- PHẦN MỞ ĐẦU1.Lý do chọn đề tài
Toán học là một trong những môn học cơ bản mang tính trừu tượng, khái quát,nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đờisống xã hội, trong khoa học và ứng dụng.Bộ môn đại số tuyến tính nâng cao được xuất phát từ môn đại số tuyến tính, làmột trong những môn khó của chương trình giảng dạy chuyên ngành toán, và làmột môn học có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năngsáng tạo cho người học.Đại số tuyến tính nâng cao là môn học quan trọng đối với sinh viên ngànhToán cũng như sinh viên ngành kỹ thuật khác. Nó có ứng dụng to lớn vào đời sốngxã hội. Chính vì lẽ đó mà môn Đại số tuyến tính trở thành một môn thi quan trọngtrong các kì thi Olympic Toán hằng năm ở nước ta và một số nước trên thế giới.Đại số tuyến tính nâng cao là học phần tạo cho tôi nhiều hứng thú khi học. Đại sốtuyến tính nâng cao gồm nhiều vấn đề nhưng tôi đặc biệt quan tâm đến các vấn đềliên quan đến ma trận. Được sự gợi ý của Giáo viên hướng dẫn tôi đã chọn đề tài:
“Một số phương pháp tính lũy thừa bậc cao của ma trận vuông.”2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết về ma trận Nghiên cứu một số phương pháp tính lũy thừa bậc cao của ma trận vuông
3. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập tài liệu từ giáo trình, sách, vở, các trang web online. Phân tích, tổng hợp, sắp xếp lại một cách thích hợp. Trao đổi với Giáo viên hướng dẫn.
4. Nội dung nghiên cứu
Đề tài gồm 2 chương Chương 1: Các kiến thức cơ sở áp dụng khi thực hiện các phép toán trên matrận được nhắc đến trong đề tài.1
Chương 2: Nội dung của chương cũng là nội dung chính của đề tài. Trongchương này chúng tôi phân loại được một cách tương đối phương pháp tính lũythừa bậc cao của ma trận vuông. 2.1 Phương pháp tính trực tiếp2.2 Phương pháp quy nạp toán học2.3 Sử dụng nhị thức Newton2.4 Chéo hóa ma trận2.5 Sử dụng định lí Caley-Hamilton2.6 Đưa về dạng chuẩn Jordan2
- PHẦN NỘI DUNGChương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ 1.1. Định nghĩa ma trận
1.1.1 Định nghĩa
Một bảng gồm mn số
ij
a
thuộc trường K viết như sau
11 12 121 22 21 2
nnm m mn
aaaaaaaaa
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
K K K K K K K
được gọi là một ma trận kiểu [m, n]. Mỗi số
ij
a
được gọi là một thành phần của matrận. Các số
1
i
a
,
2
i
a
,…,
in
a
lập thành dòng thứ i; các số
1
j
a
,
2
j
a
,…,
mj
a
lập thànhcột thứ j của ma trận.Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ A, B,… Hay kí hiệu đơn giản bởi A =
[ ]
ijm n
a
×
trong đó i=1,2,…,m chỉ số dòng và j=1,2,…,n chỉ số cột.
Ma trận vuông
Trong trường hợp số dòng và số cột của hai ma trận bằng nhau thì ta có kháiniệm
ma trận vuông
. Ký hiệu tập các ma trận vuông là M[n; K], với n là cấp củama trận vuông. A=
11 12 121 22 21 2
nnn n nn
aaaaaaaaa
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
K K K K K K K
Trong ma trận vuông các phần tử
11 22
, ,...,
nn
a a a
là các phần tử nằm trênđường chéo chính, các phần tử
1 1[ 1]2
, ,...,
n nn
a a a
−
là các phần tử nằm trên đườngchéo phụ.
Ví dụ
3