Khỏe Đẹp Bài tập

Bài tập chuỗi số toán cao cấp có lời giải

Tóm tắt nội dung tài liệu

CHUOÃI SOÁ – CHUOÃI HAØM ¥ åx Tính toång vôùi : n n =1 1 a] x n = q n b] x n = [| q |< 1] n[n + 1] 1 1 c] x n = d] x n = [n ³ 2] [ ] n -1 2 n +1 + n n[n + 1] . Giaûi: Ñaët Sn = x1 + x 2 + ... + x n 1 - qn a] Sn = q + q 2 + ... + q n = q 1- q ¥ q åx = lim Sn = n 1- q n ®¥ n =1 1 1 b] Ta coù x k = - , töø ñoù k k +1 æ 1ö æ 1 1ö æ1 1ö 1 Sn = ç1 - ÷ + ç - ÷ + ... + ç - ÷ =1- è n n +1ø n +1 è 2ø è 2 3ø ¥ åx = lim Sn = 1 n n ®¥ n =1 1æ 1 1ö 1 c] Ta coù x k = =ç - ÷, k ³ 2 k -1 2 è k -1 k +1 ø 2 1 ææ 1 ö æ 1 1 ö æ 1 1 ö 1 öö æ1 Sn = x 2 + x 3 + ... + x n = ç ç1 - ÷ + ç - ÷ + ç - ÷ + ... + ç - ÷÷ è n -1 n +1 ø ø 2 èè 3ø è 2 4 ø è 3 5 ø 1æ 1 1 1ö = ç1 + - - ÷ 2 è 2 n n +1ø ¥ 1æ 1ö 3 å x n = nlim Sn = 2 ç1 + 2 ÷ = 4 è ø ®¥ n =1 k +1 - k 1 d] Ta coù x k = = [ ] k. k + 1 k +1 + k k[k + 1] 1 1 = - k +1 k 1ö æ1 1ö æ1 æ1 1ö neân Sn = ç - ÷+ç - ÷ + ... + ç - ÷ n +1 ø è1 2ø è 2 èn 3ø 1 . = 1- n +1 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version //www.fineprint.com
¥ åx Vaäy = lim Sn = 1 n n ®¥ n =1 Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa caùc chuoãi sau : ¥ ¥ 1 1 a] å 2 å2 b] n n =1 n n =1 ¥ ¥ n 1 c] å n ån d] n =1 2 n =1 2n + 3n ¥ ¥ 1 å ln n f] å e] 6n n=2 n =1 . Giaûi: ¥ ¥ 1 1 1 1 , "n ³ 1 vaø å hoäi tuï neân å 2 hoäi tuï. a] 2 £ n[n + 1] n =1 n[n - 1] n n =1 n ¥ ¥ 1 1 1 b] å n = å q n vôùi 0 < q = < 1 neân å n hoäi tuï. 2 n =1 2 n =1 2 n n n c] do ® 0 neân n < 2 2 , "n ³ n 0 . = [ 2] n n n ®¥ 22 n n 22 Töø ñoù n £ n , n ³ n 0 2 2 n 1 hay n £ , n ³ n0 [] n 2 2 ¥ 1 n å2 å maø hoäi tuï neân hoäi tuï. [ 2] n n n =1 1 1 d] ñaët Sn = 1 + + ... + 2 n 1 vôùi e0 = , vaø moïi soá nguyeân n Î N laây n ³ N vaø m =2n 2 1 1 1 1 thì Sm - Sn = + + ... + ³ [ = e] n +1 n + 2 n+n 2 1 ån do ñoù theo tieâu chuaån Cauchy, [ Sn ]n khoâng hoäi tuï, neân phaân kyø. 1 1 e] Töø n > ln n , n ³ 2 ta coù > ln n n ¥ 1 1 maø å phaân kyø neân å phaân kyø. n n = 2 ln n PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version //www.fineprint.com
