* HS tiếp tục thực hành thành thạo về các bài toán chứng minh chia hết, không chia hết, sốnguyên tố, số chính phương…
* Vận dụng thành thạo kỹ năng chứng minh về chia hết, không chia hết… vào các bài toán cụ thể
- KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN:
Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết
1. Kiến thức:
* Để chứng minh A[n] chia hết cho một số m ta phân tích A[n] thành nhân tử có một nhân tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đoi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A[n] chia hết cho các số đó
CHUYÊN ĐỀ 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
- MỤC TIÊU: * Củng cố, khắc sâu kiến thức về các bài toán chia hết giữa các số, các đa thức * HS tiếp tục thực hành thành thạo về các bài toán chứng minh chia hết, không chia hết, sốnguyên tố, số chính phương… * Vận dụng thành thạo kỹ năng chứng minh về chia hết, không chia hết… vào các bài toán cụ thể
- KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN:
- Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết 1. Kiến thức: * Để chứng minh A[n] chia hết cho một số m ta phân tích A[n] thành nhân tử có một nhân tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đoi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A[n] chia hết cho các số đó. * Chú ý: – Với k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội của k – Khi chứng minh A[n] chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A[n] cho m – Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì:
- an – bn chia hết cho a – b [a ≠ – b]
- a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b
- [a + b]n \= B[a] + bn
2. Bài tập: Bài 1: chứng minh rằng
- 251 – 1 chia hết cho 7
- 270 + 370 chia hết cho 13
- 1719 + 1917 chi hết cho 18
- 3663 – 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37
- 24n -1 chia hết cho 15 với nÎ N Giải:
- 251 – 1 = [23]17 – 1 $ \vdots $ 23 – 1 = 7
- 270 + 370 [22]35 + [32]35 = 435 + 935 $ \vdots $ 4 + 9 = 13
- 1719 + 1917 = [1719 + 1] + [1917 – 1] 1719 + 1 17 + 1 = 18 và 1917 – 1 $ \vdots $ 19 – 1 = 18 nên [1719 + 1] + [1917 – 1] hay 1719 + 1917 $ \vdots $ 18
- 3663 – 1 $ \vdots $ 36 – 1 = 35 $ \vdots $ 7 3663 – 1 = [3663 + 1] – 2 chi cho 37 dư – 2
- 2 4n – 1 = [24] n – 1 $ \vdots $ 24 – 1 = 15 Bài 2: chứng minh rằng
- n5 – n chia hết cho 30 với n ∈ N ;
- n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n ∈ Z
- 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n ∈ N ; Giải:
- n5 – n = n[n4 – 1] = n[n – 1][n + 1][n2 + 1] = [n – 1].n.[n + 1][n2 + 1] chia hết cho 6 vì [n – 1].n.[n+1] là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 [*] Mặt khác: n5 – n = n[n2 – 1][n2 + 1] = n[n2 – 1].[n2 – 4 + 5] = n[n2 – 1].[n2 – 4 ] + 5n[n2 – 1] \= [n – 2][n – 1]n[n + 1][n + 2] + 5n[n2 – 1] Vì [n – 2][n – 1]n[n + 1][n + 2] là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5 5n[n2 – 1] chia hết cho 5 Suy ra [n – 2][n – 1]n[n + 1][n + 2] + 5n[n2 – 1] chia hết cho 5 [**] Từ [*] và [**] suy ra đpcm
- Đặt A = n4 -10n2 + 9 = [n4 -n2 ] – [9n2 – 9] = [n2 – 1][n2 – 9] = [n – 3][n – 1][n + 1][n + 3] Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 [k Z] thì A = [2k – 2].2k.[2k + 2][2k + 4] = 16[k – 1].k.[k + 1].[k + 2] ⇒ A chia hết cho 16 [1] Và [k – 1].k.[k + 1].[k + 2] là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 [2] Từ [1] và [2] suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384
- 10 n +18n -28 = [ 10 n – 9n – 1] + [27n – 27] + Ta có: 27n – 27 $ \vdots $ 27 [1] + 10 n – 9n – 1 = [[ + 1] – 9n – 1] = – 9n = 9[ – n] 27 [2] vì 9 $ \vdots $ 9 và $ \underbrace{1…1}_{\text{n}}$ – n $ \vdots $ 3 do $ \underbrace{1…1}_{\text{n}}$ – n là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 Từ [1] và [2] suy ra đpcm Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì
- a3 – a chia hết cho 3
- a7 – a chia hết cho 7 Giải:
- a3 – a = a[a2 – 1] = [a – 1] a [a + 1] là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 nên [a – 1] a [a + 1] chia hết cho 3
