7 cách chứng minh một đoạn thẳng bằng 1/2 đoạn thẳng khác
Muốn chứng minh một đoạn thẳng bằng 1/2 đoạn thẳng khác các em có thể sử dụng một trong 7 cách dưới đây.
1. Sử dụng tính chất trung điểm.
2. Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.
3. Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác.
4. Sử dụng tính chất tam giác nửa đều.
5. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác.
6. Sử dụng hai đồng dạng với tỉ số 1/2.
7. Sử dụng quan hệ giữa bán kính và đường kính trong một đường tròn.
15 cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
4 cách chứng minh hai cung tròn bằng nhau
2 cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Phương pháp chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng
Phương pháp chứng minh các tứ giác đặc biệt
Phương pháp chứng minh các tam giác đặc biệt
7 cách chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB
1. So sánh độ dài của đường kính và dây.
Định lý:
Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Xét đường tròn \[\left[ {O,R} \right]:A \in \left[ O \right],B \in \left[ O \right] \Rightarrow AB \le 2R\]
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.
Định lý 1:
- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì qua trung điểm của dây ấy.
Xét \[[O,R]\]:
\[CD\] là đường kính
\[AB\] là dây cung
\[CD \bot AB\] tại \[H\]
\[=> H\] là trung điểm của \[AB\]
Định lý 2:Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
Xét \[[O,R]\]:
\[CD\] là đường kính
\[AB\] là dây cung, \[O \notin AB\]
\[ H\] là trung điểm của \[AB\], \[H \in CD\]
\[=> \] \[CD \bot AB\] tại \[H\]
3. Các dạng toán thường gặp
Tính độ dài đoạn thẳng và các yếu tố liên quan.
Phương pháp:
Ta thường sử dụng các kiến thức sau:
+] Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
+] Dùng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Các bài toán hình luôn là một đề bài hắc búa đối với học sinh. Toán hình đòi hỏi bạn phải có tư duy tốt. Để giúp các em nắm vững về các dạng bài này, NovaTeen giới thiệu các bài toán hình lớp 9 chứng minh về đường tròn.
CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH VỀ ĐƯỜNG TRÒN
A. Lý thuyết cần nắm vững
1. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
Đường tròn tâm O bán kính R [Với R>0] là hình gồm các điểm cách O một khoảng R.
+ Khi OM = R, lúc này điểm M nằm trên đường tròn.
+ Khi OM < R ta có điểm M nằm bên trong đường tròn.
+ Khi OM > R ta có điểm M nằm bên ngoài đường tròn.
Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một đường tròn.Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một đường tròn. Đường tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đường nào của nó.
Xem thêm>>> Đề kiểm tra học kỳ II môn Toán 9 năm học 2017-2018
2. Đường kính và dây của đường tròn. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Định lý:
Trong một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính
Định lý:
- Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó.
- Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.
Định lý:
Trong một đường tròn:
- Hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm
- Trong hai dây không bằng nhau, dây lớn hơn khi và chỉ khi chúng gần tâm hơn.
Định lý:
Trong một đường tròn:
- Hai cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm Hai cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm
- Cung lớn hơn khi và chỉ khi dây căng cung lớn hơn.
Cung lớn hơn khi và chỉ khi dây căng cung lớn hơn.
Định lý:
Hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau
- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và chia dây ấy thành hai phần bằng nhau.
- Đường kính đi qua trung điểm của một dây [không phải là đường kính] thì chia cung căng dây ấy thành hai phần bằng nhau.
Lưu ý: Khi nói cung AB mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là cung nhỏ AB.
- Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau khi và chỉ khi chúng không có điểm chung.
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau khi và chỉ khi chúng có một điểm chung
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau khi và chỉ khi chúng có hai điểm chung.
Gọi khoảng cách d từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính R của đường tròn, khi đó ta có các liên hệ: Đường thẳng và đường tròn không giao nhau khi và chỉ khi d > R. Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau khi và chỉ khi d = R. Đường thẳng và đường tròn cắt nhau khi và chỉ khi d< R.