2 n + 3n 1 1 1 1 å3 å2 f] Vôùi x n = = n + n vaø caùc chuoãi : vaø hoäi tuï. 6n n n 32 2n + 3n ¥ Vaäy å hoäi tuï. 6n n =1 Chöùng minh raèng chuoãi: 2.4 2.4.6 + ... phaân kyø. 1+ + 1.3 1.3.5 . Giaûi: 2.4.6...2n Soá haïng toång quaùt x n = >1 1.3.5...[2n - 1] ¥ åx Þ daõy [ x n ] n khoâng coù giôùi haïn laø 0 neân phaân kyø. n 1 ¥ ¥ å [a ] å [ b ] vôùi a Cho vaø ³ 0 "n n n n n =1 n =1 b n ³ 0 "n an = c [ ³ 0 ] . CMR vaø lim n ®¥ b n ¥ ¥ å [ bn ] hoäi tuï thì å [ a n ] a] c = 0 , vaø hoäi tuï. n =1 n =1 ¥ ¥ å [ bn ] phaân kyø thì å [a ] b] c = ¥ , vaø phaân kyø. n n =1 n =1 ¥ ¥ å [a n ] å [ b ] cuøng baûn chaát, nghóa laø cuøng phaân kyø hay cuøng c] 0 < c < ¥ thì vaø n n =1 n =1 hoäi tuï, luùc ñoù seõ ghi a n ~ b n [n ® ¥] . Giaûi: an a] do lim = 0 neân $n 0 sao cho 0 £ a n £ b n , "n ³ n 0 bn n ®¥ ¥ ¥ å [ bn ] hoäi tuï daãn ñeán å [a ] Vaäy hoäi tuï. n n =1 n =1 an b] do lim = ¥ neân $n 0 sao cho b n £ a n , "n ³ n 0 bn n ®¥ ¥ ¥ å [ bn ] phaân kyø daãn ñeán å [ a ] phaân kyø. Vaäy n n =1 n =1 an c] lim = c vôùi 0 < c < ¥ , $n 0 : bn n ®¥ c 3c b n £ a n £ .b n , "n ³ n 0 2 2 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version //www.fineprint.com
¥ ¥ ¥ 3c å [ bn ] hoäi tuï thì å2 .b n hoäi tuï, do ñoù å [ a n ] hoäi tuï neáu n =1 n =1 n =1 ¥ ¥ ¥ c å [b ] phaân kyø thì å .b n phaân kyø do ño å [ a n ] phaân kyø. neáu n n =1 2 n =1 n =1 Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa caùc chuoãi sau: 1 1 a] å b] å 1+ n2 n[n + 1] 1 1 å å c] d] [ ln n ] n n[n + n 2 ] n! 1 ån å e] f] 2 n ln n xn xn g] å n [x ³ 0] h] å n n! 2n + 1 p ¥ ¥ 1 i] å 2 j] å sin n = 4 n - 4n + 3 n =1 n n . Giaûi: ¥ ¥ 1 1 1 1 ån å a] [n ® ¥] vaø do phaân kyø neân phaân kyø. ~ n[n + 1] n n[n + 1] n =1 n =1 1 1 1 £ 2 neân å b] hoäi tuï. 1+ n 1+ n2 2 n 1 c] Ñaët x n = ta coù [ ln n ] n 1 ® 0 [< 1] xn = n ln n n ®¥ 1 å hoäi tuï [ ln n ] n 1 1 1 å d] [ n ® ¥ ] neân hoäi tuï. ~ 3 n[n + n 2 ] n[n + n ] 2 n 2 [ n + 1]! ´ n 2 = n 2 ® ¥ , neân chuoãi n! x n! ån e] x n = 2 töø ñoù n +1 = phaân kyø. [ n + 1] n! n + 1 2 2 n xn 1 n ln n = n ® ¥ f] Xeùt 1 ln n n PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version //www.fineprint.com