- ] a7 – a = a[a6 – 1] = a[a2 – 1][a2 + a + 1][a2 – a + 1] Nếu a = 7k [k Z] thì a chia hết cho 7 Nếu a = 7k + 1 [k Z] thì a2 – 1 = 49k2 + 14k chia hết cho 7 Nếu a = 7k + 2 [k Z] thì a2 + a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7 Nếu a = 7k + 3 [k Z] thì a2 – a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7 Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7 Vậy: a7 – a chia hết cho 7 Bài 4: Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + …+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + … + 100 Giải: Ta có: B = [1 + 100] + [2 + 99] + …+ [50 + 51] = 101. 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101 Ta có: A = [13 + 1003] + [23 + 993] + … +[503 + 513] \= [1 + 100][12 + 100 + 1002] + [2 + 99][22 + 2. 99 + 992] + … + [50 + 51][502 + 50. 51 + 512] = 101[12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + … + 502 + 50. 51 + 512] chia hết cho 101 [1] Lại có: A = [13 + 993] + [23 + 983] + … + [503 + 1003] Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 [2] Từ [1] và [2] suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B Bài tập về nhà Chứng minh rằng:
- a5 – a chia hết cho 5
- n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn
- Cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr a2 – 1 chia hết cho 24
- Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 chia hết cho 6
- 20092010 không chia hết cho 2010
- n2 + 7n + 22 không chia hết cho 9 Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia Bài 1: Tìm số dư khi chia 2100
- cho 9, b] cho 25, c] cho 125 Giải:
- Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 – 1 Ta có : 2100 = 2. [23]33 = 2.[9 – 1]33 = 2.[B[9] – 1] = B[9] – 2 = B[9] + 7 Vậy: 2100 chia cho 9 thì dư 7
- Tương tự ta có: 2100 = [210]10 = 102410 = [B[25] – 1]10 = B[25] + 1 Vậy: 2100 chia chop 25 thì dư 1
- Sử dụng công thức Niutơn: 2100 = [5 – 1]50 = [550 – 5. 549 + … +$ \frac{50.49}{2}$ . 52 – 50 . 5 ] + 1 Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp theo: $ \frac{50.49}{2}$ . 52 – 50.5 cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1 Vậy: 2100 = B[125] + 1 nên chia cho 125 thì dư 1 Bài 2: Viết số 19951995 thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phương đó chia cho 6 thì dư bao nhiêu? Giải Đặt 19951995 = a = a1 + a2 + …+ an. Gọi $ \text{S }=\text{ }{{\text{a}}_{\text{1}}}{3}+{{\text{a}}_{2}}{3}\text{ + }{{\text{a}}_{3}}{3}\text{ + }…\text{+ }{{\text{a}}_{\text{n}}}{3}$ = $ {{\text{a}}_{\text{1}}}{3}+{{\text{a}}_{2}}{3}\text{ + }{{\text{a}}_{3}}{3}\text{ + }…\text{+ }{{\text{a}}_{\text{n}}}{3}$ + a – a \= [a1 3 – a1] + [a2 3 – a2] + …+ [an 3 – an] + a Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ cần tìm số dư khi chia a cho 6 1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3 Bài 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 viết trong hệ thập phân Giải: Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2100 cho 1000 Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2100 cho 125 Vận dụng bài 1 ta có 2100 = B[125] + 1 mà 2100 là số chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876 Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 vì 2100 = 1625 chi hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8 trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ có 376 chia hết cho 8 Vậy: 2100 viết trong hệ thập phân có ba chữ số tận cùng là 376 Tổng quát: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của nó là 376 Bài 4: Tìm số dư trong phép chia các số sau cho 7
- 2222 + 5555
- 31993
- 19921993 + 19941995
- $ \displaystyle {{\text{3}}{{{\text{2}}{\text{1930}}}}}$ Giải:
- ta có: 2222 + 5555 = [21 + 1]22 + [56 – 1]55 = [BS 7 +1]22 + [BS 7 – 1]55 \= BS 7 + 1 + BS 7 – 1 = BS 7 nên 2222 + 5555 chia 7 dư 0
- Luỹ thừa của 3 sát với bội của 7 là 33 = BS 7 – 1 Ta thấy 1993 = BS 6 + 1 = 6k + 1, do đó: 31993 = 3 6k + 1 = 3.[33]2k = 3[BS 7 – 1]2k = 3[BS 7 + 1] = BS 7 + 3
