Với Các dạng bài tập Đạo hàm chọn lọc, có lời giải Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Đạo hàm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa
+ Định nghĩa đạo hàm của hàm số: Cho hàm số y= f[x] xác định trên khoảng [a; b] và x0∈[a;b]. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:
Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f[ x] tại điểm x0 và kí hiệu:
+ Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Bước 1: giả sử ∆ x là số gia của đối số x0. Tính ∆ y= f[x0 + ∆x] – f[x0] .
Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x
Bước 3.
Ví dụ 1. Giới hạn [nếu tồn tại] nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y= f[x] tại x0 < 1 ?
Hướng dẫn giải
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.
Chọn C.
Ví dụ 2. Cho hàm số y= f[x] liên tục tại x0. Đạo hàm của hàm số y= f[x] tại x0 là
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ví dụ 3. Số gia của hàm số y= f[x ]= x3 + 1 ứng với x0= 1 và ∆ x= 1 bằng bao nhiêu?
A. – 10 B . 7 C. - 1. D. 0
Hướng dẫn giải
Ta có ∆y= f[ x0+ ∆x]-f[x0 ]=[ x0+ ∆x]3+1- x03-1
= 3.x02.∆x+3x0 [ ∆x]2+[ ∆x]3
Với x0 =1 và ∆ x=1 thì ∆ y=7.
Chọn B
Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
- Đường cong [C]: y = f[x] có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ xo khi và chỉ khi hàm số y = f[x] khả vi tại xo. Trong trường hợp [C] có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ xothì tiếp tuyến đó có hệ số góc f ’[xo]
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C]: y = f[x] tại điểm M[xo; f[xo]] có dạng :
y = f’[xo][x-xo] + f[xo]
Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f[x] tại điểm M[xo; f[xo]]
Giải: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f[x] tại M[xo;f[xo]] là:
y = f’[xo][x-xo]+f[xo] [1]
Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f[x] biết hoành độ tiếp điểm x = xo
Giải:
Tính yo = f[xo] và f’[xo]. Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến:
y = f’[xo][x-xo] + yo
Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f[x] biết tung độ tiếp điểm bằng yo
Giải. Gọi M[xo, yo] là tiếp điểm
Giải phương trình f[x] = yo ta tìm được các nghiệm xo.
Tính y’[xo] và thay vào phương trình [1]
Bài 1: Cho hàm số y = x3+3x2+1 có đồ thị là [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] :
1. Tại điểm M[ -1;3]
2. Tại điểm có hoành độ bằng 2
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định D = R
Ta có: y’ = 3x2 + 6x
1. Ta có: y’[-1] = -3, khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là:
y = -3.[x + 1] + 3 = - 3x
2. Thay x = 2 vào đồ thị của [C] ta được y = 21
Tương tự câu 1, phương trình là:
y = y’[2].[x – 2] + 21 = 24x – 27
Bài 2: Gọi [C] là đồ thị của hàm số
Hướng dẫn:
Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 ⇔ yM = ±5.
Phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M[-7/3,-5] là y = 9x + 16
Phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M[ - 4, 5] là y = 4x + 21
Bài 3: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 6x + 1 [C]
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] biết hoành độ tiếp điểm bằng 1
Hướng dẫn:
Gọi M[xo; yo] là tọa độ tiếp điểm.
Ta có xo = 1 ⇒ yo = - 1
y = x3 + 3x2 – 6x + 1 nên y’ = 3x2 + 6x – 6.
Từ đó suy ra y’[1] = 3.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3[x – 1] – 1 = 3x – 4
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc
*Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số y= f[x] tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị [C] của hàm số tại điểm M0[x0; f[x0] ].
Khi đó phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M0 là:
y–y0=f' [x0].[x–x0]
1.- Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.
- Giả sử M[x0 ; y0] là tiếp điểm. Khi đó x0 thỏa mãn: f’[x0]= k [*] .
- Giải [*] tìm x0. Suy ra y0= f[x0]. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y= k[x- x0] + y0
2. Cho đường thẳng d : y= kdx + b
+] Nếu ∆ // d thì k∆ = kd
+] Nếu ∆ vuông góc với d thì : k∆. kd = -1 ⇔ k∆ = [- 1]/kd
Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] :y=-x4-x2+6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:y=1/6x-1 .
A.y= 6x+ 1 B. y= - 6x+ 6 C.y= -6x+ 10 D. y= 6x+ 12
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định D=R.
Đạo hàm của hàm số: y’= - 4x3 – 2x
Gọi ∆ là tiếp tuyến của đồ thị [C] của hàm số và ∆ vuông góc với đường thẳng d : y=1/6x-1 .
⇒ đường thẳng ∆ có hệ số góc : k= -6.
Cách 1: Gọi M[x0 ; y0] là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến ∆ và đồ thị [C] của hàm số .
Khi đó, ta có phương trình: y'[x0]=-6 ⇔-4x03-2x0=-6
⇔[x0-1][2x02+2x0+3]=0[*].
Vì 2x02+2x0+3 > 0,∀x0∈R nên phương trình [ *] tương đường x0 =1
⇒ y0= y[1]= 4 nên M[ 1 ; 4]
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=-6[x-1]+4=-6x+10.
Cách 2: Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y=-6x+m [ **]
Do ∆ tiếp xúc [C] tại điểm M[x0 ; y0] khi hệ phương trình sau có nghiệm x0 :
Thay vào [**] ta có phương trình tiếp tuyến là: y= - 6x+ 10
Chọn C.
Ví dụ 2. Cho hàm số y=1/3 x3-x+2/3 có đồ thị là [C]. Tìm trên đồ thị [C] điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng d: y=-1/3 x+2/3.
A. [ 1; -2] và [ -2; 0] B. [ - 2; 0] và [ 2; 4/3 ]
C. [ -2; 5] và [ 1;0] D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định D= R.
Ta có đạo hàm: y'=x2-1
GọiM[x0;y0]∈[C] ⇔y0=1/3 x03-x0+2/3,
Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: y'[x0]=x02-1
Đường thẳng d: có hệ số góc k2=-1/3
Tài liệu gồm 115 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Trọng, tóm tắt lý thuyết, các dạng toán và bài tập chuyên đề đạo hàm [có đáp án và lời giải chi tiết], giúp học sinh tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 5.
BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA – QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM. A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP. + Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa. + Dạng 2. Các quy tắc tính đạo hàm và bảng đạo hàm. + Dạng 3. Bài toán chứng minh, giải phương trình, bất phương trình. + Dạng 4. Đạo hàm của hàm số lượng giác. + Dạng 5. Chứng minh đẳng thức, giải phương trình chứa đạo hàm. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
D. LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
-
50 bài tập định nghĩa đạo hàm
Tổng hợp các bài tập trắc nghiệm định nghĩa đạo hàm mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết
Xem lời giải -
50 bài tập tính đạo hàm bằng các quy tắc đạo hàm mức độ nhận biết, thông hiểu
Tổng hợp các bài tập tính đạo hàm bằng các quy tắc đạo hàm mức độ nhận biết, thông hiểu có đáp án và lời giải chi tiết
Xem lời giải -
50 bài tập tính đạo hàm bằng các quy tắc đạo hàm mức độ vận dụng, vận dụng cao
Tổng hợp các bài tập tính đạo hàm bằng các quy tắc đạo hàm mức độ vận dụng, vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết
Xem lời giải -
50 bài tập đạo hàm của hàm số lượng giác
Tổng hợp các bài tập trắc nghiệm đạo hàm của hàm số lượng giác mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết
Xem lời giải
Quảng cáo