1 1 ån å maø phaân kyø, vaäy phaân kyø. n ln n xn å n n hoäi tuï theo tieâu chuaån Cauchy. g] xn å n! hoäi tuï theo tieâu chuaån D’Alembert. h] 2n + 1 2n + 1 1 ~ [ n ® ¥ ] neân å 2 i] do 2 phaân kyø n - 4n + 3 n n - 4n + 3 p 1 sin n = n sin p ® p j] Xeùt n 1 n n ®¥ 2 n p1 p 1 neân n sin ~ 2 [ n ® ¥ ] . Vaäy å sin hoäi tuï. nn n n p é1.3.5...[2n - 1] ù ¥ å ê 2.4.6...2n ú < VI.6> Cho chuoãi soá n =1 ë û Chöùng minh raèng chuoãi hoäi tuï khi vaø chæ khi p > 2 . Giaûi: p é1.3.5...[2n - 1] ù Ñaët x p = ê ë 2.4.6...2n ú n û 1 3 5 [2n - 1] 3 5 [2n - 1] [2n + 1] 1 ta coù x 2 = . . ... .1. . ... . . n 2 4 [2n - 2] 2n + 1 246 2n 2n æ 1 öæ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö æ 1ö 1 = ç1 - ÷ç1 - ÷ ... ç1 - ÷ . ç1 + ÷ ç1 + ÷ ... ç1 + ÷ . è 2 øè 4 ø è 2 ø è 2 ø è 4 ø è 2n ø 2n + 1 1ö æ 1ö 1 æ 1 öæ = ç1 - 2 ÷ ç1 - 2 ÷ ... ç1 - . 2÷ è 2 ø è 4 ø è [2n] ø 2n + 1 1¥ 1 1 11 1 1 = å 2 £ 2= do + 2 + ... + [ 2n ] 4 k =1 k 4 2 2 2 24 11 neân x 2 ³ . n 2 2n + 1 11 maø vì å . åx phaân kyø, ta coù phaân kyø. 2 n 2 2n + 1 Töø ñoù suy ra ¥ åx p £ 2 : ta coù x p ³ x 2 neân phaân kyø. p n n n 1 p > 2: PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version //www.fineprint.com
p éæ 1ö1ù 1ö æ p 1 öæ 2 Ta coù x p = [x ] = êç1 - 2 ÷ ç1 - 2 ÷ .. ç1 - 22 ú 2÷ n n ëè 2 ø è 4 ø è [2n] ø 2n + 1 û 1 £ p [ 2n + 1] 2 ¥ ¥ 1 p å åx maø hoäi tuï [ > 1] , neân hoäi tuï. p n p 2 n =1 n +1 [2n + 1] 2 Khaûo saùt söï hoäi tuï tuyeät ñoái cuûa x 2n +1 xn a] å [-1] å [-1] b] 2n +1 n +1 [ 2n + 1] ! [ x + 2] n . Giaûi: 2n +1 x 2n +1 x a] Ñaët a n = [-1] 2n +1 = [ 2n + 1]! [ 2n + 1]! [ 2n + 1]! = 2n + 3 2 x x a Ta coù n +1 = ®0 . [ 2n + 3]! x [ 2n + 2 ] [ 2n + 3] n ®¥ 2n +1 an åa hoäi tuï vôùi "x Î  . Vaäy n x 2n +1 å [-1] hoäi tuï tuyeät ñoái taïi "x Î  . hay 2n +1 [ 2n + 1] ! n x xn b] Ñaët a n = [-1] ["x ¹ -2] . n +1 = [ x + 2] n n x+2 x an = n x+2 x Ta coù -1 x > 1 Û x < -1 x+2 åa x = -1 thì an =1 neân phaân kyø. n xn å [-1] Vaäy hoäi tuï tuyeät ñoái khi vaø chæ khi x > -1 n +1 [ x + 2] n PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version //www.fineprint.com
åa åa b Cho [ b n ]n bò chaën vaø a n ³ 0, "n . Giaû söû hoäi tuï. CMR hoäi tuï. n n n . Giaûi: Do [ b n ]n bò chaën neân $M > 0 : | b n |£ M, "n neân [ a n ³ 0 ]. M.a n ³| a n .b n |, "n å Ma åa b åa b vaø hoäi tuï neân hoäi tuï, do ñoù hoäi tuï. n n n n n [ ln n ] k å Xeùt tính hoäi tuï cuûa vôùi k > 1 vaø p > 1 np . Giaûi: Vôùi p > 1, ta coù p = 1 + a trong ñoù a > 0 . [ ln n ] k [ ln n ] k a np Xeùt = ®0 [ > 0] a 1 2 n ®¥ n 2 a 1+ n 2 [ ln n ] k ¥ 1 å å Maø hoäi tuï, neân hoäi tuï. a np 1+ n =2 n 2 ¥ 1 ån Khaûo saùt tính hoäi tuï cuûa [a, b > 0] a ln b n n=2 . Giaûi: 1 Xeùt haøm soá f [x] = xaùc ñònh treân [2, ¥] vaø laø haøm soá giaûm. x ln b x a Hôn nöõa ôû baøi taäp tích phaân, ta coù ¥ dx ò x a lnb x hoäi tuï. a >1 2 ¥ dx òx phaân kyø a 1 hoäi tuï a ln b x 2 ¥ dx òx - b £1 phaân kyø a ln b x 2 ¥ 1 ån Töø ñoù hoäi tuï khi vaø chæ khi a > 1 hay a = 1 vaø b > 1 a ln b n n=2 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version //www.fineprint.com
åa åb åa b Cho vaø hoäi tuï. CMR hoäi tuï 2 2 n n n n . Giaûi: a 2 + b2 Ta coù a n b n £ , "n. n n 2 a 2 + b2 maø å a , å b hoäi tuï neân å a + b hoäi tuï vaø do ñoù å n hoäi tuï vaäy 2 2 2 2 n n n n n 2 åa b åa b hoäi tuï, suy ra hoäi tuï. n n n n åa Cho a n ³ 0, "n vaø phaân kyø n ¥ ¥ a an å 1 + na phaân kyø, coøn å 1+ n a CMR hoäi tuï. 2 n =1 n =1 n n . Giaûi: ¥ an an å1+ a Giaû söû ® 0 , neáu ngöôïc laïi thì phaân kyø. 1 + a n n ®¥ n =1 n e Ta coù : "e > 0 , ñaët e' = 1+ e an $n 0 : n ³ 0 Þ < e' 1+ an e' = e , n ³ n0 . Þ an < 1 - e' Vaäy lim a n = 0 n töø ñoù a n £ a n , "n ³ N 0 [N0 ñuû lôùn]. å Suy ra luùc ñoù a n phaân kyø. an a 1 Hôn nöõa ³ n= [a n > 0] an 1+ an 2 an 2 an 1 Vaø neáu an = 0. ³ an 1+ an 2 an 1 å2 å1+ a do a n phaân kyø neân phaân kyø. n an 1 Deã daøng kieåm chöùng £ 2 , "n 1 + a n .n 2 n an 1 ån å 1+ n a töø ñoù do hoäi tuï, ta coù hoäi tuï. 2 2 n PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version //www.fineprint.com
an åa å Cho a n ³ 0 , "n vaø hoäi tuï. CM hoäi tuï. n n . Giaûi: å[ ] = åa 1 2 ån Töø vaø hoäi tuï. an n 2 an å Theo , hoäi tuï. n Tìm mieàn hoäi tuï cuûa : xn å nx ån a] b] n n xn å2 d] å 2 c] -n n x n + 2n . Giaûi: a] a n = n Þ n a n = n n ® 1 taïi x = ±1 chuoãi phaân kyø n ®¥ å nx laø [ -1,1] Vaäy mieàn hoäi tuï cuûa n 1 1 b] a n = Þ n an = ® 0 n n n n ®¥ xn chuoãi å n coù mieàn hoäi tuï laø [ -¥, +¥ ] n 1 c] a n = 2- n Þ n | a n | = 2 å2 x n hoäi tuï treân "x :| x |< 2 vaø phaân kyø vôùi "x :| x |> 2 -n [ -2 ] n å x=-2 : phaân kyø. 2n 2n å 2n phaân kyø X= 2 : Vaäy mieàn hoäi tuï laø [ -2, 2 ] . 1 1 d] a n = Þ n an = ®1 n + 2n 2 n + 2n n ®¥ n 2 åa x n hoäi tuï vôùi "x : | x |< 1 n vaø phaân kyø vôùi "x : | x |> 1 taïi x = ±1 chuoãi hoäi tuï. PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version //www.fineprint.com
Vaäy mieàn hoäi tuï laø [ -1,1] Tìm mieàn hoäi tuï cuûa xn a] å åx b] n ln n n xn 2n å [ 4n - 1]! å [ 2n + 7 ]! x n c] d] . Giaûi: a] Baùn kính hoäi tuï laø R = 1. x = 1 chuoãi phaân kyø. x = -1 chuoãi hoäi tuï [theo Leibnitz] mieàn hoäi tuï laø [-1,1] b] Baùn kính hoäi tuï laø R=1 taïi x = ±1 chuoãi phaân kyø. Mieàn hoäi tuï laø [-1, 1]. [ 4n - 1]! = 1 a 2 c] a n = , thì n +1 = [ 4n - 1]! [ 4n + 3]! 4n [ 4n + 1] [ 4n + 2 ] [ 4n + 3] an Baùn kính hoäi tuï R = ¥ Mieàn hoäi tuï laø [-¥, +¥] [ 2n + 7 ] ! = 2n +1 2n a 2 d] a n = thì n +1 = ´ [ 2n + 7 ]! [ 2n + 9 ]! [ 2n + 8] [ 2n + 9 ] n an 2 mieàn hoäi tuï laø [-¥, +¥] . ¥ 1 åx Chöùng minh raèng hoäi tuï ñeàu treân [0, ] vaø khoâng hoäi tuï ñeàu treân [0, n 2 n =0 1]. . Giaûi: n æ1ö 1 Ta coù x n £ ç ÷ , "x Î [0, ] è 2ø 2 1 1 Vaø å n hoäi tuï neân å x n hoäi tuï ñeàu treân [ 0, ] 2 2 ñaët Sn [x] = 1 + x + x + ... + x 2 n 1 - x n +1 = 1- x 1 "x Î [0,1] ta coù limSn [x] = = S[x] 1- x n x n +1 1 xeùt Sn [x] - = 1- x 1- x PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version //www.fineprint.com
vôùi n cho tröôùc, ta coù : xn xn = ¥ neân $x : >1 lim x ®1 1 - x 1- x Vaäy Sn[x] khoâng hoäi tuï ñeàu veà S[x] treân [0, 1]. ¥ å [1 - x ] x CMR khoâng hoäi tuï ñeàu treân [0, 1]. n n =0 . Giaûi: 1 - x n +1 ¥ Ñaët Sn [ x ] = å [1 - x ] x = [1 - x ] = 1 - x n +1 [k ¹ 1] k 1- x k =0 Sn [x] = 0 taïi x = 1 . ì1 , x ¹ 1 Vaäy Sn [x] ® S[x] = í î0 , x = 1 do ñoù : f n [x] = [1 - x ] x n lieân tuïc treân [0, 1] vaø S[x] khoâng lieân tuïc treân [0, 1] neân Sn [x] khoâng hoäi tuï ñeàu veà S[x] treân [0, 1]. 1 ån Chöùng minh hoäi tuï ñeàu treân [0, ¥] + x2 2 . Giaûi: 1 1 £ a n = 2 , "x Î [ 0, ¥ ] Vôùi f n [x] = n +x 2 2 n åa åf do hoäi tuï neân [x] hoäi tuï ñeàu. n n sin nx å hoäi tuï ñeàu treân  . Chöùng minh nn . Giaûi: sin nx Vôùi f n [x] = nn 1 1 ån åf do f n [x] £ vaø hoäi tuï neân [x] hoäi tuï ñeàu. n nn n treân [ 0, ¥ ] åx e Xeùt tính hoäi tuï ñeàu cuûa n - nx . Giaûi: Xeùt haøm soá f n [x] = x n e- nx ta coù f n' [x] = nx n -1.e- nx - nx n e- nx = nx n -1e - nx [1 - x ] PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version //www.fineprint.com