- Ta thấy 1995 chia hết cho 7, do đó: 19921993 + 19941995 = [BS 7 – 3]1993 + [BS 7 – 1]1995 = BS 7 – 31993 + BS 7 – 1 Theo câu b ta có 31993 = BS 7 + 3 nên 19921993 + 19941995 = BS 7 – [BS 7 + 3] – 1 = BS 7 – 4 nên chia cho 7 thì dư 3
- $ \displaystyle {{\text{3}}{{{\text{2}}{\text{1930}}}}}$ = 32860 = 33k + 1 = 3.33k = 3[BS 7 – 1] = BS 7 – 3 nên chia cho 7 thì dư 4 Bài tập về nhà Tìm số dư khi:
- 21994 cho 7
- 31998 + 51998 cho 13
- A = 13 + 23 + 33 + …+ 993 chia cho B = 1 + 2 + 3 + … + 99 Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết Bài 1: Tìm n Z để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 – 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức B = n2 – n Giải: Chia A cho B ta có: n3 + 2n2 – 3n + 2 = [n + 3][n2 – n] + 2 Để A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n2 – n = n[n – 1] do đó 2 chia hết cho n, ta có:
n1– 12– 2n – 10– 21– 3n[n – 1]0226loạiloại
Vậy: Để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 – 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức B = n2 – n thì n ∈ {-1;2} Bài 2:
- Tìm n ∈ N để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
- Giải bài toán trên nếu n ∈ Z Giải: Ta có: n5 + 1 $ \vdots $ n3 + 1 ⇔ n2[n3 + 1] – [n2 – 1] $ \vdots $ n3 + 1 ⇔ [n + 1][n – 1] $ \vdots $ n3 + 1 ⇔ [n + 1][n – 1] $ \vdots $ [n + 1][n2 – n + 1] ⇔ n – 1 $ \vdots $ n2 – n + 1 [Vì n + 1 ≠ 0]
- Nếu n = 1 thì 0 $ \vdots $ 1 Nếu n > 1 thì n – 1 < n[n – 1] + 1 < n2 – n + 1 nên không thể xảy ra n – 1 $ \vdots $ n2 – n + 1 Vậy giá trị của n tìm được là n = 1
- n – 1 $ \vdots $ n2 – n + 1 ⇒ n[n – 1] $ \vdots $ n2 – n + 1 ⇔ [n2 – n + 1 ] – 1 $ \vdots $ n2 – n + 1 ⇒ 1 $ \vdots $ n2 – n + 1. Có hai trường hợp xảy ra: + n2 – n + 1 = 1 ⇔ n[n – 1] = 0 $ \left[ \begin{array}{l}\text{n }=\text{ }0\text{ }\\\text{n }=\text{ 1}\end{array} \right.$ [Tm đề bài] + n2 – n + 1 = -1 ⇔ n2 – n + 2 = 0 [Vô nghiệm] Bài tập về nhà: Tìm số nguyên n để:
- n3 – 2 chia hết cho n – 2
- n3 – 3n2 – 3n – 1 chia hết cho n2 + n + 1 c]5n – 2n chia hết cho 63 Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết Bài 1: Tìm n ∈ N sao cho 2n – 1 chia hết cho 7 Giải: Nếu n = 3k [ k ∈ N] thì 2n – 1 = 23k – 1 = 8k – 1 chia hết cho 7 Nếu n = 3k + 1 [ k ∈ N] thì 2n – 1 = 23k + 1 – 1 = 2[23k – 1] + 1 = BS 7 + 1 Nếu n = 3k + 2 [ k ∈ N] thì 2n – 1 = 23k + 2 – 1 = 4[23k – 1] + 3 = BS 7 + 3 Vậy: 2n – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3 Bài 2: Tìm n N để:
- 3n – 1 chia hết cho 8
- A = 32n + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25
- 5n – 2n chia hết cho 9 Giải:
- Khi n = 2k [k N] thì 3n – 1 = 32k – 1 = 9k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8 Khi n = 2k + 1 [k N] thì 3n – 1 = 32k + 1 – 1 = 3. [9k – 1 ] + 2 = BS 8 + 2 Vậy : 3n – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k [k N]
- A = 32n + 3 + 24n + 1 = 27 . 32n + 2.24n = [25 + 2] 32n + 2.24n = 25. 32n + 2.32n + 2.24n \= BS 25 + 2[9n + 16n] Nếu n = 2k +1[k N] thì 9n + 16n = 92k + 1 + 162k + 1 chia hết cho 9 + 16 = 25 Nếu n = 2k [k N] thì 9n có chữ số tận cùng bằng 1 , còn 16n có chữ số tận cùng bằng 6 suy ra 2[[9n + 16n] có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 25
- Nếu n = 3k [k N] thì 5n – 2n = 53k – 23k chia hết cho 53 – 23 = 117 nên chia hết cho 9 Nếu n = 3k + 1 thì 5n – 2n = 5.53k – 2.23k = 5[53k – 23k] + 3. 23k = BS 9 + 3. 8k \= BS 9 + 3[BS 9 – 1]k = BS 9 + BS 9 + 3 Tương tự: nếu n = 3k + 2 thì 5n – 2n không chia hết cho 9
Bồi dưỡng Toán 8 - Tags: bồi dưỡng hsg 8
Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu – Toán lớp 8
- ### Giải bài toán chuyển động bằng cách lập phương trình
- ### Giải toán bằng cách lập phương trình dạng hình học
- ### Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng
- ### 9 dạng toán ứng dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
- ### Dấu hiệu nhận biết của các tứ giác đặc biệt
- ### Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức