C\], \[CA = a,SC \bot \left[ {ABC} \right]\].
a] Chứng minh \[AC \bot \left[ {SBC} \right]\].
b] Gọi \[I\] là trung điểm của \[AB\]. Chứng minh \[\left[ {SCI} \right] \bot \left[ {SAB} \right]\].
c] Cho \[SC = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\]. Tính \[\widehat {\left[ {\left[ {SAB} \right],\left[ {ABC} \right]} \right]}\].
d] Gọi \[H\] là điểm thuộc đoạn \[CI\] sao cho \[CH = 3HI\]. Trên đường thẳng đi qua \[H\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left[ {ABC} \right]\], lấy điểm \[D\] sao cho \[DH = \frac{{a\sqrt {14} }}{8}\]. Gọi \[{G_1}\] và \[{G_2}\] lần lượt là trọng tâm của các tam giác \[DAC\] và \[DBC\]. Tính khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[\left[ {C{G_1}{G_2}} \right]\].
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
Bài 1 [VD]:
Phương pháp:
a] Khử dạng vô định bằng cách phân tích tử thành nhân tử.
b] Đặt \[x\] ra ngoài và sử dụng qui tắc tính giới hạn
c] Khử dạng vô định bằng cách phân tích tử thành nhân tử.
Cách giải:
Tính:
a] \[A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 9x + 14}}{{x - 2}}\]
\[\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 7} \right]}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {x - 7} \right]\\ = 2 - 7\\ = - 5\end{array}\]
b] \[B = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sqrt[3]{{8{x^3} + 1}} - x} \right]\]
\[\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x\sqrt[3]{{2 + \frac{1}{{{x^3}}}}} - x} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x.\left[ {\sqrt[3]{{2 + \frac{1}{{{x^3}}}}} - 1} \right]} \right]\\ = + \infty \end{array}\]
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \] và \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sqrt[3]{{2 + \frac{1}{{{x^3}}}}} - 1} \right]\] \[ = \sqrt[3]{2} - 1 > 0\].
c] \[C = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 3} \right]}^ - }} \frac{{\left| {{x^2} + 7x + 12} \right|}}{{x + 3}}\]
\[\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 3} \right]}^ - }} \frac{{\left| {\left[ {x + 3} \right]\left[ {x + 4} \right]} \right|}}{{x + 3}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 3} \right]}^ - }} \frac{{ - \left[ {x + 3} \right]\left| {x + 4} \right|}}{{x + 3}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 3} \right]}^ - }} \left[ { - \left| {x + 4} \right|} \right]\\ = - \left[ { - 3 + 4} \right] = - 1\end{array}\]
Bài 2 [VD]:
Phương pháp:
Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 4} \right]}^ + }} f\left[ x \right];\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 4} \right]}^ - }} f\left[ x \right];f\left[ { - 4} \right]\]
Để hàm số liên tục tại \[{x_0} = - 4\] thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 4} \right]}^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 4} \right]}^ - }} f\left[ x \right]\] \[ = f\left[ { - 4} \right]\]
Cách giải:
Định \[a\] để hàm số sau đây liên tục tại \[{x_0} = - 4\]:
\[f\left[ x \right] = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 4}}{{\sqrt {x + 13} - 3}}\,\,\,\left[ {x > - 4} \right]\\{x^2} + 2a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {x \le - 4} \right]\end{array} \right.\]
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 4} \right]}^ + }} f\left[ x \right]\]
\[\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 4} \right]}^ + }} \frac{{x + 4}}{{\sqrt {x + 13} - 3}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 4} \right]}^ + }} \frac{{\left[ {x + 4} \right]\left[ {\sqrt {x + 13} + 3} \right]}}{{x + 13 - 9}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 4} \right]}^ + }} \frac{{\left[ {x + 4} \right]\left[ {\sqrt {x + 13} + 3} \right]}}{{x + 4}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 4} \right]}^ + }} \left[ {\sqrt {x + 13} + 3} \right]\\ = \sqrt {\left[ { - 4} \right] + 13} + 3 = 6\end{array}\]
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 4} \right]}^ - }} f\left[ x \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 4} \right]}^ - }} \left[ {{x^2} + 2a} \right]\\ = {\left[ { - 4} \right]^2} + 2a = 2a + 16\end{array}\]
\[f\left[ { - 4} \right] = {\left[ { - 4} \right]^2} + 2a\] \[ = 2a + 16\]
Để hàm số đã cho liên tục tại \[{x_0} = - 4\] thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 4} \right]}^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 4} \right]}^ - }} f\left[ x \right]\] \[ = f\left[ { - 4} \right]\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2a + 16 = 6\\ \Leftrightarrow 2a = - 10\\ \Leftrightarrow a = - 5\end{array}\]
Vậy \[a = - 5\] là giá trị cần tìm.
Bài 3 [VD]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính đạo hàm \[\left[ {\sqrt u } \right]' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\], \[{\left[ {\frac{1}{x}} \right]'} = - \frac{1}{{{x^2}}};\left[ {\tan x} \right]' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\]
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}y' = {\left[ {\sqrt {\frac{1}{x} + \tan x} } \right]'}\\ = \frac{{{{\left[ {\frac{1}{x} + \tan x} \right]}'}}}{{2\sqrt {\frac{1}{x} + \tan x} }}\\ = \frac{{\frac{{ - 1}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{2\sqrt {\frac{1}{x} + \tan x} }}\\ = \frac{{{x^2} - {{\cos }^2}x}}{{2{x^2}{{\cos }^2}x.\sqrt {\frac{1}{x} + \tan x} }}\end{array}\]
Bài 4 [VD]:
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại điểm \[{M_0}\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] là:
\[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + {y_0}\]
Hai đường thẳng song song thì có cùng hệ số góc.
Cách giải:
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\]
Ta có: \[y' = \frac{{ - 11}}{{{{\left[ {x - 3} \right]}^2}}}\]
Gọi \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến \[\left[ \Delta \right]\] với đồ thị hàm số
Vì \[\left[ \Delta \right]//\left[ D \right]\] nên hệ số góc của \[\left[ \Delta \right]\] là \[f'\left[ {{x_0}} \right] = - 11\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{ - 11}}{{{{\left[ {x - 3} \right]}^2}}} = - 11\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {{x_0} - 3} \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 3 = 1\\{x_0} - 3 = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 4 \Rightarrow {y_0} = 13\\{x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = - 9\end{array} \right.\end{array}\]
Với \[M\left[ {4;13} \right]\] ta có phương trình tiếp tuyến \[\left[ \Delta \right]:\] \[y = - 11\left[ {x - 4} \right] + 13\] \[ \Leftrightarrow y = - 11x + 57\]
Với \[M\left[ {2; - 9} \right]\] ta có phương trình tiếp tuyến \[\left[ \Delta \right]:\] \[y = - 11\left[ {x - 2} \right] - 9\] \[ \Leftrightarrow y = - 11x + 13\]
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: \[y = - 11x + 57\], \[y = - 11x + 13\].
Bài 5 [VD]:
Phương pháp:
a] Thay \[x = 3\] vào hàm số dưới dấu giới hạn.
b] Khử dạng vô định bằng cách phân tích tử thành nhân tử.
c] Chia cả tử và mẫu cho \[n\] và áp dụng quy tắc tính giới hạn.
Cách giải:
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[\Delta ABC\] vuông cân tại \[C\], \[CA = a,SC \bot \left[ {ABC} \right]\].
a] Chứng minh \[AC \bot \left[ {SBC} \right]\].
\[\Delta ABC\] vuông tại \[C\] nên \[AC \bot BC\].
\[SC \bot \left[ {ABC} \right]\], mà \[AC \subset \left[ {ABC} \right]\] nên \[SC \bot AC\].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}AC \bot CB\\AC \bot SC\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow AC \bot \left[ {SBC} \right]\] [đpcm].
b] Gọi \[I\] là trung điểm của \[AB\]. Chứng minh \[\left[ {SCI} \right] \bot \left[ {SAB} \right]\].
Tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[C\] nên \[CI\] vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao
\[ \Rightarrow CI \bot AB\].
\[SC \bot \left[ {ABC} \right]\], mà \[AB \subset \left[ {ABC} \right]\] nên \[SC \bot AB\].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CI\\AB \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left[ {SCI} \right]\]
Mà \[AB \subset \left[ {SAB} \right]\] nên \[\left[ {SAB} \right] \bot \left[ {SCI} \right]\] [đpcm].
c] Cho \[SC = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\]. Tính \[\widehat {\left[ {\left[ {SAB} \right],\left[ {ABC} \right]} \right]}\].
Theo câu b, \[AB \bot \left[ {SCI} \right] \Rightarrow AB \bot SI\]
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {SAB} \right] \cap \left[ {ABC} \right] = AB\\SI \bot AB,SI \subset \left[ {SAB} \right]\\CI \bot AB,CI \subset \left[ {ABC} \right]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \widehat {\left[ {\left[ {SAB} \right],\left[ {ABC} \right]} \right]} = \widehat {\left[ {SI,CI} \right]}\] \[ = \widehat {SIC}\] [vì \[\widehat {SIC} < \widehat {SCI} = {90^0}\]]
Tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[C\] có \[CA = CB = a\] nên theo pitago ta có:
\[AB = \sqrt {C{A^2} + C{B^2}} \] \[ = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \]
\[ \Rightarrow CI = IA = \frac{1}{2}AB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]
Tam giác \[SCI\] vuông tại \[C\] có \[\tan \widehat {SIC} = \frac{{SC}}{{CI}}\] \[ = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}:\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 3 \]
\[ \Rightarrow \widehat {SIC} = {60^0}\].