x0 1 +¥ + 0 - ' f [x] n e- n f n [x] 0 0 Vaäy 0 £ f n [x] £ e- n , "x Î [ 0, ¥ ] åe åf maø hoäi tuï vaäy [x] hoäi tuï ñeàu. -n n xn å 1 + x n hoäi tuï ñeàu treân moïi ñoaïn [0, c] vôùi 0 < c < 1 , Chöùng minh chuoãi nhöng khoâng hoäi tuï ñeàu treân [ 0,1] . . Giaûi: Vôùi moïi soá c Î [0,1] . xn Xeùt haøm soá f n [x] = taêng [theo bieán x] 1+ xn cn £ cn , " Î [ 0, c] Do ñoù f n [x] £ 1+ x n åc åf Do hoäi tuï neân [x] hoäi tu ñeàu treân [0, c]. n n Xeùt treân [0, 1] xk n Ñaët Sn [x] = å k =1 1 + x k "m, n cho tröôùc ta coù x n +1 x m +1 [m > n] Sm [x] - Sn [x] = + ... + 1 + x n +1 1 + x m +1 xn xn 1 1 = neân $x Î [ 0,1] : do lim > x ®1 1 + x n 1+ x n 2 3 åf vaäy [x] khoâng hoäi tuï ñeàu treân [0, 1]. n ¥ 1 Cho f [x] = å n =1 1 + n x 2 a] Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa f. b] Xeùt tính lieân tuïc cuûa f. . Giaûi: a] x = 0 , chuoãi khoâng hoäi tuï neân f khoâng xaùc ñònh. PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version //www.fineprint.com
1 1 , soá haïng toång quaùt khoâng xaùc ñònh, haøm soá khoâng xaùc ñònh x=- 1+ n2x 2 n -1 -1 -1 1 1 "x Î  \ {0, , 2 , 2 ,...} ñöôïc choïn tröôùc ~ 2 [ n ® ¥ ] neân 1+ n x n 2 123 1 å 1 + n 2 x hoäi tuï tuyeät ñoái , f xaùc ñònh. -1 -1 -1 Vaäy mieàn xaùc ñinh cuûa f laø D =  \{0, , 2 , 2 ,...} 123 b] Laáy x0 baát kyø treân D. Toàn taïi a, b Î  : x 0 Î [ a, b] Ì D 1 giaûm [theo bieán x] treân [ a, b] neân Do f n [x] = 1 + n 2x f n [b] £ f n [x] £ f n [a], "x Î [ a, b] , "n Î N , vì vaäy f n [x] £ max[ f n [b] , f n [a ] ] = a n åa åf Trong ñoù a n = f n [a] hay a n = f n [b] vaø coù hoäi tuï. Suy ra [x] hoäi tuï ñeàu n n treân [ a, b] , maø caùc haøm fn lieân tuïc treân [ a, b] , vaäy f lieân tuïc treân [ a, b] . Töùc laø f lieân tuïc tai x0 vaø do ñoù f lieân tuïc treân D. nx 2 treân [ 0, ¥ ] Xeùt tính lieân tuïc cuûa f [x] = å x3 + n3 . Giaûi: nx 2 nx 2 x 2 Vôùi x ³ 0 thì : £ 3= 2 x3 + n3 x n Vôùi baát kyø x ³ 0 toàn taïi a > 0 thoûa 0 £ x £ a neân nx 2 n.a 2 a 2 0£ 3 £ 3=2 x + n3 n n 2 a maø å 2 hoäi tuï n nx 2 å x 3 + n 3 hoäi tuï ñeàu treân [0, a] neân nx 2 nx 2 suy ra f [x] = å lieân tuïc treân [0, a] [vì f n [x] = 3 lieân tuïc, "n ] x3 + n3 x + n3 Þ f lieân tuïc taïi moi x Î [ 0, ¥ ] . 1 Tính ñaïo haøm cuûa f [x] = å n + x2 2 . Giaûi: PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version //www.fineprint.com
