Bt 6 trang 8 sgk toán 12 nc năm 2024

Luyện tập (trang 8-9) Bài 6 (trang 8 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Xét chiều biến thiên của hàm số sau: Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên R. y'=x 2 -4x+4=(x-2) 2 >0,∀x ≠ 2;y'=0 chỉ tại x = 2 Vậy hàm số đồng biến trên R. Hàm số đã cho xác ...

Luyện tập (trang 8-9)

Bài 6 (trang 8 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên R.

y'=x2-4x+4=(x-2)2>0,∀x ≠ 2;y'=0 chỉ tại x = 2

Vậy hàm số đồng biến trên R.

Hàm số đã cho xác định trên R.

y'=-4x2+12x-9=-(2x-3)2≤0,∀x ∈R;y'=0 chỉ tại x=3/2

Vậy hàm số nghịch biến trên R.

Hàm số đã cho xác định trên D = R {5}

Nên hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;5)và (5; +∞)

Chiều biến thiên của hàm số được nên trong bảng sau:

Vậy hàm số đồng biến trên [0; 1] và nghịch biến trên [1; 2] (có thể nói hàm số đồng biến trên (0; 1) nghịch biến trên (1; 2))

\(y' = \frac{{\left( {{x^2} - 8x + 9} \right)'\left( {x - 5} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 9} \right)\left( {x - 5} \right)'}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}\) \( = {{\left( {2x - 8} \right)\left( {x - 5} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 9} \right)} \over {{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 10x + 31} \over {{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} \)

\( = \frac{{{x^2} - 10x + 25 + 6}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2} + 6}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}> 0\) với mọi \(x \ne 5\)

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;5} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\).

LG d

\(y = \sqrt {2x - {x^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\).

TXĐ: \(D = \left[ {0;2} \right]\)

\(y' = \frac{{\left( {2x - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }}= {{2 - 2x} \over {2\sqrt {2x - {x^2}} }} = {{1 - x} \over {\sqrt {2x - {x^2}} }}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {y = 1} \right)\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).

LG e

\(y = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb R\)

(vì \({x^2} - 2x + 3 \) \( = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2> 0,\forall x \in \mathbb R\))

\(y' = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}={{2x - 2} \over {2\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} \) \(= {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}\);

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,(y = \sqrt 2 )\)

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

LG f

\(y = {1 \over {x + 1}} - 2x\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R \backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\(y' = - {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - 2 < 0,\,\,\forall x \ne - 1\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) .

Bài 4 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Với các giá trị nào của a hàm số \(y = ax - {x^3}\) nghịch biến trên \(\mathbb R\)

Giải

Tập xác định \(D=\mathbb R\)

\(y' = a - 3{x^2}\)

• Nếu \(a < 0\) thì \(y' < 0\) với mọi \(x \in {\mathbb R}\), khi đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).

• Nếu \(a = 0\) thì \(y' = - 3{x^2} \le 0\) với mọi \(x \in {\mathbb R}\), \(y'=0\Leftrightarrow x=0\).

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).

• Nếu \(a > 0\) thì \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow x = \pm {\sqrt {a \over 3}}\)

Ta có bảng biến thiên

Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên \({\mathbb R}\)

Vậy hàm số nghịch biến trên \({\mathbb R}\) khi và chỉ khi \(a \le 0\).

Bài 5 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm các giá trị của tham số \(a\) để hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3\) đồng biến trên \(\mathbb R\).

Giải

Tập xác định \(D = \mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = {x^2} + 2ax + 4\);

\(\Delta = {a^2} - 4\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in\mathbb R\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 1 > 0 \hfill \cr \Delta ' \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 1 > 0 \hfill \cr {a^2} - 4 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - 2 \le a \le 2\)

Vậy \( - 2 \le a \le 2\) thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Bài 6 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

1. \(y = {1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 4x - 5\)

2. \(y = - {4 \over 3}{x^3} + 6{x^2} - 9x - {2 \over 3}\)

3. \(y = {{{x^2} - 8x + 9} \over {x - 5}}\)

4. \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \)

5. \(y = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \)

6. \(y = {1 \over {x + 1}} - 2x\)

Giải

1. TXĐ: \(D=\mathbb R\) \(y' = {x^2} - 4x + 4 = {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb R\) dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x=2\)

Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\).

2. TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(y' = - 4{x^2} + 12x - 9 = - \left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)\)

\(= - {\left( {2x - 3} \right)^2} \le 0,\forall x \in \mathbb R\) dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x = {3 \over 2}\). Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).

3. TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 5 \right\}\)

\(y' = {{\left( {2x - 8} \right)\left( {x - 5} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 9} \right)} \over {{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 10x + 31} \over {{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne 5\)

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;5} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\).

4. Hàm số xác định khi và chỉ khi \(2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\). TXĐ: \(D = \left[ {0;2} \right]\)

\(y' = {{2 - 2x} \over {2\sqrt {2x - {x^2}} }} = {{1 - x} \over {\sqrt {2x - {x^2}} }};y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {y = 1} \right)\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).

5. TXĐ: \(D = \mathbb R\) (vì \({x^2} - 2x + 3 > 0,\forall x \in \mathbb R\))

\(y' = {{2x - 2} \over {2\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}\);

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,(y = \sqrt 2 )\)

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

6. TXĐ: \(D =\mathbb R \backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\(y' = - {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - 2 < 0,\,\,\forall x \ne - 1\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) .

Bài 7 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng hàm số: \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2x + 3\) nghịch biến trên \(\mathbb R\)

Giải

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = - 2\sin 2x - 2 \le 0\)

\(\Leftrightarrow - 2\left( {\sin 2x + 1} \right) \le 0,\forall x \in \mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - 1 \)

\(\Leftrightarrow 2x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in \mathbb Z\Leftrightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in \mathbb Z\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn \(\left[ { - {\pi \over 4} + k\pi ; - {\pi \over 4} + k\pi + \pi } \right]\)