Vậy góc giữa \[\left[ {SAB} \right]\] và \[\left[ {ABC} \right]\] bằng \[{60^0}\].
d] Gọi \[H\] là điểm thuộc đoạn \[CI\] sao cho \[CH = 3HI\]. Trên đường thẳng đi qua \[H\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left[ {ABC} \right]\], lấy điểm \[D\] sao cho \[DH = \frac{{a\sqrt {14} }}{8}\]. Gọi \[{G_1}\] và \[{G_2}\] lần lượt là trọng tâm của các tam giác \[DAC\] và \[DBC\]. Tính khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[\left[ {C{G_1}{G_2}} \right]\].
Gọi \[E,F\] lần lượt là trung điểm của \[DA,DB\].
Do \[{G_1},{G_2}\] lần lượt là trọng tâm của các tam giác \[DAC\] và \[DBC\] nên:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{C{G_1}}}{{CE}} = \frac{2}{3}\\\frac{{C{G_2}}}{{CF}} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \frac{{C{G_1}}}{{CE}} = \frac{{C{G_2}}}{{CF}}\] \[ \Rightarrow {G_1}{G_2}//EF\]
Mà \[EF//AB\] [do \[EF\] là đường trung bình của tam giác \[DAB\]]
Nên \[AB//\left[ {C{G_1}{G_2}} \right] \equiv \left[ {CEF} \right]\]
\[ \Rightarrow d\left[ {A,\left[ {C{G_1}{G_2}} \right]} \right] = d\left[ {I,\left[ {CEF} \right]} \right]\].
Gọi \[K = DI \cap EF\], ta chứng minh \[IK \bot \left[ {CEF} \right]\].
Ta có: \[DH \bot \left[ {ABC} \right],SC \bot \left[ {ABC} \right]\] \[ \Rightarrow DH//SC\]
\[ \Rightarrow \] các điểm \[D,H,S,C,I\] đồng phẳng hay \[DH \subset \left[ {SCI} \right]\].
Ta có: \[AB \bot \left[ {SCI} \right]\] và \[AB//\left[ {CEF} \right]\]
\[ \Rightarrow \left[ {CEF} \right] \bot \left[ {DCI} \right]\].
Tam giác \[DCH\] vuông tại \[H\] có: \[DH = \frac{{a\sqrt {14} }}{8},\] \[CH = \frac{3}{4}CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{8}\] nên theo Pitago ta có:
\[CD = \sqrt {D{H^2} + A{H^2}} \] \[ = \sqrt {{{\left[ {\frac{{a\sqrt {14} }}{8}} \right]}^2} + {{\left[ {\frac{{3a\sqrt 2 }}{8}} \right]}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]
\[ \Rightarrow CD = CI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\] \[ \Rightarrow \Delta CDI\] cân tại \[C\].
Lại có \[K\] là trung điểm \[DI\] [do \[K\] nằm trên \[EF\] là đường trung bình của \[\Delta DAB\]]
Nên \[CK \bot DI \Rightarrow CK \bot IK\].
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {CEF} \right] \bot \left[ {DCI} \right]\\\left[ {CEF} \right] \cap \left[ {DCI} \right] = CK\\IK \subset \left[ {DCI} \right]\\IK \bot CK\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow IK \bot \left[ {CEF} \right]\] \[ \Rightarrow d\left[ {I,\left[ {CEF} \right]} \right] = IK\]
Xét tam giác \[DHI\] vuông tại \[H\] có: \[DH = \frac{{a\sqrt {14} }}{8},\] \[HI = \frac{1}{4}CI = \frac{{a\sqrt 2 }}{8}\] nên theo Pitago ta có:
\[DI = \sqrt {D{H^2} + H{I^2}} \] \[ = \sqrt {{{\left[ {\frac{{a\sqrt {14} }}{8}} \right]}^2} + {{\left[ {\frac{{a\sqrt 2 }}{8}} \right]}^2}} = \frac{a}{2}\]
\[ \Rightarrow IK = \frac{1}{2}DI = \frac{1}{2}.\frac{a}{2} = \frac{a}{4}\].
Vậy \[d\left[ {A,\left[ {C{G_1}{G_2}} \right]} \right] = \frac{a}{4}\].
HẾT