-2x 1 2|x | vôùi f n [x] = ta coù f n' [x] = neân f n' [x] £ 4 [n2 + x2 ] n +x 2 2 2 n vôùi x 0 Î  cho tröôùc [x] hoäi tuï ñeàu treân [ x 0 - 1, x 0 + 1] åf ' n [x] hoäi tuï ñeàu treân [ x 0 - 1, x 0 + 1] , ta laïi coù caùc haøm f n' lieân tuïc neân åf n ' é ù ê å f n [x] ú = å f n [x], "x Î [ x 0 - 1, x 0 + 1] ' ë û -2x vaäy f ' [x] = å , "x Î  [n2 + x2 ] 2 Tính caùc toång voâ haïn: a] -2x + 4x 3 - 6x 5 + ... + [-1]k 2k.x 2k -1... | x |< 1 n -1 2 1 2x 3x nx b] + 2 + 3 + ... + n + ... | x |< a aa a a 2 3 n x x x c] x + + + ... + + ... | x |< 1 2 3 n . Giaûi: ¥ å [-1] a] Xeùt chuoãi 2nx 2n -1 [1] | x |< 1 n n =1 vôùi f n [x] = [-1] 2nx 2n -1 coù moät nguyeân haøm laø n Fn [x] = [-1] n x 2n Chuoãi [1] coù baùn kính hoäi tuï laø R = 1, neân vôùi moïi x 0 Î [-1,1] $a > 0 : x 0 Î [ -a, a ] Ì [ -1,1] [1] hoäi tuï ñeàu treân [ -a, a ] . Hôn nöõa å F [x] cuõng hoäi tuï treân [ -a, a ] neân: n ' æ¥ ö ¥ Fn [x] ÷ = å f n [x] , "x Î [ -a, a ] çå è1 ø n =1 ' æ¥ ö ¥ Vaø do ñoù ç å Fn [x] ÷ = å f n [x] , "x Î [ -1,1] è1 ø n =1 Sn [x] = F1 [x] + ... + Fn [x] æ 1 - [- x 2 ]n ö = - x 2 + x 4 + ... + [-1] n x 2n = - x 2 ç ÷ è 1+ x ø 2 -x 2 ¥ töø ñoù å Fn [x] = lim Sn [x] = , x Î [ -1,1] 1+ x2 n ®¥ 1 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version //www.fineprint.com
' æ x2 ö -2x ¥ neân å f n [x] = ç - = 2÷ è 1 + x ø [1 + x 2 ] 2 åf b] Chuoãi cho coù daïng [x] vôùi n nx n -1 vôùi | x |< a f n [x] = an n xn æ x ö x coù nguyeân haøm laø Fn [x] = =ç ÷ ,
khaû vi lieân tuïc treân  . Do f n' [x] = g n -1 [x] vaø g 'n [x] = -f n -1 [x] åf åg Söï hoäi tuï ñeàu cuûa f [x], g[x] daãn ñeán söï hoäi tuï ñeàu cuûa [x] vaø ' ' [x] n n Töø ñoù ' æ ö f [x] = ç å fn [x] ÷ = å fn' [x] = å g n [x] = g[x] ' è ø ' æ ö vaø g [x] = ç å g n [x] ÷ = + å g 'n [x] = -å f n [x] = -f [x] . ' è ø PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version //www.fineprint.com