Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363//www.facebook.com/ngolongquangoai/CẤP SỐ CỘNGTài liệu toán lớp 11, lưu hành nội bộI. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạngđứng ngay trước nó cộng với một số khơng đổi d , d được gọi là công sai của cấp số cộng.un+1 = un + d , n *.- Cấp số cộng là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d 0 .- Cấp số cộng là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d 0 .- Cấp số cộng là một dãy hằng số khi công sai d = 0 .II. Công thức.:1. Số hạng tổng quát:un = u1 + [n −1]d , n 22. Tính chất trung bình cộng: uk =uk −1 + uk +1; k 223. Tổng của n số hạng đầu tiên: Sn = u1 + u2 + ... + un =n[u1 + un ]2III. Tự luận:1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng:−2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 .2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và cơng sai của nó.2 − 3na] Dãy số [ an ] , với an = 4n − 3 ;b] Dãy số [ bn ] , với bn =;4c] Dãy số [ cn ] , với cn = 2018n ;d] Dãy số [ d n ] , với dn = n2 .24và công sai d = − . Viết dạng khai triển333. Cho cấp số cộng [ un ] có 7 số hạng với số hạng đầu u1 =của cấp số cộng đó.4. Cho cấp số cộng [ un ] có u1 = 2 và d = −5 .a] Tìm u20 .b] Số −2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?5. Cho cấp số cộng [ un ] có u99 = 101 và u101 = 99 . Tìm u100 .6. Cho cấp số cộng −2, x, 6, y . Tính giá trị của biểu thức P = x2 + y 2 .7. Cho cấp số cộng [ un ] có u1 = −2 và d = 3 .a] Tính tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.b] Biết Sn = 6095374 , tìm n .IV. Trắc nghiệm:Câu 1.Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?A. Dãy số [ an ] , với an = 2n , n * .B. Dãy số [ bn ] , với b1 = 1, bn+1 = 2bn + 1, n C. Dãy số [ cn ] , với cn = [2n − 3]2 − 4n2 , n D. Dãy số [ d n ] , với d1 = 1, d n +1 =2018, n dn + 1*.*.*. Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363Câu 2.//www.facebook.com/ngolongquangoai/Cho cấp số cộng [ un ] có u1 = 123 và u3 − u15 = 84 . Tìm số hạng u17 .A. u17 = 242 .B. u17 = 235 .C. u17 = 11 .D. u17 = 4 .Bài tập tương tự:Câu 1: Cho cấp số cộng [ un ] có u1 = 123 và u3 − u15 = 84 . Số 11 là số hạng thứ bao nhiêu củacấp số cộng đã cho?A. 17.B. 16.C. 18.D. 19.uCâu 2: Cho cấp số cộng [ n ] có u1 = 123 và u3 − u15 = 84 . Tìm số hạng tổng quát của cấp sốcộng [ un ] .B. un = 116 + 7n .A. un = 130 − 7n .C. un = 123 − 7n .D. un = 123 + 7n .Câu 3: Cho cấp số cộng [ un ] có u1 = 123 và u3 − u15 = 84 . Tính tổng S2017 của 2017 số hạngđầu tiên của cấp số cộng đã cho.A. S2017 = 14487102,5 .B. S2017 = −13983861 .C. S2017 = −13990920,5 .D. S2017 = 14480043 .Câu 4: Cho cấp số cộng [ un ] có u1 = 123 và u3 − u15 = 84 . Biết rằng tổng n số hạng đầu tiêncủa cấp số cộng bằng 18, tìm n .A. n = 34 .B. n = 35 .C. n = 36 .D. n = 37 .Câu 3.Cho cấp số cộng [ un ] có u1 + 2u5 = 0 và S4 = 14 . Tính số hạng đầu u1 và công sai dA. u1 = 8, d = 3 .Câu 4.B. u1 = −8, d = 3 .C. u1 = −8, d = −3 .D. u1 = 8, d = −3 .Cho dãy số [ un ] xác định bởi u1 = 321 và un+1 = un − 3 với mọi n*. Tính tổng S của125 số hạng đầu tiên của dãy số đó.A. S = 16875 .B. S = 63375 .C. S = 63562,5 .D. S = 16687,5 .222Câu 5.Cho cấp số cộng [ un ] có cơng sai d = −3 và u2 + u3 + u4 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổngS100 của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.A. S100 = −14650 .B. S100 = −14400 .C. S100 = −14250 .Câu 6.Cho cấp số cộng [ un ] có cơng sai d = −3 và u22 + u32 + u42 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạngthứ 2017 của cấp số cộng đó.A. u2017 = −6042 .B. u2017 = −6045 .Câu 7.C. 672 .D. u2017 = −6054 .D. 674 .Cho cấp số cộng [ un ] có cơng sai d = −3 và u + u + u đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng22tổng quát của cấp số cộng đó.A. un = 9 − 3n .B. un = 6 − 3n .Câu 9.C. u2017 = −6044 .Cho cấp số cộng [ un ] có công sai d = −3 và u22 + u32 + u42 đạt giá trị nhỏ nhất. Số −2019 làsố hạng thứ mấy của cấp số cộng đã cho?A. 676 .B. 675 .Câu 8.D. S100 = −15450 .2324C. un = 5 − 3n .D. un = −3 − 3n .Cho cấp số cộng [ un ] có cơng sai d = −3 , trong đó m là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức F = u22 + u32 + u42 .A. min F = 18 .B. min F = 6 .C. min F = 99 .D. min F = 117 .Câu 10. Cho cấp số cộng 3,8,13,... Tính tổng S = 3 + 8 + 13 + ... + 2018 .A. S = 408422 .B. S = 408242 .C. S = 407231,5 .D. S = 409252,5 .Bài tập tương tự:Câu 1. Cho cấp số cộng 3,8,13,... Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó? Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363//www.facebook.com/ngolongquangoai/A. 402 .B. 403 .C. 404 .D. 405 .Câu 2. Cho cấp số cộng 3,8,13,..., x,... Tìm x biết 3 + 8 + 13 + ... + x = 408242 .A. x = 2017 .B. x = 2016 .C. x = 2019 .D. x = 2018 .Câu 3. Cần viết thêm vào giữa hai số 3 và 2018 bao nhiêu số hạng để thu được một cấp sốcộng hữu hạn có tổng các số hạng bằng 408242 ?A. 402 .B. 403 .C. 405 .D. 404 .Câu 4. Cho cấp số cộng [ un ] có u1 = 3, uk = 2018 và Sk = 408242 . Số hạng thứ 2018 của cấpsố cộng đó là số nào dưới đây?A. 10088 .B. 10093 .C. 10083 .D. 10098 .Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thànhmột cấp số cộng: x3 − 3mx 2 + 2m [ m − 4 ] x + 9m 2 − m = 0 .17 + 26517 − 265.C. m =.D. m = 1.1212Câu 12.Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phânbiệt lập thành một cấp số cộng: x4 −10 x2 + 2m2 + 7m = 0 , tính tổng lập phương của hai giá trị đó.343721343721A. −.B..C. −.D..8888Câu 13. Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá từ mét khoan đầu tiên là 100000đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30000 đồng so với giá của métkhoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan mộtgiếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hồn thành việc khoangiếng, gia đình đó phải thanh tốn cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu?A. 7700000 đồng.B. 15400000 đồng.C. 8000000 đồng.D. 7400000 đồng.Câu 14. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?5 1 17 51 1A. −3,1,5,9,14 .B. 5,2, −1, −4, −7 .C. ,1, , − , −3 .D. − , − , −2, − , .3 3 32 22 2Câu 15. Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?A. Dãy số [ an ] với an = 3n − 5 .A. m = 0 .B. m =B. Dãy số [ bn ] với bn = 3 − 5n .C. Dãy số [ cn ] với cn = n2 − n .D. Dãy số [ d n ] với d n = 2017cotCâu 16.[ 4n − 1] + 2018 .2Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: Ba số111theo thứ tự lập thành,,x+ y y+z z+xmột cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?A. Ba số x2 , y 2 , z 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.B. Ba số y 2 , z 2 , x2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.C. Ba số y 2 , x2 , z 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.D. Ba số z 2 , y 2 , x2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.Câu 17. Cho cấp số cộng [ un ] xác định bởi u3 = −2; un+1 = un + 3, n quát của cấp số cộng đó.A. un = 3n − 11 .Câu 18.. Xác định số hạng tổngB. un = 3n − 8 .C. un = 2n − 8 .D. un = n − 5 .B. u2018 = 50449 .C. u2018 = −46391 .D. u2018 = 50473 .Cho cấp số cộng [ un ] có u2 = 2017; u5 = 1945 . Tính u2018 .A. u2018 = −46367 .* Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363//www.facebook.com/ngolongquangoai/Cho cấp số cộng [ xn ] có Sn = 3n 2 − 2n . Tìm số hạng đầu u1 và cơng sai d của cấp sốcộng đó.A. u1 = 2; d = 7 .B. u1 = 1; d = 6 .C. u1 = 1; d = −6 .D. u1 = 2; d = 6 .Câu 19.Câu 20.Cho cấp số cộng [ un ] có Sn = 7n − 2n2 . Tính giá trị của biểu thức P = u32 + u52 + u72 .B. P = 419 .C. P = 1089 .D. P = 803 .u3 + u5 = 5Câu 21. Cho cấp số cộng [ un ] với . Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.u.u=635A. u1 = 1 hoặc u1 = 4 . B. u1 = 1 hoặc u1 = −4 . C. u1 = −1 hoặc u1 = 4 . D. u1 = −1 hoặc u1 = 1.A. P = 491 .Câu 22.Cho cấp số cộng [ un ] có cơng sai d = 2 và u22 + u32 + u42 đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2018 làsố hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng [ un ] ?A. 1012 .B. 1011 .C. 1014 .D. 1013 .Câu 23. Cho cấp số cộng 6, x, −2, y . Khẳng định nào sau đây đúng?A. x = 2; y = 5 .B. x = 4; y = 6 .C. x = 2; y = −6 .D. x = 4; y = −6 .Câu 24. Viết sáu số xen giữa 3 và 24 để được một cấp số cộng có tám số hạng. Sáu số hạng cầnviết thêm làA. 6,9,12,15,18,21 .B. 21,18,15,12,9,6 .13274116 23 37 44 58 65C. ,10, ,17, , 24 .D., , , , , .2223 3 3 3 3 3Câu 25. Cho hai cấp số cộng [ xn ] : 4,7,10,... và [ yn ] :1,6,11,... Hỏi trong 2017 số hạng đầu tiêncủa mỗi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng chung?A. 404 .B. 403 .C. 672 .D. 673 .Câu 26. Cho cấp số cộng 1,7,13,..., x thỏa mãn điều kiện 1 + 7 + 13 + ... + x = 280 . Tính giá trị củax.A. x = 53 .B. x = 55 .C. x = 57 .D. x = 59 .2Câu 27. Biết rằng tồn tại các giá trị của x 0;2 để ba số 1 + sin x,sin x,1 + sin3x lập thành mộtcấp số cộng, tính tổng S các giá trị đó của x .A. S = 5 .Câu 28.Cho cấp số cộng [ un ]trên cóA. S10 = 92 .Câu 29.C. S =B. S20 = 980 .C. S3 = −56 .D. S16 = 526 .B. S15 = 800 .C. S15 = 570 .D. S15 = 630 .Cho cấp số cộng [ xn ] có x3 + x13 = 80 . Tính tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp sốcộng.A. S15 = 600 .Câu 30.237.D. S =.62có u4 = −3 và tổng của 9 số hạng đầu tiên là S9 = 45 . Cấp số cộngB. S = 3 .Cho cấp số cộng [ un ] . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?A. [ n − p ] um + [ p − m ] un + [ m − n ] u p = 0 .B. [ m − n ] um + [ n − p ] un + [ p − m ] u p = 0 .C. [ m − p ] um + [ n − m ] un + [ p − n ] u p = 0 .D. [ p − n ] um + [ m − p ] un + [ m − n ] u p = 0 .Câu 31.Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiệncấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?A. Ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng.B. Ba số1 1 1, , lập thành một cấp số cộng.a b c111lập thành một,,b+ c c+ a a+ b Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363//www.facebook.com/ngolongquangoai/C. Ba số a2 , b2 , c2 lập thành một cấp số cộng.D. Ba sốa , b , c lập thành một cấp số cộngCâu 32. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x4 −10x2 + m = 0 có bốn nghiệmphân biệt lập thành một cấp số cộng.A. m = 16 .B. m = 9 .C. m = 24 .D. m = 21 .Câu 33. Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trìnhx 4 − 2 [ m + 1] x 2 + 2m + 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính tổng bìnhphương của hai giá trị đó.13121024160032A..B..C..D..8181819Câu 34. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 − 3x2 − x + m2 −1 = 0 có banghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.A. m = 16 .B. m = −2 .C. m = 2 .D. m = 2 .Câu 35. Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị m1 , m2 , m3 của tham số m để phương trìnhx3 − 9x2 + 23x + m3 − 4m2 + m − 9 = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính giátrị của biểu thức P = m13 + m23 + m33 .A. P = 34 .B. P = 36 .C. P = 64 .D. P = −34 .Câu 36. Mặt sàn tầng của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m . Cầu thang đi từ tầng một lên tầnghai gồm 21 bậc, một bậc cao 18cm . Kí hiệu hn là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân. Viết côngthức để tìm độ cao hn .A. hn = 0,18n + 0,32 [ m ] .B. hn = 0,18n + 0,5 [ m ] .C.hn = 0,5n + 0,18 [ m ] .D. hn = 0,5n − 0,32 [ m ] .Câu 37. Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứhai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây,… Hỏi trồng được bao nhiêu hàng cây theo cách này?A. 77 hàng.B. 76 hàng.C. 78 hàng.D. 79 hàng.Câu 38. Trên một bàn cờ có nhiều ơ vng. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặttiếp vào ơ thứ hai số hạt dẻ nhiều hơn ô đầu tiên là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt dẻ nhiều hơnô thứ hai là 5, … và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta đãphải sử dụng hết 25450 hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ơ?A. 98 ơ.B. 100 ô.C. 102 ô.D. 104 ô.Câu 39. Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thứcsau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 13,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làmviệc thứ hai, múc lương sẽ được tăng thêm 500.000 đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương mộtkỹ sư nhận được sau ba năm làm việc cho công ty.A. 198 triệu đồng.B. 195 triệu đồng.C. 228 triệu đồng.D. 114 triệu đồng.Câu 40. Trên tia Ox lấy các điểm A1 , A2 ,..., An ,... sao cho với mỗi số nguyên dương n , OAn = n .Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox , vẽ các nửa đường trịn đườngkính OAn , n = 1, 2,... Kí hiệu u1 là diện tích nửa đường trịn đường kính OA1 và với mỗi n 2 , kíhiệu un là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường trịn đường kính OAn−1 , nửa đường trịnđường kính OAn và tia Ox . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?A. Dãy số [ un ] không phải là một cấp số cộng..4C. Dãy số [ un ] là một cấp số cộng có cơng sai d = .8B. Dãy số [ un ] là một cấp số cộng có công sai d = Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363//www.facebook.com/ngolongquangoai/.2Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị [ C ] của hàm số y = 3x − 2 . Với mỗi số nguyênD. Dãy số [ un ] không phải là một cấp số cộng có cơng sai d =Câu 41.dương n , gọi An là giao điểm của đồ thị [ C ] với đường thẳng d : x − n = 0 . Xét dãy số [ un ] vớiun là tung độ của điểm An . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?A. Dãy số [ un ] là một cấp số cộng có cơng sai d = −2 .B. Dãy số [ un ] là một cấp số cộng có cơng sai d = 3 .C. Dãy số [ un ] là một cấp số cộng có cơng sai d = 1 .D. Dãy số [ un ] không phải là một cấp số cộng.Câu 42.Cho cấp số cộng [ u]có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = −3 . Trên mặt phẳng tọa độOxy , lấy các điểm A1 , A2 ,... sao cho với mỗi số nguyên dương n , điểm An có tọa độ [ n; un ] . Biếtrằng khi đó tất cả các điểm A1 , A2 ,..., An ,... cùng nằm trên một đường thẳng. Hãy viết phương trìnhcủa đường thẳng đó.A. y = −3x + 5 .B. y = −3x + 2 .C. y = 2x − 3 . D. y = 2x − 5LỚP TỐN THẦY NGƠ LONG//www.facebook.com/ngolongquangoai/Học thử 1 tháng, 200k/8 buổi. Ưu tiên 160k cho Ngô Quyền, Sơn Tây, Minh Châu.Tên lớp Sĩ sốLịch họcNội dungLớp 126817h15 thứ 4 và 09h15 CNHình học: Nón, Trụ, CầuLớp 116317h15 thứ 5 và 07h15 CNDãy số, cấp số cộngLớp 104617h15 thứ 6 và 17h15 CNBất phương trình bậc 2Lớp 92017h15 thứ 2 và 17h15 thứ 7Giải tốn bằng cách lập phương trìnhLớp 83517h15 thứ 3 và 14h00 CNDiện tích đa giácThầy Ngơ Long – Số nhà 14 ngõ 18 đường Tây Đằng- 0988666363Giảng viên – 16 năm kinh nghiệm luyện và chấm thi đại học