Định lý:
- Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
Định lí 1 :
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Định lí 2 :
Trong đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây ấy.
Định lí 3 :
Trong đường tròn, đường kính đi qua trung điểm với một dây không qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
==============================================
BÀI TẬP SGK
BÀI 10 TRANG 104 :
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ hai đường cao BD và CE
- Chứng minh bốn Điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn
- Chứng minh DE < BC.
GIẢI.
1.B, E, D, C nằm trên đường tròn
Xét ΔBCE vuông tại E [gt]
= > ΔBCE nội tiếp đường tròn đường kính BC [1].
Hay B, E, C nằm trên đường tròn đường kính BC[1].
Xét ΔBCD vuông tại D [gt]
= > ΔBCD nội tiếp đường tròn đường kính BC
Hay D, B,C nằm trên đường tròn đường kính BC [2].
Từ [1] và [2] : B, E, D, C nằm trên đường tròn đường kính BC .
2.Chứng minh DE < BC .
Xét đường tròn đường kính BC, ta có :
DE là dây cung [D, E nằm trên đường tròn đường kính BC ]
=> DE < BC [định lí ]
BÀI 10 TRANG 104 :
Kẻ đường kính OM CD tại M
=> MC = MD
AH // OM // BK [cùng vuông góc CD]
Xét tứ giác ABKH, ta có :
AH // BK [cmt]
=> tứ giác ABKH là hình thang.
Xét hình thang ABKH, ta có :
OA = OB [AB là đường kính]
AH // OM // BK [cmt]
=> MH = MK
Hay HC + CM = MD + DK
MÀ : MC = MD [cmt]
=> CH = DK.
BÀI 2 :
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn [O] đường kính AD. H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh :
a] BHCD là hình bình hành.
b] Kẻ đường kính OI vuông góc BC tại I, chứng minh : I, H, D thẳng hàng.
c] AH = 2OI
a] BHCD là hình bình hành.
Xét 𝛥 ACD nt đường tròn [O] đường kính AD
=> 𝛥 ACD vuông tại C
=> CD AC
Mà : BH AC [H là trực tâm]
=> CD // BH [cùng vuông góc AC]
Cmtt, ta được : BD // CH
Xét tứ giác BHCD , ta có :
BHCD là hình bình hành
CD // BH [cmt]
BD // CH [cmt]
tứ giác BHCD là hình bình hành.
b]I, H, D thẳng hàng.
đường kính OI BC tại I
=> IB = IC
Mà : hai đường chéo HD và BC của hình bình hành BHCD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
=> IH = ID
Hay I, H, D thẳng hàng.
c] AH = 2OI
Xét 𝛥 ABC có H là trực tâm
=> AH BC
Mà : OI BC
=> OI // AH
Xét 𝛥 AHD, ta có :
OA = OD [AD là đường kính của [O]]
OI // AH [cmt]
=> OI là đường trung bình trong 𝛥 AHD
=> AH = 2OI
=================================================
BÀI 1 :
Cho đường tròn [O] có AB là đường kính. Vẽ hai dây AD và BC song song nhau. Chứng minh rằng :
a] AD = BC.
b] CD là đường kính của [O].
BÀI 1 :
Cho tam giác ABC [AB < AC]. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a] Chứng minh rằng : B, D, C, E cùng nằm trên đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.
b] Chứng minh rằng : AB .AE = AC.AD
c] Gọi K là điểm đối xứng của H qua I. chứng minh rằng : BHCK là hình bình hành.
d] Xác định tâm I của đường tròn qua A, B, K, C.
e] Chứng minh rằng : OI AH.
BÀI 3 :
Cho điểm A nằm trên đường tròn [O] có CB là đường kính [AB < AC]. Vẽ dây AD vuông góc BC tại H.
a] Chứng minh : tam giác ABC vuông tại A.
b] H là trung điểm AD; AC = CD; BC là tia phân giác góc ABD.
c]